ציון תקן ותכונותיו

בשיעור זה נבחן כיצד מתארים את המיקום של נתון בודד בתוך קבוצת נתונים, גם כאשר הנתונים נמדדים ביחידות שונות או מגיעים מאוכלוסיות שונות. הרעיון המרכזי הוא המרת הנתון הגולמי לציון תקן, כלומר למרחק מהממוצע ביחידות של סטיית תקן. כך אפשר להבין אם הנתון גבוה או נמוך מהממוצע, ובאיזו עוצמה, ולהשוות אותו לנתונים אחרים.

הגדרת ציון תקן

ציון תקן הוא מדד למיקום היחסי של נתון גולמי ביחס לממוצע הקבוצה, ביחידות של סטיית התקן. הוא עונה על השאלה: כמה סטיות תקן נמצא הנתון מעל הממוצע או מתחתיו.

נתון גולמי הוא הערך המקורי שנמדד, לפני כל המרה, למשל ציון במבחן, גובה, זמן ריצה או משקל. אם נתון גולמי מסומן באות x, הממוצע מסומן באות μ, וסטיית התקן מסומנת באות σ, אז ציון התקן של הנתון הוא:

z = (x − μ) / σ

באותו רעיון אפשר לכתוב: ציון תקן = (הנתון − הממוצע) / סטיית התקן.

המונה מודד את המרחק של הנתון מהממוצע. המכנה ממיר את המרחק הזה ליחידות של סטיית תקן. לכן ציון תקן של 1 פירושו שהנתון נמצא סטיית תקן אחת מעל הממוצע, וציון תקן של ‎-2 פירושו שהנתון נמצא שתי סטיות תקן מתחת לממוצע.

לדוגמה, אם ממוצע הציונים במבחן הוא 70 וסטיית התקן היא 5, תלמיד שקיבל 80 נמצא במרחק 10 נקודות מעל הממוצע. מכיוון שכל סטיית תקן היא 5 נקודות, ציון התקן שלו הוא 2. תלמיד שקיבל 65 נמצא 5 נקודות מתחת לממוצע, ולכן ציון התקן שלו הוא ‎-1.

ציון התקן אינו אומר רק אם הנתון גדול או קטן מהממוצע. הוא מראה גם אם הנתון קרוב או רחוק מהממוצע ביחס לפיזור המקובל בקבוצה. נתון שנמצא חצי סטיית תקן מעל הממוצע אינו דומה לנתון שנמצא שלוש סטיות תקן מעל הממוצע, אף ששניהם חיוביים.

חישוב ציון תקן מנתון גולמי, ממוצע וסטיית תקן

כדי לחשב ציון תקן של נתון יחיד אין צורך בכל רשימת הנתונים. מספיקים שלושה נתונים: הערך הגולמי, ממוצע הקבוצה וסטיית התקן של הקבוצה.

• הנתון הגולמי הוא הערך שאותו רוצים למקם.
• הממוצע הוא הערך המרכזי שסביבו נמדדים הנתונים.
• סטיית התקן מתארת את גודל הפיזור של הנתונים סביב הממוצע.

סדר החישוב הוא:

• מחשבים את ההפרש בין הנתון לממוצע: x − μ.
• מחלקים את ההפרש בסטיית התקן: (x − μ) / σ.

אם הממוצע הוא 60 וסטיית התקן היא 8, אז נתון שווה 76 נמצא 16 יחידות מעל הממוצע. מכיוון שכל סטיית תקן היא 8 יחידות, ציון התקן הוא 2. נתון שווה 52 נמצא 8 יחידות מתחת לממוצע, ולכן ציון התקן שלו הוא ‎-1.

כאשר סטיית התקן גדולה, אותו הפרש מהממוצע ייתן ציון תקן קטן יחסית. כאשר סטיית התקן קטנה, אותו הפרש ייתן ציון תקן גדול יחסית. לכן ציון התקן תלוי לא רק במרחק מהממוצע, אלא גם במידת הפיזור של הקבוצה.

ציון תקן בכל קבוצת נתונים מספרית

ציון תקן אינו מותנה בכך שהנתונים מתפלגים התפלגות נורמלית. אפשר לחשב אותו לכל קבוצת נתונים מספרית שיש לה ממוצע וסטיית תקן חיובית, בין אם הנתונים מסודרים בצורת עקומה סימטרית ובין אם לא.

