תשואה וסיכון בתיק של שני נכסים

שיעור זה עוסק בחישוב התשואה הצפויה והסיכון של תיק השקעות המורכב משני נכסים. הרעיון המרכזי הוא שתוחלת התשואה של התיק היא ממוצע משוקלל של תוחלות התשואה של הנכסים, אך הסיכון אינו ממוצע פשוט של סטיות התקן. הסיכון תלוי גם במשקלי ההשקעה ובקשר בין תשואות הנכסים, ולכן קורלציה נמוכה מאחת יכולה ליצור רווח פיזור.

תוחלת תשואה של תיק: ממוצע משוקלל

נניח כי משקיע מחזיק שני נכסים, A ו־B. פרופורציית ההשקעה בנכס A מסומנת ב־X_A, ופרופורציית ההשקעה בנכס B מסומנת ב־X_B. אם כל ההון מוקצה לשני הנכסים, מתקיים X_A + X_B = 1. תוחלת התשואה של כל נכס מסומנת E(R_A) ו־E(R_B).

תוחלת התשואה של התיק, E(R_P), מחושבת כך:

E(R_P) = X_A E(R_A) + X_B E(R_B)

כלומר, תוחלת התשואה של התיק היא ממוצע משוקלל של תוחלות התשואה של הנכסים, כאשר המשקולות הן חלקו היחסי של כל נכס בתיק. אם משקיע מקצה 70% לנכס A ו־30% לנכס B, תוחלת התשואה של התיק תהיה קרובה יותר לתוחלת התשואה של A, משום שמשקלו גדול יותר.

שונות התיק: שונות משותפת ומקדם מתאם

מדד הסיכון של התיק הוא שונות תשואת התיק, σ_P², או סטיית התקן של התיק, σ_P, שהיא השורש של השונות. שונות התיק אינה מסתכמת בחיבור פשוט של שונויות הנכסים, משום שתשואות הנכסים עשויות לנוע יחד או בכיוונים מנוגדים.

כדי לתאר את הקשר בין שני הנכסים משתמשים בשונות משותפת, covariance. השונות המשותפת של תשואות A ו־B היא ממוצע משוקלל של מכפלת הסטיות של כל נכס מתוחלת התשואה שלו:

Cov(R_A,R_B) = Σ p_i [R_{A,i} − E(R_A)] [R_{B,i} − E(R_B)]

כאשר p_i היא ההסתברות למצב i, ו־R_{A,i}, R_{B,i} הן התשואות של הנכסים באותו מצב. אם ההסתברויות שוות, מדובר בממוצע פשוט של מכפלות הסטיות. הסימן של השונות המשותפת מראה את כיוון הקשר: ערך חיובי מצביע על נטייה של התשואות לנוע יחד, וערך שלילי מצביע על נטייה לנוע בכיוונים מנוגדים.

מכיוון שהשונות המשותפת רגישה ליחידות המדידה, נהוג להשתמש גם במקדם המתאם, או קורלציה, המוגדר כך:

ρ_AB = Cov(R_A,R_B) / (σ_A σ_B)

מקדם המתאם נע בין מינוס 1 ל־1. ערך של 1 מתאר מתאם חיובי מלא, ערך של מינוס 1 מתאר מתאם שלילי מלא, וערך של 0 מתאר היעדר קשר ליניארי.

לכן שונות תיק של שני נכסים היא:

σ_P² = X_A² σ_A² + X_B² σ_B² + 2 X_A X_B Cov(R_A,R_B)

או באמצעות מקדם המתאם:

σ_P² = X_A² σ_A² + X_B² σ_B² + 2 X_A X_B σ_A σ_B ρ_AB

רווח הפיזור כאשר הקורלציה נמוכה מאחת

כאשר מקדם המתאם שווה ל־1 והמשקלות חיוביים, סטיית התקן של התיק שווה לממוצע המשוקלל של סטיות התקן של הנכסים. במצב זה אין רווח פיזור: התיק אינו מפחית סיכון מעבר למה שנובע מהמשקלים בלבד. לעומת זאת, כאשר הקורלציה נמוכה מ־1, השילוב בין הנכסים יכול להקטין את סטיית התקן של התיק ביחס לממוצע המשוקלל של סטיות התקן שלהם. ככל שהקורלציה נמוכה יותר, רווח הפיזור הפוטנציאלי גדול יותר.

