קליפות, אורך ושטחי סיבוב

השיעור עוסק בשלושה יישומים גיאומטריים של האינטגרל המסוים: מעבר מתיאור של אלמנט קטן לנפח של גוף, לאורך של קשת, ולשטח של משטח סיבוב. הרעיון המרכזי הוא לזהות את האלמנט הדיפרנציאלי המתאים — קליפה, קטע קשת או פס מעטפת — ולסכום אותו על פני התחום באמצעות אינטגרל.

קליפות גליליות לפי רדיוס וגובה

בחישוב נפח של גוף סיבוב, קליפה גלילית היא אלמנט נפח המתקבל כאשר מלבן צר מסתובב סביב ציר המקביל לאחת מצלעותיו. שלושת הגדלים המגדירים את הקליפה הם:

• רדיוס $r$: המרחק של המלבן מציר הסיבוב.
• גובה $h$: אורך המלבן בכיוון המקביל לציר הסיבוב.
• עובי $dr$: המרחק הקטן בין הרדיוס הפנימי לרדיוס החיצוני של הקליפה.

שטח המעטפת הצדדית של גליל ברדיוס $r$ ובגובה $h$ הוא $2\pi r h$. אם מוסיפים עובי קטן $dr$, אלמנט הנפח הוא

$$dV=2\pi r h\,dr.$$

ניתן לראות זאת גם כהפרש נפחים בין שני גלילים:

$$\pi h[(r+dr)^2-r^2]=2\pi r h\,dr+\pi h(dr)^2.$$

האיבר $\pi h(dr)^2$ הוא מסדר גבוה יותר ולכן נעלם בגבול הדיפרנציאלי.

כאשר עוברים לחישוב אינטגרלי, $r$ ו-$h$ הם בדרך כלל פונקציות של משתנה האינטגרציה. אם התחום שמתחת לגרף $y=f(x)$ מעל $a\le x\le b$ מסתובב סביב ציר $y$, הפס האנכי ברוחב $dx$ יוצר קליפה שרדיוסה $x$ וגובהה $f(x)$. לכן

$$V=2\pi\int_a^b x f(x)\,dx.$$

אם הסיבוב הוא סביב ציר $x$ והתחום מתואר בנוחות לפי $y$, כך שהפס האופקי בין $x=0$ לבין $x=g(y)$ עבור $c\le y\le d$ מסתובב, הקליפה היא בעלת רדיוס $y$ וגובה $g(y)$, ומתקבל

$$V=2\pi\int_c^d y g(y)\,dy.$$

אם ציר הסיבוב אינו ציר הקואורדינטות, הרדיוס הוא המרחק המתאים מציר זה; למשל, סיבוב סביב הישר האנכי $x=c$ נותן רדיוס $|x-c|$. הנוסחאות כתובות עבור תחום הנמצא בצד אחד של ציר הסיבוב; אם התחום חוצה את הציר, יש לפצל אותו או להשתמש במרחק המוחלט מהציר.

הבחירה בשיטת הקליפות נובעת לעיתים מצורת התחום: כאשר חיתוך אנכי או אופקי יוצר פס אחד שאינו מתפצל, קל לבטא רדיוס וגובה כפונקציה של משתנה אחד. לעומת זאת, אם התחום מתואר בנוחות כהפרש רדיוסים, ייתכן ששיטת הפרוסות תהיה פשוטה יותר. בכל מקרה, יש לזהות תחילה את ציר הסיבוב, ואז לקבוע מהו המרחק ממנו ומהו האורך המקביל לו.

דוגמה: נחשב את נפח הגוף המתקבל מסיבוב התחום שמתחת לגרף $f(x)=x^2$, מ-$x=0$ עד $x=2$, סביב ציר $y$.

הרדיוס של קליפה במרחק $x$ מציר $y$ הוא $x$, והגובה הוא $f(x)=x^2$. לכן

$$V=2\pi\int_0^2 x\cdot x^2\,dx=2\pi\int_0^2 x^3\,dx.$$

נחשב:

$$\int_0^2 x^3\,dx=\left[\frac{x^4}{4}\right]_0^2=\frac{16}{4}=4.$$

ולכן

$$V=2\pi\cdot 4=8\pi.$$

אורך עקומה חלקה

אורך עקומה הוא המרחק הנמדד לאורך הקשת עצמה. עבור גרף של פונקציה $y=f(x)$ בקטע $a\le x\le b$, אם $f'$ רציפה בקטע, הקשת נקראת חלקה ואפשר לחשב את אורכה על ידי חלוקה לקטעים קטנים מאוד. בכל קטע, התוספת האופקית היא $dx$, והתוספת האנכית היא בקירוב

$$dy=f'(x)\,dx.$$

לפי משפט פיתגורס, אורך אלמנט הקשת הוא

$$ds=\sqrt{dx^2+dy^2}=\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx.$$

סכימת כל האלמנטים נותנת את נוסחת אורך הקשת:

$$L=\int_a^b \sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx.$$

הדרישה ש-$f'$ תהיה רציפה מבטיחה שהקשת אינה מכילה פינות חדות או קפיצות שיפוע, ולכן אפשר להחליף כל קטע קטן במיתר מבלי לאבד את הגבול. אם העקומה מורכבת ממספר קטעים חלקים, מחשבים את האורך של כל קטע בנפרד ומחברים את התוצאות.

