אינטגרלים והצבות טריגונומטריות

בשיעור זה נעסוק בשלושה כלים מרכזיים לחישוב אינטגרלים: טיפול בחזקות של פונקציות טריגונומטריות, שימוש בזהויות חצי־זווית להורדת חזקות זוגיות, והצבות טריגונומטריות להסרת שורשים ריבועיים. הרעיון המשותף הוא פישוט האינטגרנד: מעבר מביטוי שאינו נגזר מיידי של פונקציה מוכרת לביטוי פולינומי, טריגונומטרי פשוט או מנה מוכרת.

אינטגרציה של חזקות סינוס וקוסינוס

אינטגרלים רבים נראים כך: $\int \sin^m x \cos^n x \, dx$, כאשר $m,n$ שלמים אי־שליליים. במקרים כאלה לא מנסים בדרך כלל לבצע אינטגרציה ישירה של החזקה, אלא בודקים את הזוגיות של החזקות. אם אחת החזקות אי־זוגית, מפרידים גורם אחד של הפונקציה שחזקתה אי־זוגית, ומשתמשים בזהות $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ כדי להעביר את יתר הביטוי לפונקציה השנייה. לאחר מכן מבצעים הצבה פשוטה.

לדוגמה, נחשב את $\int \sin^3 x \, dx$.

נכתוב:

$\sin^3 x = \sin^2 x \cdot \sin x = (1-\cos^2 x)\sin x$.

לכן:

$\int \sin^3 x \, dx = \int (1-\cos^2 x)\sin x \, dx$.

נציב $u=\cos x$, ולכן $du=-\sin x\,dx$. נקבל:

$\int (1-\cos^2 x)\sin x \, dx = -\int (1-u^2)\,du$.

כעת נבצע אינטגרציה פולינומית:

$-\int (1-u^2)\,du = -u+\frac{u^3}{3}+C$.

נחזור למשתנה $x$:

$\int \sin^3 x \, dx = -\cos x+\frac{\cos^3 x}{3}+C$.

באופן דומה, אם חזקת הקוסינוס אי־זוגית, נוח להציב $u=\sin x$, משום שנגזרתו היא $\cos x$. אם שתי החזקות זוגיות, אין גורם שמתאים לנגזרת של הפונקציה השנייה, ולכן נעבור לזהויות חצי־זווית.

זהויות חצי־זווית והורדת חזקות זוגיות

זהויות חצי־זווית הן זהויות המבטאות $\sin^2 x$ ו־$\cos^2 x$ באמצעות קוסינוס של זווית כפולה:

$\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}$,

$\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}$.

הן נובעות מהזהות $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ ומהזהות $\sin^2 x+\cos^2 x=1$. השימוש העיקרי שלהן באינטגרציה הוא הורדת חזקה זוגית: במקום לבצע אינטגרציה ישירה של $\cos^2 x$ או $\sin^2 x$, ממירים את הביטוי לסכום של קבוע וקוסינוס של זווית כפולה, שאותו קל לבצע אינטגרציה.

דוגמה קצרה: $\int \cos^2 3x \, dx$.

נשתמש בזהות $\cos^2 3x = \frac{1+\cos 6x}{2}$:

$\int \cos^2 3x \, dx = \int \frac{1+\cos 6x}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int 1\,dx + \frac{1}{2}\int \cos 6x\,dx$.

האינטגרל של $\cos 6x$ הוא $\frac{\sin 6x}{6}$, ולכן:

$\int \cos^2 3x \, dx = \frac{x}{2}+\frac{\sin 6x}{12}+C$.

כאשר מופיעה חזקה זוגית גבוהה יותר, למשל $\sin^4 x$, מפעילים את הזהות יותר מפעם אחת. תחילה כותבים $\sin^4 x = (\sin^2 x)^2 = \left(\frac{1-\cos 2x}{2}\right)^2$, ולאחר פתיחת הסוגריים משתמשים שוב בזהות חצי־זווית עבור $\cos^2 2x$. כך כל חזקה זוגית מצטמצמת לבסוף לסכום של קבועים וקוסינוסים של כפולות זווית.

חזקות טנגנס וסקנס

הפונקציה סקנס מוגדרת על ידי $\sec x = \frac{1}{\cos x}$. באינטגרלים הכוללים חזקות של טנגנס וסקנס, מהצורה $\int \tan^m x \sec^n x \, dx$, נעזרים תחילה בנגזרות המוכרות:

• $\frac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x$
• $\frac{d}{dx}\sec x = \sec x \tan x$

מכאן נובעות אינטגרציות מיידיות:

$\int \sec^2 x\,dx = \tan x + C$,

$\int \sec x \tan x\,dx = \sec x + C$.

כמו כן, $\int \tan x\,dx = -\ln|\cos x|+C$, ו־$\int \sec x\,dx = \ln|\sec x+\tan x|+C$.

האסטרטגיה דומה לזו שראינו בסינוס וקוסינוס: מחפשים גורם שהוא נגזרת של פונקציה שנוחה להצבה.

• אם חזקת הסקנס $n$ זוגית, מפרידים $\sec^2 x\,dx$ ומציבים $u=\tan x$. את שאר הסקנסים ממירים באמצעות $\sec^2 x = 1+\tan^2 x$.
• אם חזקת הטנגנס $m$ אי־זוגית, מפרידים $\sec x \tan x\,dx$ ומציבים $u=\sec x$. את שאר הטנגנסים ממירים באמצעות $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$.