לכן ציון תקן יכול לשמש לתיאור מיקום יחסי בהתפלגות נורמלית, אך גם בהתפלגויות אחרות. הוא אינו טוען שהנתונים מתפלגים בצורה מסוימת; הוא רק ממיר את הנתון לסולם משותף.

אם סטיית התקן של הקבוצה היא 0, כל הנתונים שווים זה לזה. במצב כזה אין פיזור, ואין אפשרות לחלק בסטיית התקן. לכן ציון תקן מוגדר רק כאשר סטיית התקן חיובית.

סימן ציון התקן וגודלו

הסימן של ציון התקן נובע ישירות מההפרש בין הנתון לממוצע. אם הנתון גדול מהממוצע, ההפרש חיובי וציון התקן חיובי. אם הנתון קטן מהממוצע, ההפרש שלילי וציון התקן שלילי. אם הנתון שווה לממוצע, ציון התקן הוא 0.

• ציון תקן חיובי: הנתון מעל הממוצע. ככל שהערך החיובי גדול יותר, הנתון רחוק יותר מעל הממוצע.
• ציון תקן שלילי: הנתון מתחת לממוצע. ככל שהערך השלילי רחוק יותר מאפס, הנתון רחוק יותר מתחת לממוצע.
• ציון תקן 0: הנתון שווה בדיוק לממוצע.

לדוגמה, במבחן שממוצעו 75 וסטיית התקן שלו 10, ציון 90 מתאים לציון תקן 1.5, וציון 60 מתאים לציון תקן ‎-1.5. שני הנתונים רחוקים מאותו מרחק מהממוצע, אך בכיוונים מנוגדים.

גודלו המוחלט של ציון התקן מאפשר להעריך עד כמה הנתון בולט בקבוצה. נתון עם ציון תקן 0.3 קרוב יחסית לממוצע, ואילו נתון עם ציון תקן 2.5 נמצא מרחק גדול יותר מהממוצע, ביחס לפיזור הנתונים.

השוואת נתונים מאוכלוסיות שונות

נתונים גולמיים אינם מספיקים כדי להשוות בין קבוצות שונות, משום שלכל קבוצה יכולים להיות ממוצע וסטיית תקן שונים. ציון גבוה במבחן אחד אינו בהכרח טוב יותר מציון נמוך במבחן אחר, וגובה של 180 סנטימטרים אינו בהכרח גבוה במיוחד אם ממוצע הגבהים בקבוצה מסוימת גבוה.

ציון התקן מסיר את ההבדלים האלה, משום שהוא מודד את המרחק מהממוצע ביחידות של סטיית תקן. כדי להשוות בין שני נתונים משתי אוכלוסיות, מחשבים את ציון התקן של כל אחד מהם. הנתון בעל ציון התקן הגבוה יותר נמצא במיקום יחסי גבוה יותר בתוך קבוצתו, גם אם הערך הגולמי שלו נמוך יותר.

דוגמה: בשתי מדינות נמדד גובה של גברים. במדינה א' הממוצע הוא 175 סנטימטרים וסטיית התקן היא 10 סנטימטרים. במדינה ב' הממוצע הוא 185 סנטימטרים וסטיית התקן היא 6 סנטימטרים. גבר שגובהו 177 סנטימטרים במדינה א' נמצא 2 סנטימטרים מעל הממוצע, ולכן ציון התקן שלו הוא 0.2. גבר שגובהו 187 סנטימטרים במדינה ב' נמצא גם הוא 2 סנטימטרים מעל הממוצע, אך מכיוון שסטיית התקן קטנה יותר, ציון התקן שלו הוא בערך 0.33. לכן הגבר במדינה ב' גבוה יותר ביחס לקבוצתו, אף ששניהם רחוקים אותם 2 סנטימטרים מהממוצע שלהם.

באופן דומה, אפשר להשוות בין ציונים במבחנים שונים. אם במבחן אחד הממוצע נמוך וסטיית התקן קטנה, ובמבחן אחר הממוצע גבוה וסטיית התקן גדולה, השוואה ישירה של הציונים הגולמיים עלולה להטעות. ציוני התקן מאפשרים לבדוק מי נמצא גבוה יותר ביחס לנבחנים באותו מבחן.

