חקירת הפונקציה הרציונלית

בשיעור זה נעסוק בפונקציה רציונלית, כלומר בפונקציה המוצגת כמנה של שני פולינומים. הרעיון המרכזי הוא שחקירת הגרף מתבססת על תחום ההגדרה, האסימפטוטות, נקודות החיתוך, סימני הפונקציה והנגזרת. שילוב הנתונים האלה מאפשר לקבוע את צורת הענפים ולסרטט סקיצה מדויקת.

תחום ההגדרה ונקודות אי־הגדרה

פונקציה רציונלית היא פונקציה מהצורה $f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}$, כאשר $p(x)$ ו־$q(x)$ הם פולינומים. תחום ההגדרה כולל את כל המספרים הממשיים שבהם המכנה שונה מאפס, כלומר כל $x$ שעבורו $q(x)\ne0$. כל נקודה שבה המכנה מתאפס היא נקודת אי־הגדרה, ולכן הפונקציה אינה רציפה בה. בנקודות אלה הגרף אינו עובר, והוא מתחלק לענפים נפרדים. אם המכנה מתאפס בנקודה שבה גם המונה מתאפס, יש לבדוק את הביטוי לאחר צמצום גורמים משותפים; ייתכן שהפונקציה שואפת לאינסוף, וייתכן שבנקודה יש נקודה חסרה בעלת גבול סופי. לכן לפני כל שלב אחר בחקירה יש לציין את תחום ההגדרה ולהתייחס אליו בכל המשך הבדיקה.

אסימפטוטה אנכית בסביבת נקודת אי־הגדרה

אסימפטוטה אנכית היא ישר מהצורה $x=a$, כלומר ישר המאונך לציר $x$, שגרף הפונקציה שואף אליו כאשר $x$ מתקרב ל־$a$ מימין או משמאל, וערכי הפונקציה שואפים ל־$\infty$ או ל־$-\infty$. בפונקציה רציונלית, אם $q(a)=0$ ו־$p(a)\ne0$, אז יש אסימפטוטה אנכית ב־$x=a$. כדי לתאר את ההתנהגות ליד האסימפטוטה יש לבדוק את הסימן משני הצדדים: מצד אחד הפונקציה יכולה לשאוף ל־$\infty$, ומצד שני ל־$-\infty$, או לשאוף לאותו כיוון בשני הצדדים. האסימפטוטה עצמה אינה חלק מהגרף, משום שהפונקציה אינה מוגדרת ב־$x=a$. בסקיצה נהוג לסמן אסימפטוטה אנכית בקו מקווקו.

התנהגות עבור $x\to\pm\infty$ ואסימפטוטה אופקית

כדי להבין את קצוות הגרף, בודקים מה קורה לערכי הפונקציה כאשר $x$ גדל מאוד או קטן מאוד, כלומר כאשר $x\to\infty$ או $x\to-\infty$. הבדיקה נעשית באופן אינטואיטיבי על ידי השוואת החזקות הגבוהות ביותר במונה ובמכנה. אסימפטוטה אופקית היא ישר מהצורה $y=L$, כלומר ישר המאונך לציר $y$, שהגרף מתקרב אליו כאשר $x$ שואף לאינסוף או למינוס אינסוף. בפונקציה רציונלית: אם מעלת המונה קטנה ממעלת המכנה, האסימפטוטה האופקית היא $y=0$. אם המעלות שוות, האסימפטוטה היא היחס בין המקדמים המובילים. אם מעלת המונה גדולה ממעלת המכנה, אין אסימפטוטה אופקית, והגרף עשוי להתרחק לאינסוף. יש לשים לב שאסימפטוטה אופקית מתארת התנהגות רחוקה בלבד, ולכן הגרף יכול לחתוך אותה בנקודות סופיות.

