מתרחישים לתוחלת ולפיזור

כאשר בוחנים פרויקט, נכס או תזרים עתידי, לעיתים קרובות אין תוצאה אחת ודאית אלא כמה תרחישים אפשריים. כל תרחיש מתאר ערך אפשרי של התזרים, התשואה או הערך הנוכחי הנקי, ויש לו הסתברות להתרחשות. הרעיון המרכזי בפרק הוא שהתוחלת מסכמת את התוצאה הממוצעת הצפויה, ואילו השונות וסטיית התקן מתארות עד כמה התוצאות האפשריות מפוזרות סביב ממוצע זה.

חישוב תוחלת של תזרים, תשואה או NPV לפי הסתברויות

תוחלת של משתנה מקרי היא ממוצע משוקלל של כל התוצאות האפשריות, כאשר המשקל של כל תוצאה הוא ההסתברות שלה. אם נסמן את התוצאה בתרחיש מסוים ב־X ואת ההסתברות לתרחיש ב־p, התוחלת היא:

E(X) = Σ p · X

כאשר מדובר בפרויקט, ניתן לחשב כך תזרים מזומנים צפוי, תשואה צפויה או NPV, כלומר ערך נוכחי נקי, צפוי. בדוגמה הבאה יש שלושה תרחישים לתזרים נקי שיתקבל בסוף שנה 1. שיעור ההיוון הוא 10%:

תרחיש	הסתברות	תזרים נקי	מכפלת הסתברות בתזרים
שפל	0.2	50-	10-
בסיס	0.5	100	50
צמיחה	0.3	200	60
סך הכול	1.0	—	100

תוחלת התזרים בסוף שנה 1 היא 100. אם ההשקעה הראשונית היא 80 ושיעור ההיוון הוא 10%, תוחלת ה־NPV היא -80 + 100/1.10 = 10.91. הפרויקט מוסיף ערך בממוצע המשוקלל, אך התוצאה בפועל תהיה אחד התרחישים ולא בהכרח התוחלת.

חשוב שההסתברויות יסתכמו ב־1. אם הן אינן מסתכמות ב־1, יש להשלים או לתקן את הנתונים לפני החישוב. כמו כן, יש להקפיד שכל התוצאות מבוטאות באותו מונח: תזרים, תשואה או NPV. אם מחשבים תוחלת של NPV, יש להציב בכל תרחיש את ה־NPV המתאים לו, ולא לערבב תזרים לפני ניכוי עם ערך נוכחי.

שונות וסטיית תקן כמדדי פיזור סביב התוחלת

התוחלת לבדה אינה מגלה עד כמה התוצאות רחוקות זו מזו. לשם כך משמשת שונות, המודדת את ממוצע ריבועי הסטיות מהתוחלת. הנוסחה היא:

Var(X) = Σ p · (X − E(X))²

סטיית תקן היא השורש הריבועי של השונות:

σ = √Var(X)

סטיית התקן נוחה יותר לפירוש משום שהיא נמדדת באותן יחידות כמו המשתנה המקורי: שקלים אם מדובר בתזרים, או אחוזים אם מדובר בתשואה. השונות, לעומת זאת, נמדדת בריבועי היחידות, ולכן היא פחות נוחה להצגה ישירה.

עבור הדוגמה שלעיל, התוחלת היא 100. בתרחיש השפל התזרים הוא 50-, ולכן הסטייה מהתוחלת היא 150-. ריבוע הסטייה הוא 22,500, והתרומה המשוקללת לשונות היא 0.2 × 22,500 = 4,500. בתרחיש הבסיס הסטייה היא 0, ולכן התרומה לשונות היא 0. בתרחיש הצמיחה הסטייה היא 100, ריבועה 10,000, והתרומה המשוקללת היא 0.3 × 10,000 = 3,000. לכן השונות היא 7,500, וסטיית התקן היא בערך 86.6.

ככל שהשונות או סטיית התקן גבוהות יותר, הפיזור של התוצאות סביב התוחלת רחב יותר. פיזור רחב פירושו שהתוצאה בפועל עלולה להיות שונה במידה ניכרת מהתוחלת, ולכן רמת אי־הוודאות או הסיכון גבוהה יותר. לעומת זאת, סטיית תקן נמוכה מצביעה על כך שהתוצאות האפשריות מרוכזות סביב התוחלת.

