שימוש בטבלה הסטנדרטית לחישוב הסתברויות בהתפלגות נורמלית

השיעור עוסק בקשר בין עקומה נורמלית, שטחים מתחתיה והסתברויות. הרעיון המרכזי הוא שהטבלה הסטנדרטית נותנת שטח מצטבר משמאל לציון תקן, ובעזרת השלמה ל-1, סימטריה והפרש שטחים אפשר לעבור ממנה למגוון מאורעות. נלמד גם כיצד הופכים הסתברות נתונה לציון תקן, וכיצד משתמשים בכך כדי למצוא ממוצע או סטיית תקן.

הטבלה המצטברת של ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית

התפלגות נורמלית סטנדרטית היא התפלגות נורמלית שבה הממוצע הוא 0 וסטיית התקן היא 1. משתנה מקרי כזה מסומן בדרך כלל באות Z, והערכים שלו נקראים ציוני תקן. ציון תקן מציין כמה סטיות תקן נמצא ערך מסוים מעל הממוצע או מתחתיו.

הטבלה הסטנדרטית היא טבלה של ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית, והיא מציגה הסתברות מצטברת. עבור כל ערך z, הערך בטבלה הוא השטח מתחת לעקומה שנמצא משמאל ל-z, כלומר ההסתברות ש-Z קטן או שווה ל-z. נהוג לסמן זאת כך: P(Z ≤ z).

בהתפלגות רציפה אין הבדל מעשי בין "קטן מ-" לבין "קטן או שווה ל-", משום שההסתברות לקבל בדיוק נקודה אחת היא 0. לכן אפשר להתייחס לשני הניסוחים כאל אותו שטח.

מבנה הטבלה:

• השורות מציגות את החלק הראשון של z, בדרך כלל עד ספרת העשירית.
• העמודות מציגות את הספרה השנייה אחרי הנקודה, כלומר את המאית.
• הערך בתא הוא ההסתברות המצטברת המתאימה.

כדי לקרוא ערך עבור z = 1.25, מחפשים את השורה 1.2 ואת העמודה 0.05. הערך שמתקבל הוא השטח משמאל ל-1.25. בטבלה מלאה מופיעים גם ערכי z שליליים, ולכן אפשר לקרוא ישירות גם הסתברות עבור ערך שנמצא מתחת לממוצע.

כל השטח מתחת לעקומה הוא 1. לכן כל הסתברות נעה בין 0 ל-1, וערכים רחוקים מאוד מהממוצע ייתנו הסתברות קרובה מאוד ל-0 או ל-1, בהתאם לכיוון.

מעבר מערך מקורי לציון תקן

כדי להשתמש בטבלה הסטנדרטית, יש להפוך ערך של משתנה נורמלי כללי לציון תקן. אם המשתנה המקורי X מתפלג נורמלית עם ממוצע μ וסטיית תקן σ, ציון התקן המתאים לערך x הוא:

z = (x - μ) / σ

המשמעות היא שהערך x נמצא במרחק של z סטיות תקן מהממוצע. אם x גדול מהממוצע, מתקבל ציון תקן חיובי. אם x קטן מהממוצע, מתקבל ציון תקן שלילי. אם x שווה לממוצע, ציון התקן הוא 0.

לאחר המרה לציון תקן, אפשר להשתמש בטבלה הסטנדרטית כדי למצוא את ההסתברות המתאימה. למשל, ההסתברות ש-X קטן מערך מסוים שווה להסתברות ש-Z קטן מציון התקן של אותו ערך. באופן דומה, מאורעות של "גדול מ" או "בין" עוברים גם הם לניסוח על Z, ואז מטופלים בעזרת הטבלה.

מציאת הסתברות של מאורע מתוך הטבלה

כאשר נתון ציון תקן, מציאת ההסתברות היא קריאה ישירה מהטבלה.

שלבי העבודה:

• מזהים את ציון התקן z.
• מאתרים את השורה המתאימה לחלק העשירי של z.
• מאתרים את העמודה המתאימה לחלק המאיתי של z.
• קוראים את הערך בתא. ערך זה הוא P(Z ≤ z).