נקודות חיתוך של הגרף עם הצירים

נקודות החיתוך עם ציר $x$ מתקבלות במקומות שבהם $f(x)=0$. בפונקציה רציונלית השבר שווה לאפס כאשר המונה שווה לאפס והמכנה שונה מאפס. לכן פותרים $p(x)=0$ ומוודאים שהפתרונות אינם מאפסים את המכנה. כל פתרון כזה נותן נקודת חיתוך מהצורה $(x,0)$. אם ערך מסוים מאפס גם את המונה וגם את המכנה, הוא אינו נקודת חיתוך, משום שהפונקציה אינה מוגדרת בו. נקודת חיתוך עם ציר $y$ מתקבלת, אם קיימת, על ידי הצבת $x=0$. אם $x=0$ שייך לתחום ההגדרה, מחשבים $f(0)$ ומקבלים את הנקודה $(0,f(0))$. אם המכנה מתאפס ב־$x=0$, לפונקציה אין נקודת חיתוך עם ציר $y$.

חיוביות, שליליות ופתרון אי־שוויונות רציונליים

תחום חיוביות של פונקציה הוא חלק מתחום ההגדרה שבו $f(x)>0$, ותחום שליליות הוא החלק שבו $f(x)<0$. בפונקציה רציונלית הסימן תלוי בסימני המונה והמכנה. כדי לפתור אי־שוויון מהצורה $\frac{f(x)}{g(x)}>0$ או $\frac{f(x)}{g(x)}\ge0$, מעבירים תחילה את כל האיברים לאגף אחד ומאחדים לשבר אחד, אם יש צורך. לאחר מכן מוצאים את נקודות האפס של המונה ואת נקודות אי־ההגדרה שבהן המכנה מתאפס. נקודות אלה מחלקות את ציר המספרים לקטעים, ובודקים את הסימן בכל קטע. כדי לבחור סימן בקטע, אפשר להציב מספר נוח מאותו קטע או להשתמש בכלל הסימנים של הגורמים. באי־שוויון קפדני מסוג $>$ אין לכלול אף נקודת קצה; באי־שוויון מסוג $\ge$ מותר לכלול נקודות שבהן המונה מתאפס והמכנה שונה מאפס, אך לעולם לא כוללים נקודות שבהן המכנה מתאפס. אין להכפיל אי־שוויון במכנה בלי לבדוק את סימנו, משום שהכפלה בביטוי שלילי הופכת את כיוון האי־שוויון.

תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון

כדי למצוא תחומי עלייה וירידה, גוזרים את הפונקציה. נגזרת חיובית בתחום מסוים מציינת שהפונקציה עולה בו, ונגזרת שלילית מציינת שהפונקציה יורדת בו. נקודות חשודות לקיצון הן נקודות שבהן $f'(x)=0$ או שבהן הנגזרת אינה מוגדרת, ובלבד שהנקודה עצמה שייכת לתחום ההגדרה של הפונקציה. כדי לקבוע סוג קיצון, בודקים אם סימן הנגזרת משתנה סביב הנקודה: מעבר מעלייה לירידה נותן נקודת מקסימום מקומי, ומעבר מירידה לעלייה נותן נקודת מינימום מקומי. אם הנגזרת אינה משנה סימן, הנקודה אינה נקודת קיצון. נקודות קיצון פנימיות הן נקודות בתוך תחום ההגדרה שבהן מתרחש שינוי כזה. אם הפונקציה נחקרת בתחום סגור או בתחום שיש לו קצוות מוגדרים, יש לבדוק גם את ערכי הפונקציה בקצוות התחום. נקודת קצה שייכת לתחום יכולה להיות נקודת קיצון מוחלטת גם אם הנגזרת אינה מתאפסת בה. לעומת זאת, קצה שאינו בתחום ההגדרה, למשל אסימפטוטה אנכית, אינו נקודת קיצון של הפונקציה.

הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת

גרף הנגזרת מתאר את שיפוע המשיקים לגרף הפונקציה. כאשר גרף הנגזרת נמצא מעל ציר $x$, הפונקציה עולה; כאשר הוא נמצא מתחת לציר $x$, הפונקציה יורדת. נקודות שבהן גרף הנגזרת חותך את ציר $x$ הן נקודות שבהן שיפוע הפונקציה הוא אפס, ולכן הן מועמדות לנקודות קיצון. אם גרף הנגזרת עובר מצד חיובי לצד שלילי, הפונקציה עוברת מעלייה לירידה ומתקבל מקסימום מקומי. אם המעבר הוא משלילי לחיובי, מתקבל מינימום מקומי. יש להבחין בין ערך הפונקציה לערך הנגזרת: נקודה שבה הפונקציה חיובית אינה בהכרח נקודה שבה הפונקציה עולה, ונקודה שבה הנגזרת שלילית אינה אומרת שהפונקציה שלילית, אלא שהיא יורדת. אם לנגזרת יש נקודות אי־הגדרה, הן עשויות להתאים לנקודות שבהן הפונקציה עצמה אינה מוגדרת, ולכן אין לראות בהן נקודות קיצון.