הבחנה בין התוצאה הצפויה לבין התוצאה שתתרחש בפועל

תוחלת היא גודל סטטיסטי ממוצע, לא הבטחה לתוצאה שתתקבל. בדוגמה שלעיל התוחלת היא 100 וגם תרחיש הבסיס הוא 100; זוהי התאמה מקרית, ובאופן כללי התוחלת אינה חייבת להיות אחת התוצאות האפשריות. בפועל יתרחש אחד מהמצבים: שפל, בסיס או צמיחה. לכן יש להבחין בין שני מושגים:

• תוצאה צפויה: הערך הממוצע המשוקלל של כל התוצאות האפשריות, כלומר התוחלת.
• תוצאה בפועל: הערך שיתקבל לבסוף, בהתאם לתרחיש שיתממש.

הבחנה זו חשובה במיוחד בהחלטות השקעה. פרויקט יכול להיות בעל תוחלת חיובית ועדיין להיות חשוף לתרחיש של הפסד. באותו אופן, פרויקט בעל תוחלת נמוכה עשוי להיראות מושך אם מתמקדים רק בתרחיש הטוב ביותר, אך התעלמות מההסתברויות עלולה להוביל להערכת סיכון שגויה.

כאשר סטיית התקן גדולה, טווח התוצאות האפשריות רחב, והתוצאה בפועל עלולה להיות רחוקה מהתוחלת. כאשר סטיית התקן קטנה, התוצאות מרוכזות יותר סביב התוחלת, ולכן התוצאה בפועל צפויה להיות קרובה יותר לערך הממוצע. עם זאת, גם סטיית תקן קטנה אינה מבטלת את האפשרות שהתוצאה בפועל תהיה שונה מהתוחלת.

השוואת חלופות בעלות תוחלת דומה ורמות סיכון שונות

כאשר משווים בין שתי חלופות השקעה, אין די בבחינת התוחלת. אם לשתי חלופות יש תוחלת דומה אך סטיות תקן שונות, ההכרעה תלויה במידת הסיכון שהמשקיע מוכן לשאת.

נניח שתי חלופות בעלות תוחלת תשואה של 10%:

• חלופה א': תשואה של 8% בהסתברות 0.5 ותשואה של 12% בהסתברות 0.5. סטיית התקן היא 2%.
• חלופה ב': תשואה של 0% בהסתברות 0.5 ותשואה של 20% בהסתברות 0.5. סטיית התקן היא 10%.

לשתי החלופות אותה תוחלת, אך הפיזור סביב התוחלת שונה מאוד. חלופה א' מרוכזת סביב 10%, ואילו חלופה ב' חושפת את המשקיע לתוצאות קיצוניות יותר. משקיע דוחה סיכון יעדיף בדרך כלל את חלופה א', משום שהיא מציעה את אותה תוחלת עם פיזור נמוך יותר. משקיע אוהב סיכון עשוי להעדיף את חלופה ב', אם הוא מעריך את האפשרות לתשואה גבוהה מאוד, אך בחירה כזו אינה נובעת מתוחלת גבוהה יותר אלא מהעדפת סיכון.

כאשר התוחלות אינן זהות, ההשוואה מורכבת יותר. חלופה עם תוחלת גבוהה יותר וסטיית תקן גבוהה יותר אינה בהכרח עדיפה או נחותה; נדרשת הכרעה לפי יחס המשקיע לסיכון. לעומת זאת, כאשר חלופה אחת מציעה תוחלת גבוהה יותר וסטיית תקן נמוכה יותר, היא עדיפה על פני החלופה האחרת הן במישור התוחלת והן במישור הסיכון.

העיקרון הוא שהתוחלת מתארת את הממוצע הצפוי, ואילו סטיית התקן מתארת את הפיזור סביב הממוצע. לכן בחינה מלאה של חלופה מחייבת להסתכל על שני הממדים יחד, ולא על התוחלת בלבד.