אינטגרל לא מסוים ומציאת פונקציה קדומה

בחשבון אינטגרלי עוסקים בשחזור פונקציה מתוך הנגזרת שלה. כאשר ידוע קצב השינוי של גודל, האינטגרל הלא מסוים מאפשר למצוא את הפונקציה המתארת את הגודל עצמו. הרעיון המרכזי הוא שהאינטגרציה היא פעולה הפוכה לגזירה, ולכן תוצאתה אינה פונקציה יחידה אלא משפחה של פונקציות הנבדלות בקבוע.

האינטגרל הלא מסוים כפעולה הפוכה לנגזרת

נגדיר: פונקציה $F$ תיקרא פונקציה קדומה של פונקציה $f$ בתחום מסוים, אם לכל $x$ בתחום מתקיים:

$F'(x)=f(x)$

למשל, אם $f(x)=2x$, אז $F(x)=x^2$ היא פונקציה קדומה שלה, כי הנגזרת של $x^2$ היא $2x$. גם $F(x)=x^2+5$ היא פונקציה קדומה של אותה פונקציה, משום שנגזרת של מספר קבוע היא אפס.

מכאן נובע שאם מצאנו פונקציה קדומה אחת של $f$, אפשר להוסיף לה כל מספר קבוע ולקבל פונקציה קדומה נוספת. את אוסף כל הפונקציות הקדומות של $f$ נהוג לסמן כך:

$\int f(x)\,dx = F(x)+C$

הסימון $\int$ מציין אינטגרל, הביטוי $f(x)\,dx$ מציין את הפונקציה שאותה מבקשים לבצע לה אינטגרציה, והאות $C$ נקראת קבוע האינטגרציה. האינטגרל הלא מסוים אינו מספר יחיד ואינו פונקציה אחת בלבד; הוא משפחת פונקציות שכולן נבדלות זו מזו בהזזה אנכית.

אם התחום שבו עוסקים הוא תחום קשיר, כלומר אינו מפורק למקטעים נפרדים שביניהם נתק, אז כל פונקציה קדומה של $f$ באותו תחום היא בהכרח מהצורה $F(x)+C$. לכן, כדי לתאר את כל הפונקציות שהנגזרת שלהן היא $f$, מספיק למצוא פונקציה קדומה אחת ולהוסיף לה קבוע כללי.

גרפית, הוספת $C$ אינה משנה את שיפוע המשיק בנקודה בעלת שיעור $x$ נתון, אלא רק מזיזה את הגרף כולו למעלה או למטה. לכן לכל הגרפים במשפחה יש אותה צורה ואותם שיפועים בכל ערך $x$, אך הם חותכים את ציר $y$ בגבהים שונים.

אינטגרלים של פונקציית פולינום

פולינום הוא פונקציה הבנויה מסכום של איברים מהצורה $a \cdot x^n$, כאשר $n$ הוא מספר שלם אי־שלילי ו-$a$ הוא מקדם קבוע. כדי לחשב אינטגרל לא מסוים של פולינום, משתמשים בפעולה ההפוכה לגזירת חזקה.

עבור חזקה שבה המעריך אינו מינוס 1 מתקיים:

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C$

הכלל דומה לכלל הגזירה אך בכיוון ההפוך: מעלים את החזקה ב־1, מחלקים בחזקה החדשה, ומוסיפים קבוע אינטגרציה. למשל, מאחר שהנגזרת של $x^3$ היא $3x^2$, הפונקציה הקדומה של $3x^2$ היא $x^3+C$. באופן דומה, הפונקציה הקדומה של $x^4$ היא $\frac{x^5}{5}+C$.

עבור איבר קבוע, כלומר פונקציה מהצורה $f(x)=a$, מתקיים:

$\int a\,dx = ax+C$

זאת משום שהנגזרת של $ax$ היא $a$. חשוב לשים לב שהאינטגרל של קבוע אינו רק הקבוע עצמו, אלא ביטוי ליניארי בתוספת קבוע אינטגרציה.

בחישוב אינטגרל של פולינום שלם משתמשים בשני כללים פשוטים:

• אינטגרל של סכום או הפרש של פונקציות שווה לסכום או להפרש של האינטגרלים שלהן.
• אפשר להוציא גורם קבוע מחוץ לאינטגרל, כלומר $\int a \cdot f(x)\,dx = a\int f(x)\,dx$.

