מבנה ופעולות בפונקציות

בשיעור זה נבחן את הפונקציה הממשית כיחידה בעלת מבנה: תחום ההגדרה קובע אילו קלטים מותר להציב, הטווח מתאר אילו ערכים מתקבלים בפועל, וכל ערך של הפונקציה הוא פלט יחיד עבור קלט נתון. על בסיס זה נגדיר סכום, הפרש, מכפלה ומנה של פונקציות, ונראה כיצד יש לבדוק את התחום בכל פעולה. לאחר מכן נציג הרכבת פונקציות ואת התנאים לקביעת תחום ההרכבה.

פונקציה ממשית: תחום, טווח וערכים

פונקציה ממשית היא כלל המשייך לכל איבר בקבוצה מסוימת, הנקראת תחום ההגדרה, איבר ממשי אחד בדיוק. אם הפונקציה מסומנת ב־$f$, הערך המתאים לקלט $x$ מסומן ב־$f(x)$. הדרישה “ערך אחד בדיוק” היא מהותית: אם עבור קלט מסוים מתאימים שני ערכים שונים, אין לפנינו פונקציה.

תחום ההגדרה של $f$, המסומן לעתים $D_f$, הוא קבוצת כל הקלטים שעבורם הפונקציה מוגדרת. טווח הפונקציה הוא קבוצת כל הערכים שמתקבלים בפועל:

$$\{f(x):x\in D_f\}.$$

ערך הפונקציה בנקודה $x$ הוא המספר $f(x)$. אם $x\notin D_f$, הביטוי $f(x)$ אינו מוגדר, ואין טעם לשאול מהו ערכו.

דוגמה בסיסית: $f(x)=x^2$. אם לא נקבע תחום במפורש, מקובל להתייחס לכל המספרים הממשיים כתחום ההגדרה. הטווח אינו כל הממשיים, אלא $[0,\infty)$, משום שריבוע של מספר ממשי אינו שלילי. לעומת זאת, עבור $h(x)=\frac{1}{x-3}$ התחום הוא כל הממשיים פרט ל־$3$, כלומר $(-\infty,3)\cup(3,\infty)$, והטווח הוא כל הממשיים פרט ל־$0$.

ערכי פונקציה ונקודות על הגרף

הגרף של פונקציה $f$ הוא אוסף הנקודות $(x,f(x))$ במערכת צירים, כאשר $x$ נע על פני תחום ההגדרה. לכן נקודה $(a,b)$ נמצאת על גרף הפונקציה אם ורק אם $a$ שייך לתחום ההגדרה וגם $f(a)=b$. קריאת ערך מן הגרף פירושה מציאת שיעור ה־$y$ המתאים לשיעור $x$ נתון.

פונקציה יכולה להיות מוגדרת על ידי נוסחה אחת, על ידי כמה כללים, או על ידי תיאור מילולי. בפונקציה מפוצלת, למשל, לכל קטע בתחום יש כלל חישוב אחר, אך בכל נקודה עדיין חייב להתקבל ערך יחיד. פונקציה קבועה היא מקרה פרטי שבו לכל קלט מתאים אותו ערך: $f(x)=c$. תחום ההגדרה יכול להיות כל קבוצה שנבחר, והטווח הוא הקבוצה החד־איברית $\{c\}$.

כאשר פונקציה נתונה בלי תחום מפורש, יש להבין את התחום מתוך הכלל. לדוגמה, ביטוי הכולל שורש ריבועי דורש שהביטוי בתוך השורש יהיה אי־שלילי; ביטוי הכולל מכנה דורש שהמכנה יהיה שונה מאפס; ביטוי הכולל לוגריתם דורש שהארגומנט של הלוגריתם יהיה חיובי. כללים אלה הם תנאי הגדרה, ולא רק אמצעי פישוט אלגברי.

תחום ההגדרה מכלל נתון

כאשר הפונקציה נתונה על ידי ביטוי אלגברי, מציאת תחום ההגדרה מתחילה בזיהוי כל הפעולות שמגבילות את הקלט. שורש זוגי דורש ביטוי אי־שלילי, מכנה דורש ביטוי שונה מאפס, ולוגריתם דורש ארגומנט חיובי. אם יש כמה הגבלות, יש לשלב אותן באמצעות חיתוך התנאים.

