משוואת המעגל

השיעור עוסק בדרך שבה מתארים מעגל באמצעות אלגברה במערכת צירים. הרעיון המרכזי הוא שהגדרת המעגל כתנאי מרחק קבוע ממרכז קבוע יכולה להיכתב כמשוואה. המשוואה מתארת בדיוק את כל הנקודות שמקיימות את התנאי הזה, ולכן היא הגשר בין התיאור הגאומטרי לתיאור האנליטי.

המעגל כמקום גאומטרי

מעגל הוא אוסף כל הנקודות במישור שמרחקן מנקודה קבועה הוא קבוע. הנקודה הקבועה נקראת מרכז המעגל, והמרחק הקבוע נקרא רדיוס המעגל. הגדרה זו היא הגדרה של מקום גאומטרי: אוסף נקודות שמקיימות תנאי מסוים.

בגאומטריה אנליטית מייצגים כל נקודה במישור בעזרת זוג סדור של שיעורים, ולכן אפשר לתרגם תנאים גאומטריים למשוואות. במקרה של מעגל, התנאי הגאומטרי הוא מרחק קבוע. את המרחק מחשבים בעזרת נוסחת המרחק, וכך מתקבלת משוואה שמייצגת את המעגל.

אם נסמן את מרכז המעגל ב־M ואת הרדיוס ב־R, אז נקודה P נמצאת על המעגל אם ורק אם המרחק בין P ל־M שווה ל־R. כלומר, תנאי ההשתייכות למעגל הוא MP=R. נקודה שמרחקה מהמרכז קטן מ־R נמצאת בתוך המעגל, ונקודה שמרחקה גדול מ־R נמצאת מחוץ למעגל.

כדי להפוך את ההגדרה הזאת למשוואה, מתארים את הנקודה P באמצעות שיעוריה (x,y), ואת המרכז M באמצעות שיעורים קבועים. לאחר מכן מחשבים את המרחק בעזרת נוסחת המרחק, ומשווים אותו לרדיוס. כך הופך התיאור "כל הנקודות שמרחקן מהמרכז שווה לרדיוס" לביטוי אלגברי מדויק.

המשוואה הקנונית: מעגל שמרכזו בראשית הצירים

כאשר מרכז המעגל הוא ראשית הצירים, כלומר M(0,0), המרחק של נקודה P(x,y) מהמרכז הוא √(x²+y²). אם הרדיוס הוא R, תנאי ההשתייכות למעגל הוא √(x²+y²)=R.

אפשר להבין זאת גם בעזרת משפט פיתגורס. השיעור x והשיעור y של הנקודה יוצרים שני ניצבים במשולש ישר־זווית שמתחיל בראשית הצירים ומסתיים בנקודה. המרחק מהראשית אל הנקודה הוא היתר במשולש הזה, ולכן ריבוע המרחק הוא סכום ריבועי השיעורים.

כדי להיפטר מהשורש, מעלים את שני האגפים בריבוע ומקבלים את המשוואה הקנונית:

x²+y²=R²

בצורה זו:

• R הוא רדיוס המעגל.
• R² הוא מספר חיובי.
• המרכז הוא ראשית הצירים.

הערך R² הוא ריבוע הרדיוס, ולכן הוא תמיד חיובי עבור מעגל אמיתי. כאשר נתונה משוואה קנונית, אין צורך לזהות את המרכז: הוא תמיד (0,0). מה שצריך לעשות הוא לזהות את המספר שמופיע באגף ימין ולהבין שהוא R².

למשל, המשוואה x²+y²=25 מתארת מעגל שמרכזו בראשית הצירים ורדיוסו 5, מפני ש־R²=25 ולכן R=5. המשוואה x²+y²=2 מתארת מעגל שמרכזו בראשית הצירים ורדיוסו √2. לעומת זאת, המשוואה x²+y²=0 אינה מתארת מעגל בעל רדיוס חיובי, אלא נקודה אחת בלבד: ראשית הצירים. לכן במעגל של ממש דורשים R>0.

המשוואה הכללית: מעגל שמרכזו בנקודה (a,b)

כאשר מרכז המעגל אינו בראשית הצירים, אלא בנקודה M(a,b), המרחק בין נקודה כללית P(x,y) לבין המרכז הוא:

√((x-a)²+(y-b)²)

הביטוי x-a מייצג את ההפרש האופקי בין שיעור ה־x של הנקודה לשיעור ה־x של המרכז. הביטוי y-b מייצג את ההפרש האנכי בין שיעור ה־y של הנקודה לשיעור ה־y של המרכז. הריבועים מבטיחים שהמרחק אינו תלוי בכיוון ההפרש, אלא בגודלו בלבד.

