סדרות תשלומים קבועות ודחויות

השיעור עוסק בסדרות תשלומים קבועות, המכונות אנונות, ובדרכי ההתאמה הנדרשות כאשר מועד התשלום הראשון אינו בסוף התקופה הראשונה. הרעיון המרכזי הוא שנוסחאות האנונה חוסכות חישוב פרטני של כל תשלום ותשלום, אך מחייבות זיהוי מדויק של מועד התשלום הראשון ושל נקודת הזמן שבה הערך המחושב מתקבל.

אנונה רגילה: ערך נוכחי וערך עתידי

אנונה היא סדרה של תקבולים או תשלומים זהים, המתקבלים או משולמים במרווחי זמן קבועים. אנונה רגילה היא אנונה שבה התשלום הראשון מתבצע בסוף התקופה הראשונה, כלומר בעוד תקופה אחת מהיום. התקופה יכולה להיות שנה, רבעון או חודש, ובלבד ששיעור הריבית התקופתי מותאם לאותה תקופה.

נסמן ב־PMT את סכום התשלום התקופתי, ב־r את הריבית התקופתית, וב־n את מספר התשלומים. ערך נוכחי, PV, הוא שווי הסדרה היום, כלומר סכום הערכים המהוונים של כל התשלומים. הערך הנוכחי של אנונה רגילה מחושב כך:

PV = PMT × [1 − (1 + r)^(-n)] ÷ r

הנוסחה מבטאת את סכום הערכים המהוונים של כל התשלומים, אך עושה זאת בדרך מקוצרת במקום להוון כל תשלום בנפרד.

ערך עתידי, FV, הוא שווי הסדרה במועד עתידי לאחר צבירת ריבית. הערך העתידי של אנונה רגילה מחושב כך:

FV = PMT × [((1 + r)^n − 1) ÷ r]

ערך זה מבטא את הצטברות התשלומים עד מועד התשלום האחרון.

הנוסחאות מניחות ששיעור הריבית קבוע לאורך כל תקופת האנונה. אם הריבית משתנה בין תקופות, יש לפצל את הסדרה למספר אנונות קצרות יותר ולחשב כל חלק בנפרד.

לדוגמה, סדרה של שישה תשלומים שנתיים של 5,000 ש״ח, כאשר התשלום הראשון בעוד שנה והריבית השנתית היא 8%, היא אנונה רגילה. הצבה בנוסחת הערך הנוכחי נותנת ערך של כ־23,114 ש״ח היום.

אנונה מראש: תשלום ראשון בתחילת התקופה

אנונה מראש היא סדרה שבה התשלום הראשון מתבצע מיד, בתחילת התקופה הראשונה, ולא בסופה. כלומר, כל תשלום בסדרה מתבצע תקופה אחת מוקדם יותר מאשר באנונה רגילה בעלת אותם מאפיינים.

משום שכל תשלום מוקדם יותר, הוא גם מהוון תקופה אחת פחות בערך הנוכחי וגם צובר ריבית תקופה אחת יותר בערך העתידי. לכן, כאשר נקודת הייחוס היא היום, הערך הנוכחי של אנונה מראש שווה לערך הנוכחי של האנונה הרגילה כפול (1 + r):

PV של אנונה מראש = PV של אנונה רגילה × (1 + r)

בדומה לכך, כאשר משווים ערכים עתידיים באותה נקודת ייחוס מקובלת, הערך העתידי של אנונה מראש שווה לערך העתידי הרגיל כפול (1 + r).

בהמשך לדוגמה הקודמת, אם אותם שישה תשלומים של 5,000 ש״ח משולמים מיד בתחילת כל שנה, הערך הנוכחי הוא 23,114 × 1.08, כלומר כ־24,963 ש״ח.

סדרה דחויה: תשלום ראשון לאחר יותר מתקופה אחת

סדרה דחויה היא סדרת תשלומים קבועה שבה התשלום הראשון מתבצע לאחר יותר מתקופה אחת. נסמן את מועד התשלום הראשון בעוד k תקופות, כאשר k > 1. במקרה כזה אין להשתמש ישירות בערך האנונה כאילו התקבל היום.

