אסטרטגיות ושיווי משקל במשחק

בפעילות כלכלית רבה, הרווח של כל משתתף תלוי לא רק בהחלטה שלו אלא גם בהחלטות של משתתפים אחרים. השיעור מציג כיצד מייצגים מצב כזה בצורה מסודרת, כיצד מפרשים כל תוצאה אפשרית, וכיצד מזהים בחירות יציבות שבהן אין לשחקן סיבה לשנות את התנהגותו לבדו.

ייצוג משחק סימולטני במטריצת תשלומים

תורת המשחקים בוחנת מצבים שבהם התוצאה עבור כל שחקן תלויה בבחירות של כל השחקנים. משחק סימולטני הוא משחק שבו השחקנים בוחרים את הפעולות שלהם בו־זמנית, או לפחות בלי לדעת מה בחר האחר. אסטרטגיה היא תוכנית פעולה מלאה של שחקן; במשחק פשוט עם פעולה בודדת, האסטרטגיה היא הבחירה עצמה, כגון ייצור כמות גבוהה או כמות נמוכה.

מטריצת תשלומים היא טבלה המתארת את כל התוצאות האפשריות של המשחק. השורות מייצגות את האסטרטגיות של שחקן 1, והעמודות מייצגות את האסטרטגיות של שחקן 2. בכל תא נכתב התשלום של כל שחקן עבור צירוף הבחירות המתאים. תשלום הוא מדד לתוצאה עבור השחקן, לרוב רווח, תועלת או הפסד, והוא נכתב בדרך כלל כזוג סדור: המספר הראשון הוא התשלום של שחקן 1, והמספר השני הוא התשלום של שחקן 2.

הטבלה הבאה מציגה משחק פשוט בין שני יצרנים, שבו כל יצרן בוחר אם לייצר כמות גבוהה או כמות נמוכה:

שחקן 1 מול שחקן 2	כמות גבוהה	כמות נמוכה
כמות גבוהה	(4, 4)	(6, 2)
כמות נמוכה	(2, 6)	(5, 5)

המספרים בדוגמה מייצגים יחידות רווח; לכן תשלום גבוה יותר עדיף על תשלום נמוך יותר.

קריאת התוצאה של כל צירוף אסטרטגיות

כל תא במטריצה מתאים לצירוף אסטרטגיות אחד: בחירה של שורה על ידי שחקן 1 ובחירה של עמודה על ידי שחקן 2. כדי לקרוא את התוצאה, מזהים את השורה ואת העמודה וקוראים את הזוג שבתא.

לדוגמה, אם שחקן 1 בוחר כמות גבוהה ושחקן 2 בוחר כמות נמוכה, מתקבל התא (6, 2): שחקן 1 מקבל תשלום 6, ושחקן 2 מקבל תשלום 2. לעומת זאת, אם שני השחקנים בוחרים כמות נמוכה, התוצאה היא (5, 5). הקריאה אינה בודקת רק מי קיבל את המספר הגבוה יותר; היא מפרשת את התשלום של כל שחקן בנפרד, משום שלכל שחקן יש פונקציית מטרה משלו.

כאשר במשחק יש יותר משני שחקנים, מטריצה דו־ממדית אינה מספיקה, ונהוג להציג כמה מטריצות או טבלאות נפרדות. העיקרון נשאר זהה: כל צירוף החלטות מניב תוצאה, והתוצאה נמדדת עבור כל שחקן בנפרד.

זיהוי אסטרטגיה שולטת לכל שחקן

אסטרטגיה שולטת היא אסטרטגיה שמניבה לשחקן תשלום גבוה יותר מכל אסטרטגיה אחרת, לכל בחירה אפשרית של היריב. אם האסטרטגיה עדיפה בכל המקרים, היא שולטת ממש; אם היא אינה גרועה באף מקרה והיא עדיפה לפחות במקרה אחד, היא שולטת חלש. לצורכי ניתוח בסיסי, די לבדוק אם יש בחירה שעדיפה תמיד על פני האחרות.

