גזירה מעבר לנוסחה מפורשת

השיעור עוסק בגזירת קשרים בין משתנים שאינם מוצגים כנוסחה מפורשת, ובהרחבת מושג הנגזרת לנגזרות מסדר גבוה. הרעיון המרכזי הוא שהנגזרת אינה רק נוסחה לחישוב שיפוע, אלא כלי לתיאור רגישות של שינוי: היא מאפשרת לגזור משוואות סתומות, להגדיר תוספות ודיפרנציאלים, ולבנות קירוב ליניארי בסביבת נקודה.

גזירה סתומה של קשר בין x ל־y

בחשבון דיפרנציאלי, פונקציה ניתנת לעיתים כקשר סתום בין שני משתנים, למשל כמשוואה מהצורה $F(x,y)=0$, ולא כנוסחה מפורשת $y=f(x)$. במקרה כזה אין צורך לבודד תחילה את $y$; אפשר לגזור את שני אגפי המשוואה לפי $x$, תוך התייחסות ל־$y$ כפונקציה של $x$. לכן, בכל מקום שבו מופיע $y$, הנגזרת שלו לפי $x$ היא $y'$.

• גוזרים את שני האגפים לפי $x$.
• משתמשים בכלל השרשרת: נגזרת של ביטוי התלוי ב־$y$ היא נגזרתו לפי $y$ כפול $y'$.
• משתמשים בכלל המכפלה כאשר מופיעה מכפלה כגון $xy$.
• מעבירים אגפים ופותרים את המשוואה המתקבלת עבור $y'$.

הגזירה הסתומה שימושית במיוחד כאשר הקשר בין המשתנים אינו מאפשר בידוד נוח של $y$, או כאשר הוא מתאר עקום שאינו גרף של פונקציה אחת על כל התחום. למשל, המעגל $x^2+y^2=25$ אינו מתאר פונקציה אחת של $x$ בכל העקום, אך בסביבת נקודה שבה $y\neq 0$ אפשר להתייחס אליו כאל פונקציה מקומית ולחשב את שיפוע המשיק.

דוגמה: נתון הקשר $x^2+y^2=25$. נגזור את שני האגפים לפי $x$:

$2x+2yy'=0$.

נחלק ב־2 ונעביר אגף: $yy'=-x$, ולכן $y'=-x/y$, בתחומים שבהם $y\neq 0$. בנקודה $(3,4)$ שעל העקום מתקבל שיפוע המשיק $y'=-3/4$. אם נדרשת משוואת המשיק בנקודה זו, מתקבלת $y-4=-\frac{3}{4}(x-3)$.

באופן דומה, בקשר $x^2=xy+1$ משתמשים בכלל המכפלה באגף ימין: $(xy)'=y+xy'$. לכן $2x=y+xy'$, ומכאן $y'=(2x-y)/x$, עבור $x\neq 0$.

נגזרות מסדר גבוה של פונקציה סתומה

הנגזרת הראשונה היא פונקציה בפני עצמה, ולכן אפשר לגזור אותה שוב. הנגזרת של הנגזרת הראשונה נקראת נגזרת שנייה, ומסומנת $y''$, $f''(x)$ או $\frac{d^2y}{dx^2}$. באופן דומה מגדירים נגזרת שלישית $y'''$, ונגזרת מסדר $n$ המסומנת $f^{(n)}(x)$ או $\frac{d^ny}{dx^n}$.

בפונקציה מפורשת, למשל $f(x)=x^3$, מתקבל $f'(x)=3x^2$, $f''(x)=6x$, $f'''(x)=6$. בגזירה סתומה העיקרון זהה: גוזרים שוב ושוב, אך הנגזרות עשויות לכלול גם את $y$ ואת $y'$. לכן ממשיכים לגזור את הקשר שהתקבל, תוך שמירה על כלל השרשרת וכלל המכפלה.

נמשיך עם הקשר $x^2+y^2=25$. מהגזירה הראשונה קיבלנו, לאחר חלוקה ב־2, את המשוואה $x+yy'=0$. נגזור משוואה זו לפי $x$:

$1 + y'\cdot y' + y y'' = 0$.

כלומר:

$1+(y')^2+yy''=0$.

לכן:

$y''=-\frac{1+(y')^2}{y}$.

אם מציבים $y'=-x/y$, מתקבל:

$y''=-\frac{1+x^2/y^2}{y}=-\frac{x^2+y^2}{y^3}=-\frac{25}{y^3}$.

בנקודה $(3,4)$ מתקבל:

$y''=-\frac{25}{4^3}=-\frac{25}{64}$.

בחישוב נגזרות גבוהות בקשר סתום, לעיתים מתקבל ביטוי הכולל גם את $y$ וגם את $y'$. אין בכך בעיה: הנגזרת הגבוהה יכולה להישאר תלויה בנקודה ובערכים שכבר חושבו. אם רוצים ערך מספרי בנקודה מסוימת, מציבים את ערכי $x$, $y$ והנגזרות הידועות.

