מונוטוניות, קעירות וקיצון

שיעור זה עוסק בקשר בין סימני הנגזרת הראשונה והשנייה לבין צורת הגרף של פונקציה. סימן הנגזרת הראשונה מלמד אם הפונקציה עולה או יורדת, וסימן הנגזרת השנייה מלמד על הקעירות שלה. באמצעות טבלאות סימנים ומבחני נגזרת ניתן לאתר נקודות קיצון מקומיות ונקודות פיתול.

הנגזרת הראשונה ומונוטוניות של פונקציה

מונוטוניות מתארת את כיוון ההשתנות של פונקציה בקטע. פונקציה $f$ עולה בקטע $I$ אם לכל $x_1f(x_2)$.

כאשר $f$ גזירה בקטע, סימן הנגזרת הראשונה קובע את המונוטוניות שלה:

• אם $f'(x)>0$ לכל $x$ בקטע, הפונקציה עולה באותו קטע.
• אם $f'(x)<0$ לכל $x$ בקטע, הפונקציה יורדת באותו קטע.
• אם $f'(x)=0$ לכל $x$ בקטע, הפונקציה קבועה באותו קטע.

נקודה שבה הפונקציה עשויה לקבל קיצון מקומי נקראת נקודה חשודה לקיצון. בנקודה פנימית של תחום ההגדרה, נקודה חשודה היא נקודה שבה $f'(x)=0$ או שבה הנגזרת אינה מוגדרת. קיצון מקומי מתקבל בנקודה שבה ערך הפונקציה גדול או קטן מכל ערכי הפונקציה בסביבה קרובה שלה.

עם זאת, נקודה שבה הנגזרת מתאפסת אינה מעידה בהכרח על שינוי במגמת הפונקציה. למשל, הפונקציה $f(x)=x^3$ עולה בכל תחום ההגדרה, אף על פי ש־$f'(0)=0$.

טבלאות סימנים לנגזרת הראשונה

טבלת סימנים לנגזרת הראשונה היא כלי מיון: מחלקים את תחום ההגדרה לקטעים לפי הנקודות החשודות, בודקים את סימן הנגזרת בכל קטע, ומסיקים מכך את התנהגות הפונקציה.

סדר הבדיקה:

1. מוצאים את תחום ההגדרה של הפונקציה.
2. מוצאים את הנקודות שבהן $f'(x)=0$ או שבהן $f'(x)$ אינה מוגדרת.
3. מסדרים את הנקודות על ציר המספרים.
4. בוחרים נקודת בדיקה בכל קטע ומחשבים את סימן $f'(x)$.
5. רושמים בטבלה את סימן הנגזרת ואת התנהגות הפונקציה.

אם יש נקודות שבהן הפונקציה אינה מוגדרת, הן מפרידות בין קטעים, אך אינן יכולות להיות נקודות קיצון אם אינן בתחום ההגדרה.

דוגמה: נבחן את הפונקציה $f(x)=x^3-3x^2$.

$f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$

הנגזרת מתאפסת בנקודות $x=0$ ו־$x=2$. נבדוק את הסימן בכל קטע באמצעות נקודות בדיקה: $x=-1$ נותן $f'(-1)=9>0$, $x=1$ נותן $f'(1)=-3<0$, ו־$x=3$ נותן $f'(3)=9>0$.

קטע	$(-\infty,0)$	$(0,2)$	$(2,\infty)$
סימן $f'(x)$	$+$	$-$	$+$
התנהגות $f$	עולה	יורדת	עולה

לכן הפונקציה עולה עד $x=0$, יורדת בין $0$ ל־$2$, ועולה שוב אחרי $x=2$.

מבחן הנגזרת הראשונה לקיצון מקומי

מבחן הנגזרת הראשונה בודק אם סימן הנגזרת משתנה משני צדי הנקודה החשודה. השינוי בסימן הוא שמכריע אם מתקבל קיצון מקומי.

• אם $f'$ עוברת מסימן חיובי לסימן שלילי בנקודה $c$, הפונקציה עוברת מעלייה לירידה, ולכן ב־$x=c$ מתקבל מקסימום מקומי.
• אם $f'$ עוברת מסימן שלילי לסימן חיובי, הפונקציה עוברת מירידה לעלייה, ולכן ב־$x=c$ מתקבל מינימום מקומי.
• אם סימן $f'$ אינו משתנה משני צדי הנקודה, אין בנקודה קיצון מקומי.

בדוגמה הקודמת, בנקודה $x=0$ הנגזרת עוברת מ־$+$ ל־$-$, ולכן שם מתקבל מקסימום מקומי. ערך הפונקציה הוא $f(0)=0$. בנקודה $x=2$ הנגזרת עוברת מ־$-$ ל־$+$, ולכן שם מתקבל מינימום מקומי, וערכו $f(2)=8-12=-4$.

אם הנגזרת אינה מוגדרת בנקודה, עדיין ייתכן קיצון. למשל, לפונקציה $f(x)=|x|$ יש מינימום מקומי ב־$x=0$, אף שהנגזרת אינה מוגדרת שם, משום שהנגזרת שלילית משמאל וחיובית מימין.

אם תחום ההגדרה כולל קצוות, הקצוות נבדקים ישירות לפי ערכי הפונקציה, ולא באמצעות שינוי סימן של הנגזרת.

קעירות לפי סימן הנגזרת השנייה

הנגזרת השנייה $f''$ היא קצב השינוי של הנגזרת הראשונה. היא מתארת כיצד משתנה שיפוע המשיק לפונקציה כאשר $x$ גדל.