הבדיקה נעשית בנפרד לכל שחקן:

• שחקן 1 משווה בין השורות עבור כל עמודה אפשרית.
• שחקן 2 משווה בין העמודות עבור כל שורה אפשרית.
• אם אותה שורה או אותה עמודה נותנת תשלום גבוה יותר בכל המקרים, זו האסטרטגיה השולטת של אותו שחקן.

בדוגמה שלפנינו, נבחן את שחקן 1. אם שחקן 2 בוחר כמות גבוהה, שחקן 1 מקבל 4 בכמות גבוהה ו־2 בכמות נמוכה, ולכן כמות גבוהה עדיפה. אם שחקן 2 בוחר כמות נמוכה, שחקן 1 מקבל 6 בכמות גבוהה ו־5 בכמות נמוכה, ולכן גם אז כמות גבוהה עדיפה. מכאן שלשחקן 1 יש אסטרטגיה שולטת: כמות גבוהה. בדיקה דומה עבור שחקן 2 מראה שגם עבורו כמות גבוהה עדיפה, בין אם שחקן 1 בוחר כמות גבוהה ובין אם הוא בוחר כמות נמוכה.

מציאת שיווי משקל נאש-קורנו ובדיקת סטייה חד-צדדית

שיווי משקל נאש-קורנו הוא צירוף אסטרטגיות שבו כל שחקן בוחר את האסטרטגיה הטובה ביותר שלו, בהינתן בחירת האחר. בהקשר של תחרות בין מעט יצרנים, זהו מצב שבו כל יצרן בוחר כמות או פעולה שאינה משתלמת לו לשנותה לבדו. במטריצת תשלומים, שיווי המשקל נבדק באמצעות סטייה חד־צדדית: שינוי של שחקן אחד בלבד את האסטרטגיה שלו, בעוד בחירת שאר השחקנים נשארת קבועה.

כדי לבדוק צירוף מועמד, מקפיאים את בחירת אחד השחקנים ושואלים אם השחקן השני יכול להגדיל את התשלום שלו על ידי מעבר לאסטרטגיה אחרת. לאחר מכן חוזרים על הבדיקה עבור השחקן השני. אם אף שחקן אינו יכול לשפר את התוצאה שלו באופן חד־צדדי, הצירוף הוא שיווי משקל.

בדוגמה, הצירוף שבו שני השחקנים בוחרים כמות גבוהה מניב (4, 4). אם שחקן 1 סוטה לבדו לכמות נמוכה בעוד שחקן 2 נשאר בכמות גבוהה, התשלום שלו יורד מ־4 ל־2. אם שחקן 2 סוטה לבדו, התשלום שלו גם כן יורד מ־4 ל־2. לכן אין לאף שחקן תמריץ לסטות, וזהו שיווי משקל נאש-קורנו.

כאשר לכל שחקן קיימת אסטרטגיה שולטת, הצירוף של האסטרטגיות השולטות הוא שיווי משקל. עם זאת, שיווי משקל יכול להתקיים גם כאשר אין אסטרטגיות שולטות. במקרה כזה יש לבדוק את התגובה הטובה ביותר של כל שחקן לבחירת האחר, ולא להסתמך על השוואה גורפת בין כל האסטרטגיות.

שיווי משקל אינו בהכרח התוצאה הטובה ביותר עבור כל השחקנים יחד. בדוגמה, הצירוף שבו שני השחקנים בוחרים כמות נמוכה מניב (5, 5), כלומר תשלום גבוה יותר לשניהם מאשר (4, 4). אולם צירוף זה אינו שיווי משקל: אם שחקן 2 בוחר כמות נמוכה, לשחקן 1 משתלם לסטות לכמות גבוהה ולקבל 6 במקום 5; בדיקה דומה נכונה גם עבור שחקן 2. לכן יציבות אסטרטגית אינה זהה ליעילות או למקסום רווח משותף.