דוגמה: נתונה הפונקציה

$$f(x)=\frac{\sqrt{x-2}}{x-3}.$$

כדי שהביטוי יהיה מוגדר, נדרוש $x-2\geq 0$ וגם $x-3\neq 0$. כלומר $x\geq 2$ ו־$x\neq 3$. לכן תחום ההגדרה הוא

$$[2,3)\cup(3,\infty).$$

דוגמה נוספת: נתונה הפונקציה

$$f(x)=\frac{\ln(x+1)}{x^2-1}.$$

הארגומנט של הלוגריתם חייב להיות חיובי, ולכן $x+1>0$, כלומר $x>-1$. בנוסף, המכנה אינו יכול להתאפס, ולכן $x^2-1\neq 0$, כלומר $x\neq 1$ ו־$x\neq -1$. מכיוון שהתנאי $x>-1$ כבר מוציא את $x=-1$, נותר להוציא רק את $x=1$. לכן תחום ההגדרה הוא

$$(-1,1)\cup(1,\infty).$$

סכום, הפרש, מכפלה ומנה של פונקציות

אם נתונות שתי פונקציות ממשיות $f$ ו־$g$, אפשר להגדיר מהן פונקציות חדשות באמצעות פעולות חשבון. ההגדרה היא נקודתית: בכל נקודה שבה הדבר אפשרי, הפונקציה החדשה מקבלת את הערך המתקבל מהפעולה על ערכי $f$ ו־$g$ באותה נקודה.

הפעולות המקובלות הן:

• סכום: $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$.
• הפרש: $(f-g)(x)=f(x)-g(x)$.
• מכפלה: $(fg)(x)=f(x)g(x)$.
• מנה: $\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$, בתנאי ש־$g(x)\neq 0$.

העיקרון המרכזי הוא שתחום הפונקציה החדשה נגזר מן התחומים של הפונקציות המשתתפות. בפעולות סכום, הפרש ומכפלה, על הקלט להיות מוגדר גם עבור $f$ וגם עבור $g$, ולכן התחום הוא החיתוך $D_f\cap D_g$. במנה מתווספת דרישה: המכנה אינו יכול להתאפס, ולכן יש להוציא מן החיתוך את כל הנקודות שבהן $g(x)=0$.

פעולה	סימון	ערך בנקודה $x$	תחום ההגדרה
סכום	$f+g$	$f(x)+g(x)$	$D_f\cap D_g$
הפרש	$f-g$	$f(x)-g(x)$	$D_f\cap D_g$
מכפלה	$fg$	$f(x)g(x)$	$D_f\cap D_g$
מנה	$\frac{f}{g}$	$\frac{f(x)}{g(x)}$	$\{x\in D_f\cap D_g: g(x)\neq 0\}$

בדיקת תחום בפעולות אריתמטיות

נבחן את $f(x)=\sqrt{x}$ ואת $g(x)=\frac{1}{x-4}$. תחום ההגדרה של $f$ הוא $[0,\infty)$, ותחום ההגדרה של $g$ הוא כל הממשיים פרט ל־$4$. לכן תחום הסכום ותחום המכפלה הוא

$$[0,\infty)\cap(\mathbb{R}\setminus\{4\})=[0,4)\cup(4,\infty).$$

עבור המנה $\frac{f}{g}$ יש לבדוק גם אם $g(x)=0$. במקרה זה $g(x)=\frac{1}{x-4}$ אינו מתאפס באף נקודה שבה הוא מוגדר, ולכן תחום המנה נשאר $[0,4)\cup(4,\infty)$.

אם נחליף את $g$ בפונקציה $g(x)=x-4$, תחום הסכום והמכפלה יהיה עדיין $[0,\infty)$, משום ש־$g$ מוגדרת לכל $x$. ואולם תחום המנה $\frac{f}{g}$ ידרוש $x-4\neq 0$, ולכן יהיה $[0,4)\cup(4,\infty)$. כאן רואים שהמעבר ממכפלה למנה עלול לצמצם את התחום גם כאשר שתי הפונקציות המקוריות מוגדרות היטב.

דגש חשוב: תחום אינו נקבע לפי צורה אלגברית מפושטת בלבד. הפונקציה $h(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$ אינה מוגדרת ב־$x=1$, אף שעבור $x\neq 1$ אפשר לפשט את הביטוי ל־$x+1$. אם הפונקציה הוגדרה במקור כמנה, הנקודה שבה המכנה מתאפס אינה חלק מתחום ההגדרה, גם אם לאחר צמצום נראה שהביטוי “מסתדר”.

הרכבת פונקציות

הרכבת פונקציות היא פעולה שבה הפלט של פונקציה אחת משמש כקלט של פונקציה אחרת. אם נתונות $f$ ו־$g$, ההרכבה $g\circ f$ מוגדרת על ידי

$$(g\circ f)(x)=g(f(x)).$$

נהוג לקרוא ל־$g\circ f$ בשם “$g$ אחרי $f$” או “$g$ הרכובה על $f$”. הסדר חשוב: $g\circ f$ ו־$f\circ g$ אינן בהכרח שוות, ולעתים אף אחת מהן אינה מוגדרת במקומות שבהם השנייה מוגדרת.

דוגמה פשוטה: $f(x)=x-1$ ו־$g(x)=\sqrt{x}$. אז

$$(g\circ f)(x)=\sqrt{x-1},$$

ולכן תחום ההרכבה הוא $x\geq 1$. לעומת זאת,

$$(f\circ g)(x)=\sqrt{x}-1,$$

ותחום ההרכבה הוא $x\geq 0$. שתי הפונקציות שונות, ותחומי ההגדרה שלהן שונים.