אם ציון התקן חיובי, הערך בטבלה יהיה בדרך כלל גדול מ-0.5, משום שיותר ממחצית השטח נמצאת משמאל לערך חיובי. אם ציון התקן שלילי, הערך יהיה קטן מ-0.5, משום שהערך נמצא משמאל לממוצע.

כאשר המאורע הוא "X קטן מערך נתון", לאחר תקנון מתקבלת הסתברות מהסוג P(Z ≤ z), ולכן היא נקראת ישירות מהטבלה. כאשר המאורע הוא "X גדול מערך נתון", יש לעבור לחישוב זנב ימין, כפי שיוסבר בהמשך.

אם ציון התקן כולל יותר משתי ספרות אחרי הנקודה, נהוג לעגל אותו תחילה לספרות המתאימות לטבלה. אם הערך המדויק אינו מופיע, משתמשים בערך הקרוב ביותר או בקירוב המקובל בתרגיל.

הסתברות לתחום בין שני ציוני תקן

פעמים רבות נדרש לחשב את ההסתברות ש-Z נמצא בין שני ערכים, כלומר בין z1 ל-z2. הטבלה נותנת שטחים מצטברים משמאל, ולכן את השטח שבתחום מקבלים על ידי הפרש.

הנוסחה היא:

P(z1 < Z < z2) = P(Z ≤ z2) - P(Z ≤ z1)

ההיגיון הוא פשוט: השטח משמאל ל-z2 כולל גם את השטח שמשמאל ל-z1. כדי להשאיר רק את השטח שבין שני הערכים, מחסירים את השטח המשמאלי של z1.

לדוגמה, אם רוצים לחשב את ההסתברות ש-Z נמצא בין -1.32 ל-0.89, קוראים מהטבלה את הערך עבור 0.89 ואת הערך עבור -1.32, ומחסרים את הערך הקטן מהגדול. כך מתקבל השטח שמתחת לעקומה בין שני ציוני התקן.

אם אחד הערכים שלילי, אין צורך לשנות את הכלל. בטבלה מלאה קוראים את הערך עבור הציון השלילי ישירות. אם משתמשים בטבלה שכוללת רק ערכים חיוביים, נעזרים בסימטריה של העקומה כדי להמיר את הקריאה לערך חיובי מתאים.

חישוב הסתברות לזנב ימין באמצעות השלמה ל-1

הטבלה המצטברת נותנת שטח משמאל. אם נדרשת הסתברות ש-Z גדול מערך מסוים, כלומר שטח הזנב הימני, משתמשים בכך שסכום כל השטחים הוא 1.

הכלל הוא:

P(Z > zx) = 1 - P(Z ≤ zx)

כלומר, תחילה מוצאים בטבלה את השטח משמאל ל-zx, ואז מחסרים אותו מ-1. התוצאה היא השטח שנותר מימין.

לדוגמה, אם הערך בטבלה עבור z = 2.27 הוא 0.9884, אז ההסתברות ש-Z גדול מ-2.27 היא 0.0116. דרך זו מתאימה לכל מאורע מהצורה "גדול מערך נתון".

כאשר עובדים עם משתנה מקורי X, יש לבצע את אותה פעולה בשני שלבים:

• ממירים את הערך לציון תקן.
• מחשבים את הזנב הימני בעזרת השלמה ל-1.

במקרים שבהם נתון מאורע כמו "X גדול מהממוצע", ציון התקן הוא 0, וההסתברות היא 0.5, משום שהממוצע מחלק את העקומה לשני חלקים שווים.

שימוש בסימטריה של העקומה הנורמלית

העקומה הנורמלית הסטנדרטית סימטרית סביב הממוצע, כלומר סביב 0. לכן השטח שנמצא הרחק מימין לערך חיובי שווה לשטח שנמצא באותו מרחק משמאל לערך השלילי המתאים.

הכלל השימושי הוא:

P(Z > zx) = P(Z < -zx)

לדוגמה, השטח שמימין ל-1.64 שווה לשטח שמשמאל לציון התקן הנגדי, כלומר -1.64. כלל זה שימושי במיוחד כאשר הטבלה אינה כוללת ערכים שליליים, או כאשר רוצים לבדוק חישוב.