הנגזרת השנייה מתארת את קצב השינוי של הנגזרת הראשונה. בחקירת פונקציות היא משמשת גם לזיהוי קעירות ונקודות פיתול, אך כאן היא מציגה את העיקרון החשוב: גם כאשר הפונקציה אינה כתובה במפורש, אפשר לגזור שוב את הקשר הסתום ולקבל נגזרות מסדר גבוה.

תוספות Δx ו־Δy: שינוי ממשי בפונקציה

כאשר עוברים מנקודה $x_0$ לנקודה קרובה $x$, מגדירים את התוספת למשתנה הבלתי תלוי:

$\Delta x = x-x_0$.

אם הפונקציה היא $y=f(x)$, התוספת לערך הפונקציה היא:

$\Delta y = f(x)-f(x_0)$,

או בצורה שקולה:

$\Delta y = f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$.

אלה גדלים ממשיים: $\Delta x$ הוא ההפרש בין שני ערכי $x$, ו־$\Delta y$ הוא ההפרש בין שני ערכי הפונקציה המתאימים. הסימון $\Delta$ מציין תוספת סופית בין שני ערכים, ולא מכפלה של אות במשתנה. כלומר, $\Delta y$ מתאר את השינוי האמיתי לאורך הגרף, ולא את השינוי לאורך המשיק.

אם $\Delta x$ חיובי, המעבר הוא ימינה על ציר $x$; אם $\Delta x$ שלילי, המעבר הוא שמאלה. בהתאם, $\Delta y$ יכול להיות חיובי או שלילי בהתאם להתנהגות הפונקציה באותו קטע.

דוגמה: עבור $f(x)=x^2$ בנקודה $x_0=3$, נבחר $\Delta x=0.1$. אז $x=3.1$, ומתקבל:

$\Delta y = (3.1)^2-3^2 = 9.61-9 = 0.61$.

השינוי הממשי בערך הפונקציה הוא $0.61$. חשוב להבחין ש־$\Delta y$ אינו בהכרח פרופורציוני ל־$\Delta x$; גודלו תלוי בצורת הפונקציה ובנקודה שבה מתבצע השינוי.

דיפרנציאלים וקירוב ליניארי

אם הפונקציה $f$ גזירה בנקודה $x_0$, אפשר להפריד בין השינוי הממשי $\Delta y$ לבין הקירוב הליניארי שלו. הדיפרנציאל של המשתנה הבלתי תלוי מסומן $dx$, ובשימוש בסיסי בוחרים $dx=\Delta x$. הדיפרנציאל של הפונקציה הוא:

$dy = f'(x_0)dx$.

מבחינה גאומטרית, $dy$ הוא השינוי בערך המשיק לגרף הפונקציה בנקודה $(x_0,f(x_0))$, בעוד $\Delta y$ הוא השינוי בערך הפונקציה עצמה. כאשר $\Delta x$ קטן, הגרף והמשיק קרבים זה לזה, ולכן מתקבל הקירוב:

$\Delta y \approx dy$.

הדיפרנציאל הוא החלק הליניארי בתוספת $\Delta y$: הוא תלוי ליניארית ב־$dx$ ומתאים לשיפוע המשיק. הסימון $\frac{dy}{dx}$ נקרא לעיתים יחס הדיפרנציאלים, אך לצורכי קירוב יש להבין אותו דרך הקשר $dy=f'(x)dx$: הדיפרנציאל $dy$ הוא מכפלת הנגזרת בתוספת $dx$.

בניסוח מדויק יותר, עבור פונקציה גזירה:

\Delta y = f'(x_0)\Delta x + שגיאה,

כאשר השגיאה קטנה ביחס ל־$\Delta x$ כאשר $\Delta x$ שואף ל־0. מכאן נובע הקירוב הליניארי:

$f(x_0+\Delta x) \approx f(x_0)+f'(x_0)\Delta x$.

הפונקציה בצד ימין היא פונקציה ליניארית, והגרף שלה הוא המשיק לגרף $f$ בנקודה $x_0$. לכן קירוב ליניארי הוא למעשה החלפת הפונקציה במשיק שלה בסביבה קטנה של הנקודה. הקירוב טוב כאשר הפונקציה גזירה והתוספת $\Delta x$ קטנה. ככל שמתרחקים מ־$x_0$, השגיאה בין $\Delta y$ ל־$dy$ גדלה בדרך כלל, ולכן אין להשתמש במשיק הרחוק כקירוב אמין ללא בדיקה.

דוגמה: נחשב קירוב ל־$\sqrt{4.1}$ בעזרת $f(x)=\sqrt{x}$ והנקודה $x_0=4$. מתקיים $f(4)=2$, וגם:

$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$, ולכן $f'(4)=\frac{1}{4}$.

עבור $\Delta x=0.1$ מתקבל:

$\sqrt{4.1} \approx 2+\frac{1}{4}\cdot 0.1 = 2.025$.

בדוגמה זו הדיפרנציאל הוא $dy=0.025$, והוא נותן את התוספת המשוערת לערך הפונקציה כאשר $x$ גדל מ־4 ל־4.1.