דוגמה נוספת: $f(x)=x^2$ ו־$g(x)=5x-1$. אז

$$(g\circ f)(x)=5x^2-1, \qquad (f\circ g)(x)=(5x-1)^2.$$

במקרה זה שתי ההרכבות מוגדרות לכל $x$ ממשי, אך הן אינן זהות. הדוגמה ממחישה שהרכבה אינה פעולה חילופית.

תחום ההרכבה

תחום ההרכבה $g\circ f$ אינו פשוט החיתוך של תחומי $f$ ו־$g$. כדי ש־$x$ יהיה בתחום של $g\circ f$, צריכים להתקיים שני תנאים:

1. $x\in D_f$, כלומר $f(x)$ מוגדר.
2. $f(x)\in D_g$, כלומר הערך שהתקבל יכול לשמש כקלט של $g$.

בכתיב קבוצתי:

$$D_{g\circ f}=\{x\in D_f: f(x)\in D_g\}.$$

התנאי השני הוא לב ההרכבה: הפונקציה $g$ אינה “רואה” את $x$ עצמו, אלא רק את הערך $f(x)$. לכן יש לבדוק לאן $f$ מעבירה את הקלטים, ולהשוות את התוצאה לתחום ההגדרה של $g$.

דוגמה: $f(x)=\sqrt{x}$ ו־$g(x)=\frac{1}{x-4}$. תחום $f$ הוא $[0,\infty)$, ותחום $g$ הוא כל הממשיים פרט ל־$4$. לכן נדרוש $x\geq 0$ וגם $\sqrt{x}\neq 4$. התנאי $\sqrt{x}\neq 4$ שקול ל־$x\neq 16$, ולכן

$$D_{g\circ f}=[0,16)\cup(16,\infty).$$

דוגמה נוספת: $f(x)=\frac{1}{x}$ ו־$g(x)=\sqrt{x}$. תחום $f$ הוא כל הממשיים פרט ל־$0$, ותחום $g$ הוא $[0,\infty)$. לכן נדרוש $\frac{1}{x}\geq 0$. אי־שוויון זה מתקיים רק כאשר $x>0$, ולכן $D_{g\circ f}=(0,\infty)$. כאן $f$ מוגדרת גם עבור $x<0$, אך הערכים המתקבלים שם שליליים, ולכן אינם מתאימים לקלט של $g$.

דוגמה שלישית: $f(x)=x^2$ ו־$g(x)=\sqrt{x-1}$. תחום $g$ הוא $x\geq 1$. לכן נדרוש $x^2\geq 1$, כלומר $x\leq -1$ או $x\geq 1$. מכאן

$$D_{g\circ f}=(-\infty,-1]\cup[1,\infty).$$

בכל אחת מן הדוגמאות, תחום ההרכבה נקבע על ידי מעקב אחר מסלול הקלט: תחילה בודקים אם הפונקציה הפנימית מוגדרת, אחר כך בודקים אם הערך שהיא מפיקה נמצא במקום שבו הפונקציה החיצונית מוגדרת.

טווח בהרכבה ובפעולות

הטווח של פונקציה חדשה אינו נקבע תמיד באופן מכני מן הטווחים של הפונקציות המקוריות. בסכום או במכפלה, ערכים שונים יכולים להתבטל, להגביל זה את זה, או ליצור ערכים חדשים. לכן מציאת טווח מחייבת בדרך כלל ניתוח של ערכי הפונקציה, ולא רק בדיקת תחום.

בהרכבה $g\circ f$, הטווח מורכב מן הערכים $g(f(x))$ עבור כל $x$ בתחום ההרכבה. שלב הביניים הוא קבוצת הערכים של $f$ שנמצאים גם בתחום של $g$. אם נסמן קבוצה זו ב־

$$A=\{f(x):x\in D_f,\ f(x)\in D_g\},$$

אפשר לומר שהטווח של $g\circ f$ הוא $g(A)$. כלומר, תחילה יש להבין אילו ערכים של $f$ עוברים בהצלחה אל $g$, ורק אז יש לבדוק אילו ערכים $g$ מפיקה מהם.

דוגמה: אם $f(x)=x^2$ ו־$g(x)=\sqrt{x}$, אז $g(f(x))=\sqrt{x^2}=|x|$. תחום ההרכבה הוא כל הממשיים, כי $x^2\geq 0$ לכל $x$. הטווח הוא $[0,\infty)$. אף שהפונקציה הפנימית $f$ מקבלת רק ערכים אי־שליליים, ההרכבה כולה מחזירה בדיוק את אותם ערכים אי־שליליים, אך הדרך אל הטווח עוברת דרך הערך המוחלט.

הבחנה בין תחום לטווח חוזרת כאן במלואה: תחום ההרכבה עונה על השאלה אילו קלטים מותר להציב, ואילו הטווח עונה על השאלה אילו פלטים מתקבלים לאחר ההרכבה. שני המושגים קשורים, אך אינם זהים.