אם אף אחת מהחזקות אינה מתאימה להפרדה כזו, משתמשים בזהויות $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ או $\sec^2 x = 1+\tan^2 x$ כדי לשנות את מבנה האינטגרנד, ולעיתים נדרשת גם אינטגרציה של $\sec x$ או של $\sec^3 x$.

דוגמה: $\int \tan^3 x \sec x \, dx$.

כאן חזקת הטנגנס אי־זוגית, ולכן נפריד $\sec x \tan x\,dx$:

$\int \tan^3 x \sec x\,dx = \int \tan^2 x \cdot (\sec x \tan x)\,dx$.

נשתמש בזהות $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$:

$\int (\sec^2 x-1)(\sec x \tan x)\,dx$.

נציב $u=\sec x$, $du=\sec x \tan x\,dx$:

$\int (u^2-1)\,du = \frac{u^3}{3}-u+C$.

נחזור למשתנה $x$:

$\int \tan^3 x \sec x\,dx = \frac{\sec^3 x}{3}-\sec x+C$.

הצבות טריגונומטריות עבור שורשים ריבועיים

הצבה טריגונומטרית היא החלפת המשתנה $x$ בפונקציה טריגונומטרית, כדי להשתמש בזהות טריגונומטרית שמבטלת את השורש. שיטה זו יעילה במיוחד כאשר האינטגרנד כולל שורש ריבועי של אחד מהביטויים $a^2-x^2$, $a^2+x^2$ או $x^2-a^2$, עבור $a>0$.

ביטוי בשורש	הצבה מתאימה	זהות שמבטלת את השורש
$\sqrt{a^2-x^2}$	$x=a\sin\theta$	$1-\sin^2\theta=\cos^2\theta$
$\sqrt{a^2+x^2}$	$x=a\tan\theta$	$1+\tan^2\theta=\sec^2\theta$
$\sqrt{x^2-a^2}$	$x=a\sec\theta$	$\sec^2\theta-1=\tan^2\theta$

הבחירה אינה מקרית: בכל שורה הזהות הטריגונומטרית הופכת את הביטוי שבתוך השורש לריבוע של פונקציה טריגונומטרית. למשל, בהצבה $x=a\sin\theta$ מתקבל $a^2-x^2=a^2(1-\sin^2\theta)=a^2\cos^2\theta$, ולכן השורש הוא $a|\cos\theta|$. בתחום מתאים של $\theta$ אפשר לבחור $\cos\theta\ge 0$ ולהשמיט את הערך המוחלט. באופן דומה פועלים בשאר המקרים.

לאחר ההצבה מחשבים גם את $dx$, ומקבלים אינטגרל טריגונומטרי שאותו ניתן לחשב בכלים שכבר נלמדו. בסוף התהליך חוזרים למשתנה המקורי $x$. לשם כך נוח להשתמש במשולש ישר־זווית שבו אחת הזוויות היא $\theta$, והצלעות מבטאות את הקשר בין $x$, $a$ והשורש.

אם השורש הוא של פולינום ריבועי כללי, למשל $\sqrt{x^2+6x+13}$, משלימים תחילה לריבוע: $x^2+6x+13=(x+3)^2+4$, ואז מבצעים הצבה מתאימה עם המשתנה $u=x+3$.

דוגמה: $\int \frac{dx}{\sqrt{9-x^2}}$.

השורש הוא מהצורה $\sqrt{a^2-x^2}$ עם $a=3$, ולכן נציב $x=3\sin\theta$. אז $dx=3\cos\theta\,d\theta$, וגם:

$\sqrt{9-x^2}=\sqrt{9-9\sin^2\theta}=3\sqrt{1-\sin^2\theta}=3\cos\theta$.

נציב באינטגרל:

$\int \frac{dx}{\sqrt{9-x^2}} = \int \frac{3\cos\theta\,d\theta}{3\cos\theta} = \int d\theta = \theta+C$.

כעת נחזור ל־$x$. מאחר ש־$x=3\sin\theta$, כלומר $\sin\theta=\frac{x}{3}$, נקבל:

$\theta=\arcsin\frac{x}{3}$.

לכן:

$\int \frac{dx}{\sqrt{9-x^2}} = \arcsin\frac{x}{3}+C$.

דוגמה נוספת: $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+4}}$.

כאן השורש הוא מהצורה $\sqrt{x^2+a^2}$ עם $a=2$, ולכן נציב $x=2\tan\theta$. אז $dx=2\sec^2\theta\,d\theta$, וגם:

$\sqrt{x^2+4}=\sqrt{4\tan^2\theta+4}=2\sqrt{1+\tan^2\theta}=2\sec\theta$.

נקבל:

$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+4}} = \int \frac{2\sec^2\theta\,d\theta}{2\sec\theta} = \int \sec\theta\,d\theta$.

האינטגרל של סקנס הוא:

$\int \sec\theta\,d\theta = \ln|\sec\theta+\tan\theta|+C$.

נחזור ל־$x$ בעזרת הקשרים מההצבה: $\tan\theta=\frac{x}{2}$, וגם $\sec\theta=\frac{\sqrt{x^2+4}}{2}$. לכן:

$\ln|\sec\theta+\tan\theta| = \ln\left|\frac{\sqrt{x^2+4}}{2}+\frac{x}{2}\right| = \ln\left|\frac{\sqrt{x^2+4}+x}{2}\right|$.

הביטוי $\ln 2$ הוא קבוע, ולכן אפשר לבלוע אותו בתוך קבוע האינטגרציה:

$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+4}} = \ln\left|x+\sqrt{x^2+4}\right|+C$.