רפליקציה, מחמ וחילוץ המבנה העתי

השיעור מציג כיצד ניתן לפרק איגרת חוב לתזרימי מזומנים בסיסיים, לשכפל אותם באמצעות איגרות אחרות ולחלץ ממחירי השוק את שיעורי הספוט לכל מועד. על בסיס זה נבנית הערכת הרגישות של מחיר האיגרת או התיק לשינויים בתשואות באמצעות מחמ.

שכפול תזרים של איגרת באמצעות תיק איגרות אחרות

רפליקציה היא בניית תיק איגרות חוב שתזרים המזומנים שלו זהה לתזרים של איגרת נבחנת, בכל מועד ומועד. הזהות נבחנת לפי סכום התשלום ומועדו, ובלבד שרמת הסיכון של התזרימים זהה. אם שני נכסים יוצרים תזרים זהה, השווי הכלכלי שלהם חייב להיות שווה; אחרת ניתן לקנות את התזרים הזול ולמכור את היקר, ולנצל פער מחירים ללא השקעה עצמית.

דוגמה בסיסית: איגרת קופון לשנתיים עם ערך נקוב 100 וקופון שנתי 6% משלמת 6 בעוד שנה ו-106 בעוד שנתיים. אפשר לשכפל תזרים זה באמצעות שתי איגרות אפס-קופון חסרות סיכון: איגרת אחת שמשלמת 6 בעוד שנה, ואיגרת שנייה שמשלמת 106 בעוד שנתיים. אם איגרות אפס-קופון אינן זמינות, ניתן לעיתים לשכפל את התזרים באמצעות צירוף של שתי איגרות קופון אחרות, על ידי פתרון מערכת משוואות שבה סכום הקופונים והקרן בכל שנה תואם לתזרים המבוקש.

חילוץ שיעורי ספוט מתוך מחירי איגרות

שיעור ספוט לתקופה t, המסומן r_t, הוא שיעור ההיוון של תזרים בודד ודאי שישולם בעוד t תקופות. הוא אינו ממוצע של ריביות לאורך כל התקופות, אלא מחיר של כסף למועד אחד מוגדר. באיגרת אפס-קופון חסרת סיכון, כל התזרים מתקבל במועד אחד, ולכן המחיר שלה מאפשר לחלץ את הספוט ישירות:

P_t = FV / (1 + r_t)^t

ולכן:

r_t = (FV / P_t)^(1/t) − 1

כאשר אין איגרת אפס-קופון לכל מועד, חילוץ המבנה העתי נעשה בהדרגה. תחילה מחלצים את הספוט לתקופה הקצרה ביותר, אחר כך מהוונים את התזרימים המוקדמים שכבר ידועים, ולבסוף פותרים את הספוט לתקופה האחרונה שנותרה. הטבלה הבאה מדגימה עיקרון זה.

איגרת	תזרים בעוד שנה 1	תזרים בעוד שנה 2	תזרים בעוד שנה 3	מחיר
א' (אפס)	100	0	0	95.00
ב' (אפס)	0	100	0	90.00
ג' (קופון)	6	6	106	101.37

מאיגרת א' מתקבל r_1 = 100/95 − 1 = 5.263%. מאיגרת ב' מתקבל r_2 = (100/90)^(1/2) − 1 = 5.409%. עבור איגרת ג' משתמשים בשני השיעורים שכבר חולצו, ומשוואת המחיר היא:

101.37 = 6/(1 + r_1) + 6/(1 + r_2)^2 + 106/(1 + r_3)^3

מכאן מחלצים את r_3, ובדוגמה זו הוא בקירוב 5.50%. שלושת השיעורים האלה הם נקודות על המבנה העתי של שערי הריבית. חשוב להבחין בין ספוט לבין תשואה לפדיון: תשואה לפדיון היא שיעור אחיד אחד שמחליף את כל הספוטים ומשווה את מחיר האיגרת לערך הנוכחי של תזרימיה. רק במקרים פרטיים, כגון מבנה עתי שטוח, איגרת אפס-קופון או איגרת בעלת תקופה אחת, התשואה לפדיון שווה לשיעור הספוט הרלוונטי.