זוגיות ואי־זוגיות של הפונקציה

פונקציה זוגית מקיימת $f(-x)=f(x)$ לכל $x$ בתחום ההגדרה, ופונקציה אי־זוגית מקיימת $f(-x)=-f(x)$. לפני בדיקת הזוגיות יש לוודא שתחום ההגדרה סימטרי ביחס לראשית הצירים; אם קיים ערך $x$ בתחום אך $-x$ אינו בתחום, הפונקציה אינה יכולה להיות זוגית או אי־זוגית. מבחינה גרפית, גרף של פונקציה זוגית סימטרי ביחס לציר $y$, כלומר שיקוף של חלק אחד בציר $y$ נותן את החלק השני. גרף של פונקציה אי־זוגית סימטרי ביחס לראשית הצירים, כלומר סיבוב של חלק אחד ב־180 מעלות סביב הראשית נותן את החלק השני. בפונקציה רציונלית נוח לבדוק זוגיות על ידי הצבת $-x$ בפונקציה ופישוט הביטוי. לעיתים אפשר להיעזר בכך שחזקות זוגיות של $x$ מתנהגות באופן סימטרי, אך הבדיקה הסופית היא תמיד אלגברית לפי ההגדרה.

סרטוט סקיצה של הגרף

סרטוט סקיצה של פונקציה רציונלית אינו דורש שרטוט מדויק של כל נקודה, אלא שילוב של כל הממצאים בחקירה. תחילה מסמנים את תחום ההגדרה ואת האסימפטוטות בקווים מקווקווים. לאחר מכן מסמנים את נקודות החיתוך עם הצירים ואת נקודות הקיצון, אם קיימות. בעזרת החיוביות והשליליות קובעים אם כל ענף נמצא מעל ציר $x$ או מתחתיו, ובעזרת תחומי העלייה והירידה קובעים את כיוון התנועה של הגרף. לבסוף משלימים את ההתנהגות ליד האסימפטוטות האנכיות ואת ההתנהגות באינסוף. אם הפונקציה זוגית או אי־זוגית, אפשר להשתמש בסימטריה כדי להשלים חלקים של הגרף. מומלץ לבחור גם נקודות עזר מעטות אם הן עוזרות להבהיר את צורת הענף. הסקיצה צריכה לשקף את כל האילוצים האלה: אין נקודות בתחום שבו הפונקציה אינה מוגדרת, אין חצייה של אסימפטוטה אנכית, והענפים מתקרבים לאסימפטוטה האופקית בקצוות הרלוונטיים.

שימוש בפרמטר אחד בשאלה

בשאלות שבהן מופיע פרמטר אחד, למשל $a$, מתייחסים אל הפרמטר כאל קבוע בזמן הגזירה ובזמן מציאת תחום ההגדרה. תחילה מבטאים את תחום ההגדרה, האסימפטוטות, נקודות החיתוך, נקודות הקיצון או תחומי העלייה והירידה באמצעות הפרמטר. לאחר מכן משתמשים בנתון נוסף מהשאלה כדי למצוא את ערכו של הפרמטר. הנתון יכול להיות שיעור $x$ של נקודת קיצון, ערך הפונקציה בנקודה מסוימת, שיפוע משיק, מיקום אסימפטוטה או תנאי הקשור לאי־שוויון. בשאלה עם פרמטר יש לעיתים להבחין בין ערכי הפרמטר שבהם נשמרת מעלת המונה או המכנה לבין ערכים שבהם היא משתנה. לאחר מציאת הפרמטר יש לבדוק שהוא אינו גורם למכנה להתאפס באופן שאינו מותר, אינו משנה את מבנה השאלה בניגוד לנתונים, ומקיים את כל התנאים שהופיעו בשאלה. אם לפרמטר יש כמה ערכים אפשריים, יש לבחון כל ערך בנפרד ולוודא שהוא מתאים לכל הדרישות.