אם $f''(x)>0$ בקטע, הנגזרת הראשונה עולה באותו קטע, ולכן שיפועי המשיקים הולכים וגדלים. במקרה זה הפונקציה קעורה כלפי מעלה באותו קטע. גרף כזה דומה לקערה הפתוחה כלפי מעלה, ובסביבת כל נקודה בקטע המשיקים נמצאים מתחת לגרף.

אם $f''(x)<0$ בקטע, הנגזרת הראשונה יורדת, ולכן שיפועי המשיקים הולכים וקטנים. במקרה זה הפונקציה קעורה כלפי מטה באותו קטע. גרף כזה דומה לכיפה, ובסביבת כל נקודה בקטע המשיקים נמצאים מעל הגרף.

הקעירות אינה אומרת בהכרח אם הפונקציה עולה או יורדת; פונקציה יכולה להיות קעורה כלפי מעלה גם בקטע שבו היא יורדת, וקעורה כלפי מטה גם בקטע שבו היא עולה.

נקודות פיתול

נקודת פיתול היא נקודה בתחום ההגדרה של הפונקציה שבה הפונקציה משנה סוג קעירות: מקעירות כלפי מעלה לקעירות כלפי מטה, או להפך.

כאשר הפונקציה גזירה פעמיים, נקודות חשודות לפיתול הן נקודות שבהן $f''(x)=0$ או שבהן $f''(x)$ אינה מוגדרת. עם זאת, לא כל נקודה כזו היא נקודת פיתול. התנאי המכריע הוא שינוי סימן של הנגזרת השנייה משני צדי הנקודה.

נקודת פיתול יכולה להתקבל גם אם הנגזרת הראשונה אינה מתאפסת; הקריטריון הוא שינוי סוג הקעירות, לא אופקיות המשיק. בנקודה שבה הפונקציה אינה מוגדרת אין נקודת פיתול.

דוגמה: עבור $f(x)=x^3$,

$f''(x)=6x$

הנגזרת השנייה מתאפסת ב־$x=0$. משמאל ל־$0$ היא שלילית, ומימין ל־$0$ היא חיובית. לכן הפונקציה עוברת מקעירות כלפי מטה לקעירות כלפי מעלה, והנקודה $x=0$ היא נקודת פיתול.

לעומת זאת, עבור $f(x)=x^4$,

$f''(x)=12x^2$

הנגזרת השנייה מתאפסת ב־$x=0$, אך היא חיובית משני צדי הנקודה. לכן אין שינוי קעירות, והנקודה אינה נקודת פיתול.

מבחן הנגזרת השנייה לקיצון מקומי

מבחן הנגזרת השנייה משתמש בקעירות הפונקציה כדי לסווג נקודה חשודה שבה $f'(c)=0$. אם הנגזרת השנייה רציפה בסביבת הנקודה, מתקיים:

תנאי בנקודה $c$	סימן $f''(c)$	מסקנה
$f'(c)=0$	$f''(c)>0$	מינימום מקומי
$f'(c)=0$	$f''(c)<0$	מקסימום מקומי
$f'(c)=0$	$f''(c)=0$	המבחן אינו מכריע

ההיגיון הוא שבנקודה עם משיק אופקי, קעירות כלפי מעלה יוצרת צורת קערה ולכן מינימום, וקעירות כלפי מטה יוצרת צורת כיפה ולכן מקסימום.

בדוגמה $f(x)=x^3-3x^2$, הנגזרת השנייה היא

$f''(x)=6x-6$

בנקודה $x=0$ מתקיים $f''(0)=-6<0$, ולכן הנקודה היא מקסימום מקומי. בנקודה $x=2$ מתקיים $f''(2)=6>0$, ולכן הנקודה היא מינימום מקומי.

אם הנקודה החשודה נובעת מכך ש־$f'$ אינה מוגדרת, מבחן הנגזרת השנייה אינו חל ישירות, ויש לחזור למבחן הנגזרת הראשונה.

מגבלות מבחן הנגזרת השנייה ובדיקה משלימה

כאשר $f''(c)=0$, מבחן הנגזרת השנייה אינו מספק מסקנה. ייתכן מינימום, מקסימום או נקודת פיתול, ולכן יש לחזור לטבלת סימנים של הנגזרת הראשונה או לבדוק את שינוי הסימן של הנגזרת השנייה.

שלוש דוגמאות קצרות מראות את מגבלת המבחן:

• עבור $f(x)=x^4$, בנקודה $x=0$ מתקיים $f'(0)=0$ ו־$f''(0)=0$, אך יש מינימום מקומי.
• עבור $f(x)=-x^4$, בנקודה $x=0$ מתקיים $f'(0)=0$ ו־$f''(0)=0$, אך יש מקסימום מקומי.
• עבור $f(x)=x^3$, בנקודה $x=0$ מתקיים $f'(0)=0$ ו־$f''(0)=0$, אך אין קיצון מקומי; זו נקודת פיתול.

אם הנגזרת השנייה אינה מוגדרת בנקודה חשודה, גם אז המבחן אינו ניתן ליישום ישיר. במקרה כזה בודקים את סימני $f'$ בשני צדי הנקודה או את סימני $f''$ לצורך זיהוי קעירות ופיתול. בבחינת גמר או במבחן ביניים, הנימוק החשוב הוא מעבר מסימן הנגזרת להתנהגות הפונקציה, ולא רק הצבה בנוסחה.