מחמ ממוצע כמדד לרגישות

מחמ ממוצע (Duration) הוא ממוצע משוקלל של מועדי קבלת התזרימים מאיגרת חוב. המשקל של כל מועד הוא הערך הנוכחי של התזרים באותו מועד חלקי מחיר האיגרת. אם נסמן את התזרים במועד t ב-C_t, את המחיר ב-P ואת התשואה לפדיון ב-y, אז:

D = Σ [t · C_t / (1 + y)^t] / P

כאשר המבנה העתי אינו שטוח, אפשר לחשב את הערכים הנוכחיים באמצעות שיעורי הספוט לכל מועד; העיקרון של שקלול המועדים נשאר זהה. המחמ נמדד ביחידות זמן, בדרך כלל שנים, אך הוא אינו בהכרח הזמן עד הפירעון. באיגרת אפס-קופון, שבה כל התזרים משולם במועד הפירעון, המחמ הממוצע שווה לזמן שנותר עד הפירעון. באיגרת קופון, חלק מהכסף מתקבל לפני כן, ולכן המחמ קצר יותר.

ככל שהקופון גבוה יותר או התשואה גבוהה יותר, חלק גדול יותר מהשווי מתקבל מוקדם, והמחמ נוטה להיות נמוך יותר. ככל שהזמן לפדיון ארוך יותר, המחמ נוטה להיות גבוה יותר. עבור תיק איגרות, מחמ ממוצע הוא ממוצע משוקלל של המחמ של כל איגרת, לפי שווי השוק שלה בתיק. אם איגרת א' מהווה 40% משווי התיק והמחמ שלה 3, ואיגרת ב' מהווה 60% והמחמ שלה 5, המחמ הממוצע של התיק הוא 0.4·3 + 0.6·5 = 4.2. משמעותו: מדד מסכם לרגישות שווי התיק לשינויים בתשואות.

שימוש במחמ להערכת שינוי במחיר בעקבות שינוי בתשואה

הקשר בין מחיר לתשואה הוא הפוך: עלייה בתשואה מורידה את המחיר, וירידה בתשואה מעלה אותו. המחמ מתרגם קשר זה לקירוב כמותי. לשם כך משתמשים במחמ מתוקן, המוגדר כמחמ הממוצע חלקי 1 ועוד התשואה לתקופה, בהנחת תשואה שנתית אפקטיבית:

D_mod = D / (1 + y)

עבור שינוי קטן בתשואה, השינוי היחסי במחיר מקורב על ידי:

ΔP/P ≈ −D_mod · Δy

אם מחמ מתוקן של איגרת הוא 4 והתשואה עולה ב-0.5%, כלומר Δy = 0.005, אז השינוי היחסי במחיר הוא בקירוב −4 · 0.005 = −0.02, או ירידה של כ-2%. אם התשואה יורדת ב-0.5%, המחיר צפוי לעלות בכ-2%. באותו אופן, מחמ ממוצע של תיק מאפשר להעריך את השינוי בשווי התיק כולו, ובלבד ששינוי התשואה מיוחס לכל האיגרות באופן עקבי.

הקירוב מדויק יותר כאשר השינוי בתשואה קטן, משום שהקשר האמיתי בין מחיר לתשואה אינו קווי לחלוטין. ככל שהשינוי בתשואה גדול יותר, גדלה חשיבותה של הקמירות של האיגרת, כלומר העובדה שרגישות המחיר עצמה משתנה עם התשואה. אם הקופונים משולמים בתדירות גבוהה משנתית, יש להתאים גם את התשואה וגם את המחמ לאותה תדירות. עם זאת, לצורכי תמחור מהיר, השוואת איגרות ובחינת רגישות של תיק, המחמ הוא הכלי המרכזי.