אם הרדיוס הוא R, תנאי ההשתייכות למעגל הוא:

√((x-a)²+(y-b)²)=R

לאחר העלאה בריבוע מתקבלת המשוואה הכללית של המעגל:

(x-a)²+(y-b)²=R²

במשוואה זו:

• (a,b) הם שיעורי מרכז המעגל.
• R הוא רדיוס המעגל.
• x ו־y הם שיעורי נקודה כללית על המעגל.

חשוב לשים לב לסימנים. אם מרכז המעגל הוא (3,2), המשוואה היא (x-3)²+(y-2)²=R². אם מרכז המעגל הוא (-3,2), אז a=-3, ולכן x-a=x-(-3)=x+3, והמשוואה תכלול את הביטוי (x+3)². באופן דומה, אם b=-2, הביטוי יהיה (y+2)².

לדוגמה, מעגל שמרכזו (0,5) ורדיוסו 4 ייכתב כך: x²+(y-5)²=16. כאן שיעור ה־x של המרכז הוא 0, ולכן הביטוי של x נשאר x². מעגל שמרכזו (-6,0) ורדיוסו 3 ייכתב כך: (x+6)²+y²=9, מפני ששיעור ה־y של המרכז הוא 0.

שני מעגלים יכולים להיות בעלי אותו רדיוס אך משוואות שונות, משום שמרכזיהם שונים. למשל, (x-1)²+(y-2)²=9 ו־(x+4)²+(y-5)²=9 מתארים שני מעגלים שונים שרדיוסם 3. ההבדל היחיד ביניהם הוא מיקום המרכז.

המשמעות של המשוואה כתנאי השתייכות

המשוואה של מעגל אינה רק נוסחה לחישוב, אלא תנאי שמגדיר אילו נקודות שייכות למעגל. כאשר מציבים זוג שיעורים (x,y) במשוואה, מקבלים מספר באגף שמאל. אם המספר שווה ל־R², הנקודה נמצאת על המעגל. אם הוא קטן מ־R², הנקודה נמצאת בתוך המעגל. אם הוא גדול מ־R², הנקודה נמצאת מחוץ למעגל.

לכן אין לראות במשוואה רק דרך לחשב ערך יחיד. היא מגדירה קבוצה שלמה של נקודות במישור. כל זוג (x,y) שמקיים את השוויון מצטרף לקבוצה, וכל זוג שאינו מקיים אותו אינו שייך למעגל.

הסיבה לכך היא שהאגף השמאלי של המשוואה הוא ריבוע המרחק בין הנקודה למרכז. לכן השוואה ל־R² היא בדיוק השוואת המרחק לרדיוס. כך המשוואה מבטאת את המקום הגאומטרי בלי צורך לשרטט את המעגל.

למשל, עבור המעגל (x-2)²+(y-3)²=16, המרכז הוא (2,3) והרדיוס הוא 4. אם מציבים את הנקודה (2,7), מתקבל (2-2)²+(7-3)²=0+16=16, ולכן הנקודה נמצאת על המעגל. אם מציבים את הנקודה (2,6), מתקבל 9, כלומר ערך קטן מ־16, ולכן הנקודה נמצאת בתוך המעגל. אם מציבים את הנקודה (2,8), מתקבל 25, כלומר ערך גדול מ־16, ולכן הנקודה נמצאת מחוץ למעגל.

בניית משוואה כאשר נתונים המרכז והרדיוס

אם נתונים מרכז המעגל והרדיוס שלו, אפשר לכתוב את המשוואה ישירות על ידי הצבה במשוואה הכללית. השלבים הם:

• מזהים את שיעורי המרכז (a,b).
• מזהים את הרדיוס R.
• מציבים את a, את b ואת R² במשוואה (x-a)²+(y-b)²=R².

אם המרכז הוא (4,-1) והרדיוס הוא 3, אז a=4, b=-1, R=3 ולכן R²=9. המשוואה היא:

(x-4)²+(y+1)²=9

אם המרכז הוא (-2,-5) והרדיוס הוא 7, אז a=-2, b=-5, R²=49. המשוואה היא:

(x+2)²+(y+5)²=49

אם הרדיוס נתון כשורש, למשל R=√5, אין צורך לחפש מספר עשרוני. מציבים ישירות R²=5. אם המרכז הוא (1,2) והרדיוס הוא √5, מתקבלת המשוואה:

(x-1)²+(y-2)²=5

כאשר כותבים משוואה של מעגל, נהוג להשאיר את הרדיוס בריבוע. אין צורך לפתוח סוגריים או לפשט את המשוואה לצורה אחרת, משום שהצורה הזאת חושפת מיד את המרכז ואת הרדיוס.

בשני המקרים הראשונים ובמקרה האחרון אין צורך לחשב נקודות נוספות: המרכז והרדיוס קובעים את המעגל באופן מלא.

מציאת משוואה כאשר נתונים המרכז ונקודה על המעגל

לעיתים הרדיוס אינו נתון במפורש, אלא ידוע שהמעגל עובר דרך נקודה מסוימת. במקרה כזה משתמשים בעובדה שהמרחק מהמרכז אל כל נקודה על המעגל שווה לרדיוס. לכן מחשבים את המרחק בין המרכז לנקודה הנתונה, ומקבלים את R.