דרך החישוב המקובלת היא בת שני שלבים. בשלב הראשון מחשבים את ערך האנונה באמצעות הנוסחה הרגילה, תוך שימוש במספר התשלומים n ובריבית r. הערך שמתקבל בשלב זה אינו הערך היום, אלא הערך בנקודת הזמן k − 1, כלומר תקופה אחת לפני התשלום הראשון.

בשלב השני מהוונים את הערך הזה אחורה לזמן 0. אם התשלום הראשון בעוד k תקופות, יש לחלק את הערך שהתקבל ב־(1 + r) בחזקת k − 1:

PV היום = ערך האנונה בזמן k−1 ÷ (1 + r)^(k−1)

כאשר נדרש ערך עתידי במועד מסוים, מחשבים תחילה את ערך האנונה בנקודת הייחוס שלה ואז צוברים אותו קדימה עד המועד המבוקש.

המועד שבו מתקבל ערך נוסחת האנונה

הכלל המרכזי הוא שנוסחת הערך הנוכחי של אנונה רגילה נותנת את ערך הסדרה תקופה אחת לפני התשלום הראשון. אם התשלום הראשון בעוד תקופה אחת, נקודה זו היא זמן 0, כלומר היום. אם התשלום הראשון בעוד k תקופות, נקודה זו היא זמן k − 1.

נוסחת הערך העתידי של אנונה רגילה נותנת את הערך במועד התשלום האחרון, בהנחה שהסדרה מסתיימת לאחר n תקופות. לכן, לפני שימוש בנוסחה יש לשאול איזה ערך נדרש: ערך היום, ערך במועד תחילת הסדרה, או ערך במועד סיום הסדרה.

כאשר התשלום הראשון מתבצע היום, הכפלת הערך הרגיל ב־(1 + r) מעבירה את נקודת הייחוס תקופה אחת קדימה ומתאימה את החישוב לאנונה מראש. כאשר הסדרה דחויה, חלוקה ב־(1 + r) בחזקה מתאימה מעבירה את הערך אחורה לזמן 0.

סוג הסדרה	מועד התשלום הראשון	התאמת הערך לזמן 0
אנונה רגילה	בעוד תקופה אחת	אין צורך בהתאמה
אנונה מראש	היום	הכפלת הערך הרגיל ב־(1 + r)
סדרה דחויה	בעוד k תקופות, כאשר k > 1	חלוקת הערך שהתקבל בזמן k−1 ב־(1 + r)^(k−1)

אנונה צמיתה: סדרה אינסופית של תשלומים קבועים

אנונה צמיתה היא סדרה אינסופית של תשלומים קבועים במרווחי זמן קבועים. מכיוון שמספר התשלומים אינו סופי, הנוסחה אינה כוללת את מספר התקופות n. כאשר התשלום הראשון מתקבל בעוד תקופה אחת, הערך הנוכחי הוא:

PV = PMT ÷ r

גם כאן נקודת הייחוס היא תקופה אחת לפני התשלום הראשון. לכן, אם התשלום הראשון בעוד תקופה אחת, הערך שמתקבל הוא הערך היום. אם התשלום הראשון דחוי בעוד k תקופות, יש לחשב תחילה את הערך בזמן k − 1 ואז להוון אותו לזמן 0:

PV היום = (PMT ÷ r) ÷ (1 + r)^(k−1)

אם התשלום הראשון מתבצע מיד, הערך הנוכחי כולל את התשלום המיידי ואת הערך של יתרת הסדרה האינסופית:

PV של אנונה צמיתה מראש = PMT + (PMT ÷ r) = PMT × (1 + r) ÷ r

השימוש באנונה צמיתה נפוץ בהערכת נכסים פיננסיים המייצרים תזרים קבוע ללא אופק סיום, כגון קונסול או נכס המניב קצבה קבועה.