מרחק וערך מוחלט

שיעור זה עוסק בפירוש הגאומטרי של הערך המוחלט כמרחק על ציר המספרים, ובמעבר מפירוש זה לכללים אלגבריים לפתרון משוואות ואי־שוויונים. הרעיון המרכזי הוא שערך מוחלט אינו סימן שרירותי: הוא מתרגם טענה על מרחק לתנאים מפורשים על הנעלם, לעיתים באמצעות חלוקה למקרים ובדיקת תחומים.

ערך מוחלט כמרחק על הישר

הערך המוחלט של מספר ממשי $x$, המסומן $|x|$, הוא המרחק של $x$ מראשית הצירים. לכן הוא תמיד אינו שלילי, ומתקיים $|x|=0$ אם ורק אם $x=0$. ההגדרה הפורמלית היא:

$|x|=x$ כאשר $x\ge0$, ו־$|x|=-x$ כאשר $x<0$.

המרחק בין שתי נקודות $a$ ו־$b$ על ציר המספרים הוא $|a-b|$. מכיוון ש־$|a-b|=|b-a|$, אין חשיבות לסדר החיסור.

דוגמה: המרחק בין $-3$ ל־$2$ הוא $|-3-2|=|-5|=5$, וגם $|2-(-3)|=|5|=5$.

אם שתי נקודות במישור נמצאות על ישר המקביל לציר $x$, למשל $A(x_1,y)$ ו־$B(x_2,y)$, המרחק ביניהן הוא $|x_2-x_1|$. באופן דומה, אם הן נמצאות על ישר המקביל לציר $y$, המרחק הוא $|y_2-y_1|$. בכך הערך המוחלט מאפשר לכתוב אורך קטע בלי לבדוק מראש איזו נקודה נמצאת מימין או למעלה.

תכונות אלגבריות של ערך מוחלט

מן ההגדרה נובעות כמה זהויות שמשמשות לפישוט ביטויים לפני פתרון. לכל $x$ מתקיים $|-x|=|x|$, ולכן גם $|f(x)|=|-f(x)|$ לכל ביטוי $f(x)$. למשל:

$|1-2x|=|-(2x-1)|=|2x-1|$.

אם $k$ קבוע, אז $|k f(x)|=|k|\cdot|f(x)|$. כאשר המקדם חיובי, אפשר להכניס אותו לתוך הערך המוחלט: $3|x-1|=|3x-3|$. כאשר המקדם שלילי, את הערך המוחלט של המקדם מכניסים פנימה ואת הסימן משאירים בחוץ: $-2|x+4|=-|2x+8|$.

הגרף של $y=|x|$ מתקבל מהישר $y=x$ על ידי שיקוף החלק שמתחת לציר $x$ כלפי מעלה. לכן הגרף כולו נמצא מעל ציר $x$ או עליו, ונקודת המינימום שלו היא $(0,0)$. צורה זו מסבירה מדוע משוואות ואי־שוויונים עם ערך מוחלט מובילים לעיתים לשני ענפים או לשני תחומים.

משוואות עם ערך מוחלט

המשוואה $|A(x)|=c$ אומרת שהמרחק של הביטוי $A(x)$ מאפס הוא $c$. מכאן נובעים שלושה מצבים:

• אם $c<0$, אין פתרון, משום שערך מוחלט אינו שלילי.
• אם $c=0$, מתקבלת המשוואה $A(x)=0$.
• אם $c>0$, מתקבלות שתי אפשרויות: $A(x)=c$ או $A(x)=-c$.

דוגמה: נפתור $|2x-3|=7$.

מכיוון ש־$7>0$, נפצל לשתי משוואות:

$2x-3=7$ או $2x-3=-7$.

מן הראשונה: $2x=10$, ולכן $x=5$.

מן השנייה: $2x=-4$, ולכן $x=-2$.

בדיקה: עבור $x=5$, $|10-3|=7$; עבור $x=-2$, $|-4-3|=|-7|=7$. לכן קבוצת הפתרונות היא $\{-2,5\}$.

הפתרון הסופי הוא איחוד הפתרונות של שני הענפים, לאחר הסרת כפילויות אם הופיעו.

אי־שוויונים עם ערך מוחלט

גם אי־שוויון עם ערך מוחלט מתפרש כטענת מרחק. עבור $r>0$:

• $|A(x)|r$ אומר שהמרחק גדול מ־$r$, ולכן $A(x)>r$ או $A(x)<-r$.
• $|A(x)|\ge r$ אומר שהמרחק גדול או שווה ל־$r$, ולכן $A(x)\ge r$ או $A(x)\le -r$.

אם $r<0$, יש להיזהר: $|A(x)|r$ מתקיים לכל $x$ ממשי, וכן $|A(x)|\ge r$ מתקיים לכל $x$ ממשי.