מהסימטריה נובעים גם כללים נוספים:

• השטח שמשמאל לערך שלילי שווה לשטח שמימין לערך החיובי המתאים.
• השטח בין ערך שלילי לערך חיובי אפשר לחשב בעזרת ערכים חיוביים בלבד, אם מבינים אילו שטחים להחסיר.
• אם ההסתברות לזנב ימין ידועה, אפשר לדעת גם את ההסתברות לזנב שמאלי של הערך הנגדי.

מציאת ציון תקן המתאים להסתברות נתונה

לעיתים הנתון אינו ציון תקן אלא הסתברות, ונדרש למצוא את ציון התקן המתאים לה. זהו תהליך הפוך מקריאת הטבלה.

שלבי העבודה:

• מזהים איזו הסתברות נתונה: האם היא שטח משמאל, שטח מימין, או שטח בין ערכים.
• אם ההסתברות היא שטח מימין, ממירים אותה לשטח משמאל בעזרת השלמה ל-1.
• מחפשים בגוף הטבלה את הערך הקרוב ביותר להסתברות המצטברת הנדרשת.
• קוראים את ציון התקן מהשורה ומהעמודה שבהן נמצא הערך.

אם ההסתברות המצטברת גדולה מ-0.5, ציון התקן יהיה חיובי. אם היא קטנה מ-0.5, ציון התקן יהיה שלילי. אם הטבלה אינה כוללת ערכים שליליים, אפשר לחפש את ההסתברות המשלימה ולעבור לערך הנגדי בעזרת הסימטריה.

לדוגמה, אם נתון ש-95% מהאוכלוסייה נמצאים מתחת לערך מסוים, מחפשים בטבלה את הערך הקרוב ל-0.95 ומקבלים ציון תקן חיובי. אם נתון ש-5% בלבד נמצאים מתחת לערך, מתקבל ציון תקן שלילי. כאשר אין בטבלה את הערך המדויק, נהוג לבחור את הערך הקרוב ביותר או לבצע קירוב מקובל לפי הוראות התרגיל.

אם נתונה הסתברות של זנב ימין, למשל 0.025, תחילה מחשבים את השטח המשמאלי: 1 - 0.025 = 0.975. לאחר מכן מחפשים את ציון התקן שמתאים לשטח משמאלי של 0.975. כך נשמר הקשר בין כיוון השטח לבין הסימן של ציון התקן.

מציאת ממוצע או סטיית תקן בעזרת ציוני תקן והסתברויות

הקשר בין ערך מקורי x, ממוצע μ, סטיית תקן σ וציון תקן z הוא:

z = (x - μ) / σ

מכאן אפשר לחלץ גם את הממוצע וגם את סטיית התקן, בהתאם לנתונים.

אם נתונים ערך x וציון התקן שלו z, וגם אחד מהפרמטרים μ או σ, אפשר למצוא את הפרמטר החסר:

• אם ידוע הממוצע, אפשר לחשב את סטיית התקן: σ = (x - μ) / z.
• אם ידועה סטיית התקן, אפשר לחשב את הממוצע: μ = x - zσ.

אם נתונים שני ערכים מקוריים, x1 ו-x2, ונתונות ההסתברויות המתאימות להם, תחילה ממירים כל הסתברות לציון תקן בעזרת הטבלה. לאחר מכן מתקבלים שני קשרים:

x1 = μ + z1σ
x2 = μ + z2σ

שתי משוואות אלה מאפשרות למצוא את μ ואת σ. דרך נוחה היא לחסר את המשוואות כדי לקבל את σ, ואז להציב באחת מהן כדי למצוא את μ.

אם נתון אחוז מסוים מהאוכלוסייה שנמצא מעל ערך או מתחת לערך, יש להקפיד על כיוון השטח. כאשר האחוז הוא שטח מימין, ממירים אותו לשטח משמאל לפני שמחפשים את ציון התקן. רק לאחר מכן מציבים בקשר שבין x, μ, σ ו-z.

בכל שלב יש להקפיד על יחידות ועל סימן. ציון תקן חיובי מתאים לערך הגדול מהממוצע, וציון תקן שלילי מתאים לערך הקטן מהממוצע. אם מתקבלת סטיית תקן שלילית, יש טעות בחישוב, משום שסטיית תקן היא גודל אי־שלילי.