ממוצע ציוני התקן וסטיית התקן שלהם

כאשר מחשבים ציוני תקן לכל הנתונים בקבוצה, מתקבלת קבוצה חדשה של מספרים. לקבוצה החדשה הזו יש שתי תכונות קבועות: הממוצע שלה הוא 0, וסטיית התקן שלה היא 1.

הממוצע הוא 0 משום שציוני התקן מודדים סטיות מהממוצע המקורי. נתונים שנמצאים מעל הממוצע מקבלים ערכים חיוביים, ונתונים שנמצאים מתחת לממוצע מקבלים ערכים שליליים. בסך הכול, הסטיות החיוביות והשליליות מתאזנות, ולכן ממוצע ציוני התקן הוא בדיוק 0.

סטיית התקן היא 1 משום שהמרת הנתונים לציוני תקן מגדירה מחדש את יחידת המדידה. כל יחידה אחת בציוני התקן היא סטיית תקן אחת של הנתונים המקוריים. לכן הפיזור של ציוני התקן אינו נמדד עוד בנקודות, בסנטימטרים או בדקות, אלא ביחידות תקניות.

תכונות אלו נכונות לכל קבוצת נתונים שבה סטיית התקן חיובית, ולא רק להתפלגות נורמלית. אם הנתונים המקוריים אינם נורמליים, ציוני התקן עדיין יהיו בעלי ממוצע 0 וסטיית תקן 1, אך צורת ההתפלגות שלהם תישאר תלויה בצורת הנתונים המקוריים.

ציון תקן כגודל ללא ממד

ציון תקן הוא גודל ללא ממד, כלומר אין לו יחידות מדידה. הנוסחה מחלקת את ההפרש בין הנתון לממוצע בסטיית התקן, ושני הגדלים באותו חישוב נמדדים באותן יחידות. אם הנתונים הם סנטימטרים, המונה הוא סנטימטרים והמכנה הוא סנטימטרים, ולכן היחידות מצטמצמות. אם הנתונים הם נקודות במבחן, המונה והמכנה נמדדים בנקודות, וגם אז מתקבל מספר טהור.

היעדר היחידות מאפשר להשתמש בציוני תקן לצורך השוואה בין תחומים שונים. אפשר להשוות בין מיקום יחסי של גובה, ציון, זמן ריצה או משקל, משום שכולם מומרים לאותו סוג של מדד: מספר של סטיות תקן מהממוצע.

לכן ציון תקן אינו מתאר את הנתון המקורי עצמו, אלא את מיקומו היחסי. נתון עם ציון תקן 1.2 יכול להיות גובה, ציון או הישג ספורטיבי; המשמעות המשותפת היא שהנתון נמצא 1.2 סטיות תקן מעל הממוצע של קבוצתו.

ציון תקן בהתפלגות נורמלית

ציון תקן אינו דורש התפלגות נורמלית, אך בהתפלגות נורמלית יש לו תפקיד מרכזי. כאשר הנתונים מתפלגים נורמלית, אפשר לעבור מציר הנתונים המקוריים לציר ציוני תקן, ולהשתמש בעקומה נורמלית סטנדרטית. העקומה הזו היא התפלגות נורמלית שהממוצע שלה 0 וסטיית התקן שלה 1.

המעבר לציוני תקן שומר על המיקום היחסי של כל נתון: נתון שנמצא מעל הממוצע נשאר מעל הממוצע, ונתון שנמצא מתחת לממוצע נשאר מתחתיו. במקביל, הוא מאפשר לדון בכל ההתפלגויות הנורמליות באמצעות אותה מסגרת אחת.

לכן ציון התקן משמש כשלב מקשר בין נתון גולמי לבין חישובי הסתברות או חלקים יחסיים באוכלוסייה, כאשר הנתונים מתאימים להתפלגות נורמלית. הוא אינו מחליף את הנתון הגולמי, אלא מציג אותו על סולם משותף, שבו אפשר להשוות, לפרש ולהמשיך לחישובים נוספים.