דוגמה: נפתור $|x-4|<3$.

נכתוב $-3r$ מתקבל איחוד של שני תחומים.

חלוקה למקרים לפי נקודות איפוס

כאשר במשוואה או באי־שוויון מופיעים כמה ביטויים בערך מוחלט, או כאשר רוצים להסיר ערך מוחלט בלי להסתמך על צורה מוכנה, מחלקים את ציר המספרים לתחומים לפי נקודות האיפוס של הביטויים שבתוך הערכים המוחלטים. בכל תחום הסימן של כל ביטוי ידוע, ולכן אפשר להחליף כל ערך מוחלט בביטוי עצמו או בניגודו. לאחר הפתרון יש לבדוק שהערכים שהתקבלו אכן שייכים לאותו תחום.

באי־שוויונים, הפתרון בכל תחום נחתך עם תנאי התחום, ופתרונות כל התחומים מאוחדים בסוף.

דוגמה: נפתור $|x+1|+|x-2|=5$.

נקודות האיפוס הן $x=-1$ ו־$x=2$. הן מחלקות את הציר לשלושה תחומים:

1. $x<-1$.
2. $-1\le x<2$.
3. $x\ge 2$.

בתחום הראשון שני הביטויים שליליים, ולכן:

$-(x+1)-(x-2)=5$.

נפשט: $-2x+1=5$, ומכאן $-2x=4$, כלומר $x=-2$. הערך $-2$ אכן שייך לתחום $x<-1$.

בתחום השני $x+1\ge0$ ו־$x-2<0$, ולכן:

$(x+1)-(x-2)=5$.

נפשט: $3=5$, ולכן אין פתרון בתחום זה.

בתחום השלישי שני הביטויים אי־שליליים, ולכן:

$(x+1)+(x-2)=5$.

נפשט: $2x-1=5$, ומכאן $2x=6$, כלומר $x=3$. הערך $3$ שייך לתחום $x\ge2$.

לכן הפתרונות הם $x=-2$ ו־$x=3$.

בדיקת פתרונות ותחומי תקפות

לאחר חלוקה למקרים, כל פתרון שהתקבל חייב לעבור שתי בדיקות: עליו לקיים את תנאי התחום שבו נמצא, ועליו לקיים את המשוואה או את אי־השוויון המקורי. הבדיקה הראשונה פוסלת ערכים שהאלגברה הובילה אליהם אך אינם שייכים לתחום שהוגדר. הבדיקה השנייה חושפת שגיאות חישוב או פעולות לא שקולות, כגון העברת אגפים שגויה או הכפלה בביטוי שמתאפס.

דוגמה: נפתור $|x-1|=2x-5$.

נחלק לפי הסימן של $x-1$.

אם $x\ge1$, אז $|x-1|=x-1$, ולכן:

$x-1=2x-5$.

נעביר אגפים: $x=4$. הערך $4$ מקיים $x\ge1$.

אם $x<1$, אז $|x-1|=-(x-1)=-x+1$, ולכן:

$-x+1=2x-5$.

נקבל $3x=6$, כלומר $x=2$. אך $2$ אינו מקיים $x<1$, ולכן הוא נפסל.

בדיקה במשוואה המקורית: עבור $x=4$, $|4-1|=3$ וגם $2\cdot4-5=3$. עבור $x=2$, $|2-1|=1$ אך $2\cdot2-5=-1$. לכן הפתרון היחיד הוא $x=4$.

אי־שוויון עם ביטוי ריבועי בערך מוחלט

כאשר הביטוי שבתוך הערך המוחלט אינו ליניארי, עדיין אפשר להשתמש בכללי המרחק, אך הפתרון הפנימי עשוי להיות אי־שוויון ממעלה גבוהה יותר. במקרה כזה יש לפתור את כל התנאים שנוצרו ולקחת את החיתוך או את האיחוד המתאים לסוג אי־השוויון.

דוגמה: נפתור $|x^2-5x+6|\le 2$.

האי־שוויון שקול ל־

$-2\le x^2-5x+6\le 2$.

נפריד לשני תנאים:

1. $x^2-5x+6\le 2$, כלומר $x^2-5x+4\le 0$.
2. $x^2-5x+6\ge -2$, כלומר $x^2-5x+8\ge 0$.

נפתור את הראשון:

$x^2-5x+4=(x-1)(x-4)$, ולכן $(x-1)(x-4)\le 0$ מתקיים עבור $1\le x\le 4$.

נבחן את השני:

הדיסקרימיננטה של $x^2-5x+8$ היא $25-32=-7$, שלילית. מכיוון שמקדם $x^2$ חיובי, הביטוי חיובי לכל $x$, ולכן $x^2-5x+8\ge0$ מתקיים לכל $x$.

הפתרון הסופי הוא החיתוך של שני התנאים, כלומר $1\le x\le 4$.