אם העקומה נתונה בייצוג פרמטרי,

$$(x(t),y(t)),\quad \alpha\le t\le \beta,$$

והנגזרות $x'(t)$ ו-$y'(t)$ רציפות ואינן מתאפסות יחד, אז אלמנט האורך הוא

$$ds=\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}\,dt,$$

ולכן

$$L=\int_\alpha^\beta \sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}\,dt.$$

בשני הייצוגים, האינטגרל מודד את סכום האורכים של קטעים קטנים מאוד לאורך העקומה.

דוגמה: נחשב את אורך הקשת של הפונקציה $f(x)=x^{3/2}$ מ-$x=0$ עד $x=5$.

תחילה נגזור:

$$f'(x)=\frac{3}{2}x^{1/2},$$

ולכן

$$(f'(x))^2=\frac{9}{4}x.$$

אורך הקשת הוא

$$L=\int_0^5 \sqrt{1+\frac{9}{4}x}\,dx.$$

נבצע הצבה:

$$u=1+\frac{9}{4}x,\qquad du=\frac{9}{4}dx,\qquad dx=\frac{4}{9}du.$$

כאשר $x=0$, מתקבל $u=1$. כאשר $x=5$, מתקבל

$$u=1+\frac{45}{4}=\frac{49}{4}.$$

לכן

$$L=\frac{4}{9}\int_1^{49/4} u^{1/2}\,du =\frac{4}{9}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2}\Big|_1^{49/4} =\frac{8}{27}\left[\left(\frac{49}{4}\right)^{3/2}-1\right].$$

כעת

$$\left(\frac{49}{4}\right)^{3/2}=\left(\sqrt{\frac{49}{4}}\right)^3=\left(\frac{7}{2}\right)^3=\frac{343}{8}.$$

לכן

$$L=\frac{8}{27}\left(\frac{343}{8}-1\right) =\frac{8}{27}\cdot\frac{335}{8} =\frac{335}{27}.$$

שטח מעטפת של גוף סיבוב

גוף סיבוב נוצר מסיבוב של תחום מישורי סביב ישר במישורו. שטח מעטפת הוא שטח המשטח הצדדי שנוצר מהסיבוב; אם נדרש שטח פנים מלא, יש להוסיף בנפרד את שטחי הבסיסים. הרעיון בחישוב שטח מעטפת דומה לחישוב אורך עקומה: מחלקים את הקשת לאלמנטים קצרים באורך $ds$, ומסובבים כל אלמנט סביב הציר.

אם אלמנט קשת נמצא במרחק $r$ מציר הסיבוב, אז בסיבוב מלא הוא יוצר פס דק ששטחו בקירוב הוא

$$dS=2\pi r\,ds.$$

הרדיוס $r$ נקבע לפי מיקום האלמנט ביחס לציר הסיבוב. עבור גרף $y=f(x)\ge 0$ בקטע $a\le x\le b$ המסובב סביב ציר $x$, המרחק מציר הסיבוב הוא $f(x)$, ולכן

$$S=2\pi\int_a^b f(x)\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx.$$

אם אותה קשת מסובבת סביב ציר $y$, והערכים $x$ בתחום אינם שליליים, הרדיוס הוא $x$, ולכן

$$S=2\pi\int_a^b x\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx.$$

אם הגרף עובר מתחת לציר הסיבוב, יש להשתמש במרחק המוחלט מהציר או לפצל את התחום כך שהרדיוס יהיה אי־שלילי.

הגורם $\sqrt{1+(f')^2}$ מתקן את ההבדל בין אורך ההיטל האופקי $dx$ לבין האורך האמיתי של הקשת. ללא גורם זה, החישוב היה מתאים רק לקו אופקי או למדרגות, ולא לקשת משופעת. לכן שטח מעטפת אינו פשוט $2\pi$ כפול רדיוס כפול אורך אופקי, אלא $2\pi$ כפול רדיוס כפול אלמנט אורך הקשת.

דוגמה: נחשב את שטח המעטפת של הגוף המתקבל מסיבוב הקו הישר $f(x)=\frac{3}{4}x$, מ-$x=0$ עד $x=4$, סביב ציר $x$.

הנגזרת היא

$$f'(x)=\frac{3}{4},$$

ולכן

$$\sqrt{1+(f'(x))^2}=\sqrt{1+\frac{9}{16}}=\frac{5}{4}.$$

נציב בנוסחת שטח המעטפת:

$$S=2\pi\int_0^4 \frac{3x}{4}\cdot\frac{5}{4}\,dx =\frac{15\pi}{8}\int_0^4 x\,dx.$$

כעת

$$\int_0^4 x\,dx=\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4=8.$$

לכן

$$S=\frac{15\pi}{8}\cdot 8=15\pi.$$

התוצאה מתאימה לשטח מעטפת של חרוט שרדיוס בסיסו $3$, גובהו $4$, והקו היוצר שלו באורך $5$, שכן הנוסחה הגיאומטרית היא $\pi r l=\pi\cdot 3\cdot 5=15\pi$.