נמחיש זאת באמצעות שני נכסים:

נכס	תוחלת תשואה	סטיית תקן
A	8%	7%
B	16%	11%

נניח כי מקדם המתאם בין התשואות הוא 0.35, וכי המשקיע מקצה 70% לנכס A ו־30% לנכס B. תוחלת התשואה של התיק היא:

E(R_P) = 0.7 × 8% + 0.3 × 16% = 10.4%

נחשב את השונות המשותפת באחוזים:

Cov(R_A,R_B) = 0.35 × 7 × 11 = 26.95

היחידות הן ריבועי אחוזים. שונות התיק היא:

σ_P² = 0.7² × 7² + 0.3² × 11² + 2 × 0.7 × 0.3 × 26.95
σ_P² = 24.01 + 10.89 + 11.32 = 46.22

לכן סטיית התקן של התיק היא בערך 6.80%. הממוצע המשוקלל של סטיות התקן הוא 0.7 × 7% + 0.3 × 11% = 8.2%, ולכן התיק מציג סיכון נמוך יותר. במקרה זה סטיית התקן של התיק אף נמוכה מזו של נכס A לבדו, וזוהי הדגמה של אפקט פיזור הסיכון.

במישור של תוחלת תשואה מול סטיית תקן, השילובים האפשריים של שני הנכסים יוצרים עקומה. כאשר הקורלציה אינה מלאה, העקומה יכולה להתכופף שמאלה, כלומר לכיוון של סיכון נמוך יותר. הנקודה בעלת סטיית התקן הנמוכה ביותר על העקומה נקראת תיק מינימום השונות.

תרומת נכס לסיכון התיק

כאשר בוחנים נכס בתוך תיק, לא די לבחון את סטיית התקן שלו בפני עצמה. נכס בעל סטיית תקן גבוהה עשוי להפחית את סיכון התיק אם הקשר שלו עם יתר הנכסים נמוך או שלילי. לעומת זאת, נכס בעל סטיית תקן נמוכה עלול להוסיף סיכון משמעותי אם הוא מתואם מאוד עם הנכסים הקיימים בתיק.

דרך אחת להעריך את תרומת הנכס לסיכון התיק היא לבחון את השונות שהוא מוסיף דרך הקשר שלו עם תיק ההשקעות. עבור נכס A בתיק של שני נכסים, התרומה לשונות התיק היא:

C_A = X_A [X_A σ_A² + X_B Cov(R_A,R_B)]

עבור נכס B:

C_B = X_B [X_B σ_B² + X_A Cov(R_A,R_B)]

סכום שתי התרומות שווה לשונות התיק כולה:

C_A + C_B = σ_P²

בדוגמה המספרית שלעיל, השונות המשותפת היא 26.95. תרומת נכס A היא:

C_A = 0.7 [0.7 × 49 + 0.3 × 26.95] ≈ 29.7

תרומת נכס B היא:

C_B = 0.3 [0.3 × 121 + 0.7 × 26.95] ≈ 16.5

סכום התרומות הוא 46.2, כלומר שונות התיק. אף שנכס A בעל סטיית תקן נמוכה מזו של B, תרומתו לשונות התיק בדוגמה זו גבוהה יותר, משום שמשקלו בתיק גדול יותר. הערכת הסיכון של נכס חייבת להיעשות ביחס לתיק כולו: לא רק כמה הנכס תנודתי בפני עצמו, אלא כיצד הוא נע יחד עם יתר הנכסים וכיצד הוא משפיע על שונות התיק.