בחישוב עצמו נוח לעבוד עם R². כלומר, מחשבים את סכום ריבועי ההפרשים, ומציבים אותו ישירות במשוואה. כך נמנעים מהצורך לחשב שורש, אלא אם רוצים להציג את הרדיוס עצמו.

אם מרכז המעגל הוא M(2,1) והמעגל עובר דרך הנקודה P(5,5), אז:

R²=(5-2)²+(5-1)²=3²+4²=9+16=25

מכאן שרדיוס המעגל הוא R=5, ומשוואת המעגל היא:

(x-2)²+(y-1)²=25

באותו אופן, אם המרכז הוא M(-3,4) והמעגל עובר דרך הנקודה P(0,0), אז:

R²=(0-(-3))²+(0-4)²=3²+(-4)²=9+16=25

ולכן המשוואה היא:

(x+3)²+(y-4)²=25

העיקרון הוא שהנקודה הנתונה אינה מרכז, אלא נקודה על המעגל. היא משמשת רק לחישוב הרדיוס. לאחר שמצאו את R², כותבים את המשוואה בעזרת המרכז בלבד.

אם הנקודה הנתונה זהה למרכז, המרחק ביניהם הוא 0, ולכן לא מתקבל מעגל בעל רדיוס חיובי. במקרה כזה אין מספיק נתונים כדי לקבוע רדיוס, אלא אם נתון מרחק נוסף.

קריאת המרכז והרדיוס מתוך משוואה

כאשר משוואת מעגל כתובה בצורה הכללית, אפשר לקרוא ממנה ישירות את המרכז ואת הרדיוס. משווים את המשוואה הנתונה לתבנית:

(x-a)²+(y-b)²=R²

למשל, במשוואה (x-6)²+(y+2)²=49 מתקבל:

• a=6, ולכן שיעור ה־x של המרכז הוא 6.
• b=-2, מפני שהביטוי הוא y+2, כלומר y-(-2).
• R²=49, ולכן R=7.

לכן מרכז המעגל הוא (6,-2) ורדיוסו 7.

במשוואה (x+1)²+(y-8)²=10 מתקבל:

• a=-1, מפני ש־x+1 הוא x-(-1).
• b=8.
• R²=10, ולכן R=√10.

לכן מרכז המעגל הוא (-1,8) ורדיוסו √10.

כאשר אחד הביטויים נראה כמו x² או y² בלבד, אפשר לראות בכך מקרה פרטי של הצורה הכללית שבו אחד משיעורי המרכז הוא 0. למשל, x²+(y-5)²=36 היא משוואה של מעגל שמרכזו (0,5) ורדיוסו 6. המשוואה x²+y²=12 היא משוואה קנונית של מעגל שמרכזו (0,0) ורדיוסו √12.

באופן דומה, המשוואה (x-9)²+y²=1 מתארת מעגל שמרכזו (9,0) ורדיוסו 1. היעדר הביטוי של y אינו אומר שאין שיעור y למרכז, אלא ששיעור זה הוא 0.

הקשר בין המשוואה הקנונית למשוואה הכללית

המשוואה הקנונית היא מקרה פרטי של המשוואה הכללית. אם במשוואה הכללית מציבים a=0 ו־b=0, כלומר מרכז המעגל הוא ראשית הצירים, מתקבלת:

(x-0)²+(y-0)²=R²

ולכן:

x²+y²=R²

לכן הצורה הקנונית אינה סוג נפרד של מעגל, אלא אותה צורה כללית כאשר המרכז בראשית הצירים.

אפשר גם לראות את הקשר כהזזה. אם מתחילים במעגל שמרכזו בראשית הצירים ורדיוסו R, ומזיזים את מרכזו a יחידות בכיוון ציר x ו־b יחידות בכיוון ציר y, הרדיוס אינו משתנה. רק מרכז המעגל עובר לנקודה (a,b), ולכן המשוואה משתנה מ־x²+y²=R² ל־(x-a)²+(y-b)²=R².

למשל, אם מזיזים את המעגל x²+y²=16 שלוש יחידות ימינה ושתי יחידות למעלה, המרכז עובר מ־(0,0) ל־(3,2), והרדיוס נשאר 4. לכן משוואת המעגל לאחר ההזזה היא:

(x-3)²+(y-2)²=16

באופן דומה, אם מזיזים את המעגל x²+y²=9 יחידה אחת שמאלה וחמש יחידות למטה, המרכז עובר ל־(-1,-5), והמשוואה היא:

(x+1)²+(y+5)²=9

ההזזה אינה משנה את גודל המעגל ואת צורתו. היא רק קובעת היכן נמצא המרכז, ולכן רק הביטויים שבתוך הסוגריים משתנים, בעוד R² נשאר ללא שינוי.