שטחים בין עקומות

בשיעור זה נחשב שטח של תחום מישורי הכלוא בין גרפים של פונקציות, באמצעות אינטגרל מסוים. הרעיון המרכזי הוא שהשטח מצטבר כסכום הפרשים בין שתי עקומות: הפרש גבהים כאשר העקומות מתוארות כפונקציות של $x$, או הפרש רוחבים כאשר הן מתוארות כפונקציות של $y$. לפני האינטגרציה יש לקבוע את גבולות התחום ואת סדר העקומות בכל תת־תחום.

מציאת נקודות חיתוך וגבולות התחום

כאשר השטח מוגבל רק על ידי שני גרפים, גבולות האינטגרל הם בדרך כלל שיעורי ה־$x$ של נקודות החיתוך בין הגרפים. נקודת חיתוך של שני גרפים $y=f(x)$ ו־$y=g(x)$ היא נקודה שבה מתקיים $f(x)=g(x)$. פתרון המשוואה נותן את הערכים שבהם הגרפים נפגשים, ומתוכם בוחרים את הקצוות התוחמים את השטח הרלוונטי.

אם השטח מוגבל גם על ידי ישרים אנכיים, למשל $x=a$ ו־$x=b$, הגבולות הם ערכים אלה או נקודות חיתוך עם הישרים, לפי תיאור התחום. אם אחד הגבולות הוא ציר ה־$x$, ניתן לראות זאת כמקרה פרטי שבו העקומה השנייה היא $y=0$. אם השטח מוגבל על ידי ציר ה־$y$ או ישר אופקי, לעיתים נוח יותר לעבור לחישוב לפי $y$, כפי שיוצג בהמשך.

כאשר למשוואת החיתוך יש כמה פתרונות, יש למיין אותם מהקטן לגדול ולהחליט איזה זוג או איזו סדרה של קצוות תוחמת את השטח המבוקש. נקודות החיתוך חשובות גם משום שהן מקומות שבהם עלול להשתנות הסדר בין העקומות. לכן אין להניח מראש שגרף אחד עליון לאורך כל התחום, אלא אם כן הדבר נבדק.

דוגמה. נתונים הגרפים $y=x^2$ ו־$y=2x$. כדי למצוא את נקודות החיתוך נשווה:

$x^2=2x$

$x^2-2x=0$

$x(x-2)=0$

ולכן $x=0$ או $x=2$. שני הגרפים תוחמים ביניהם שטח סגור בתחום $0 \le x \le 2$. כדי לדעת איזו עקומה עליונה בתחום זה, נבדוק נקודה פנימית, למשל $x=1$: מתקבל $1^2=1$ ואילו $2\cdot1=2$, ולכן הישר $y=2x$ נמצא מעל הפרבולה $y=x^2$.

עקומה עליונה פחות עקומה תחתונה

נניח ש־$f$ ו־$g$ רציפות בקטע $[a,b]$, ומתקיים $f(x)\ge g(x)$ לכל $x$ בקטע. אז העקומה העליונה היא $y=f(x)$ והעקומה התחתונה היא $y=g(x)$. השטח בין הגרפים הוא האינטגרל של הפרש הגבהים:

$S=\int_a^b \bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx$

הביטוי $f(x)-g(x)$ הוא אורך הקטע האנכי בין שני הגרפים מעל הנקודה $x$. האינטגרל המסוים מצרף את כל האורכים האלה לאורך הקטע, ולכן מתקבל השטח הכולל. אם העקומה העליונה היא $g$, הנוסחה היא $S=\int_a^b (g(x)-f(x))\,dx$.

אין חשיבות לכך שחלק מהגרף נמצא מתחת לציר ה־$x$. מה שמכריע הוא מי מהשתיים גבוהה יותר באותו תחום. לכן גם אם שתי הפונקציות שליליות, החיסור הנכון נותן שטח חיובי. אם השטח מוגבל בין גרף אחד לציר ה־$x$, מתייחסים לציר כעקומה $y=0$; אם הגרף עלול לעבור מתחת לציר, יש להשתמש בערך מוחלט או לפצל תחומים.

דוגמה. נחשב את השטח בין $y=2x$ ו־$y=x^2$ בתחום שמצאנו, $0\le x\le 2$. כבר ראינו ש־$y=2x$ עליונה, ולכן:

$S=\int_0^2 (2x-x^2)\,dx$

נחשב את האינטגרל:

$S=\left[x^2-\frac{x^3}{3}\right]_0^2$

$S=\left(4-\frac{8}{3}\right)-0=\frac{4}{3}$

לכן השטח בין הגרפים הוא $\frac{4}{3}$.

עקומה ימנית פחות עקומה שמאלית

לעיתים נוח יותר לתאר את העקומות כפונקציות של $y$, כלומר בצורה $x=u(y)$ ו־$x=v(y)$. במקרה כזה השטח מחושב לפי הפרש רוחבים. אם לאורך תחום $c\le y\le d$ העקומה הימנית היא $x=x_R(y)$ והעקומה השמאלית היא $x=x_L(y)$, אז:

$S=\int_c^d \bigl(x_R(y)-x_L(y)\bigr)\,dy$

גבולות האינטגרל $c$ ו־$d$ מתקבלים מנקודות החיתוך של העקומות, כלומר מפתרון המשוואה $u(y)=v(y)$, או מישרים אופקיים הנתונים בשאלה. כפי שבחישוב לפי $x$ מחסרים את העקומה התחתונה מהעליונה, כאן מחסרים את העקומה השמאלית מהימנית. כדי לקבוע מי ימנית, אפשר להציב ערך $y$ פנימי בתחום ולהשוות את ערכי $x$ המתקבלים.

אם עקומה אינה ניתנת לייצוג חד־ערכי כפונקציה של $y$ בתחום שלם, או אם הסדר בין העקומות משתנה, יש לפצל את התחום. העיקרון נשאר זהה: בכל תת־תחום מחסרים את הגבול השמאלי מהגבול הימני.

דוגמה. נתונות העקומות $x=y^2$ ו־$x=y$. נמצא את נקודות החיתוך:

$y^2=y$

$y^2-y=0$

$y(y-1)=0$

ולכן $y=0$ או $y=1$. בתחום $0\le y\le 1$ נבדוק, למשל, $y=\frac12$:

$y=\frac12,\qquad y^2=\frac14$

ולכן $x=y$ נמצאת מימין ל־$x=y^2$. השטח הוא:

$S=\int_0^1 (y-y^2)\,dy$

$S=\left[\frac{y^2}{2}-\frac{y^3}{3}\right]_0^1=\frac12-\frac13=\frac16$

פיצול התחום כאשר סדר העקומות משתנה

אם בתוך תחום החישוב הגרפים נחתכים בנקודה פנימית, הסדר ביניהם עשוי להשתנות. במצב כזה אינטגרל יחיד של $f(x)-g(x)$ עלול לתת שטח מכוון: חלקים שבהם $f$ גבוהה מ־$g$ תורמים ערך חיובי, וחלקים שבהם $g$ גבוהה מ־$f$ תורמים ערך שלילי. לכן יש לפצל את התחום לפי נקודות החיתוך הפנימיות, ובכל תת־תחום להחסיר את העקומה התחתונה מהעקומה העליונה.

אם $c$ היא נקודת חיתוך פנימית בתחום $[a,b]$, וב־$[a,c]$ העקומה $f$ עליונה, ואילו ב־$[c,b]$ העקומה $g$ עליונה, אז:

$S=\int_a^c \bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx+\int_c^b \bigl(g(x)-f(x)\bigr)\,dx$

דרך שקולה לכתוב זאת היא $S=\int_a^b |f(x)-g(x)|\,dx$, אך בפועל את הערך המוחלט ממירים לפיצול תחומים ולבדיקת סדר העקומות. אם יש כמה נקודות חיתוך, מסמנים אותן לפי סדר עולה ומבצעים אינטגרל בכל קטע בין שתי נקודות עוקבות. בכל קטע כזה בוחרים את העקומה העליונה באמצעות נקודת בדיקה או באמצעות ניתוח גרפי.

דוגמה. נחשב את השטח בין $y=x^2$ ו־$y=x$ בתחום $0\le x\le 2$, כאשר התחום מוגבל גם על ידי הישרים האנכיים $x=0$ ו־$x=2$. נקודות החיתוך של הגרפים הן:

$x^2=x$

$x(x-1)=0$

ולכן $x=0$ ו־$x=1$. בתחום $0\le x\le 1$ הישר $y=x$ עליון, ובתחום $1\le x\le 2$ הפרבולה $y=x^2$ עליונה. לכן מפצלים:

$S=\int_0^1 (x-x^2)\,dx+\int_1^2 (x^2-x)\,dx$

נחשב את החלק הראשון:

$\int_0^1 (x-x^2)\,dx=\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac12-\frac13=\frac16$

נחשב את החלק השני:

$\int_1^2 (x^2-x)\,dx=\left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}\right]_1^2$

$=\left(\frac{8}{3}-2\right)-\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\right)=\frac{2}{3}+\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$

ולכן השטח הכולל הוא:

$S=\frac16+\frac56=1$

אותו עיקרון חל גם על חישוב לפי $y$: אם העקומה הימנית והעקומה השמאלית מחליפות מקומות בתוך התחום, יש לפצל את האינטגרל לפי ערכי $y$ שבהם הן נחתכות.