לדוגמה, נחשב את האינטגרל של הפונקציה $f(x)=6x^2-4x+7$:

$$\int (6x^2-4x+7)\,dx = 6\int x^2\,dx - 4\int x\,dx + \int 7\,dx$$ $$= 6\cdot \frac{x^3}{3} - 4\cdot \frac{x^2}{2} + 7x + C$$ $$= 2x^3 - 2x^2 + 7x + C$$

את התוצאה אפשר לבדוק בעזרת גזירה: הנגזרת של $2x^3-2x^2+7x+C$ היא $6x^2-4x+7$, ולכן קיבלנו פונקציה קדומה נכונה. בבדיקה כזו הקבוע $C$ נעלם, ולכן הוא אינו משפיע על הנגזרת, אך חובה לכתוב אותו בתשובה הסופית של אינטגרל לא מסוים.

אינטגרלים של פונקציה רציונלית מהצורה $y=\frac{c}{(ax+b)^2}$

פונקציה רציונלית היא מנה של שני פולינומים. במקרים רבים מופיעה פונקציה מהצורה:

$y=\frac{c}{(ax+b)^2}$

כאשר $c$ ו-$a$ הם קבועים, ו-$a \neq 0$. תחום ההגדרה של הפונקציה הוא כל $x$ פרט לערך שבו המכנה מתאפס, כלומר $x \neq -\frac{b}{a}$.

כדי למצוא אינטגרל לא מסוים של פונקציה כזו, נזהה תחילה פונקציה שהנגזרת שלה דומה לביטוי הנתון. נזכור שהנגזרת של $\frac{1}{ax+b}$ היא:

$$\frac{d}{dx}(ax+b)^{-1} = -a(ax+b)^{-2} = -\frac{a}{(ax+b)^2}$$

כלומר, גזירה של ביטוי מהצורה $(ax+b)^{-1}$ מייצרת ביטוי מהצורה קבוע חלקי $(ax+b)^2$. מכיוון שאינטגרציה היא פעולה הפוכה, נקבל:

$$\int \frac{1}{(ax+b)^2}\,dx = -\frac{1}{a(ax+b)}+C$$

אם במונה מופיע קבוע $c$, נכפיל את התוצאה ב-$c$:

$$\int \frac{c}{(ax+b)^2}\,dx = -\frac{c}{a(ax+b)}+C$$

לדוגמה, נחשב את האינטגרל של הפונקציה $y=\frac{8}{(4x-1)^2}$. כאן $c=8$ ו-$a=4$, ולכן:

$$\int \frac{8}{(4x-1)^2}\,dx = -\frac{8}{4(4x-1)}+C = -\frac{2}{4x-1}+C$$

נבדוק בעזרת גזירה. הנגזרת של $-\frac{2}{4x-1}$ היא:

$$-2 \cdot (-1)(4x-1)^{-2}\cdot 4 = \frac{8}{(4x-1)^2}$$

ולכן הפונקציה שמצאנו אכן קדומה של הפונקציה הנתונה.

יש להקפיד על שתי נקודות:

• אין לשכוח את המקדם $a$ שבמכנה; הוא נובע מכלל השרשרת בגזירה.
• יש לציין את תחום ההגדרה כאשר מבקשים פונקציה קדומה בתחום מסוים, שכן הפונקציה אינה מוגדרת בנקודה שבה $ax+b=0$.

מציאת פונקציה קדומה על פי הנגזרת ונקודה נתונה על גרף הפונקציה

לעיתים נתונה לא רק הנגזרת, אלא גם נקודה אחת שעל גרף הפונקציה המקורית. במקרה כזה אפשר לעבור ממשפחת הפונקציות הקדומות אל פונקציה אחת מסוימת.

התהליך כולל שלושה שלבים עיקריים:

1. מחשבים את האינטגרל הלא מסוים של הנגזרת הנתונה ומקבלים ביטוי כללי הכולל את $C$.
2. מציבים בביטוי את שיעורי הנקודה הנתונה: את ערך $x$ בנקודה ואת ערך הפונקציה המתאים לה.
3. פותרים את המשוואה ומקבלים את ערכו של $C$, ואז כותבים את הפונקציה המבוקשת.

לדוגמה, נניח שנתונה הנגזרת $f'(x)=3x^2-6x$ ונתונה הנקודה $(2,1)$ על גרף הפונקציה $f$. תחילה נבצע אינטגרציה:

$f(x)=\int (3x^2-6x)\,dx = x^3-3x^2+C$

כעת נשתמש בנקודה הנתונה. אם $x=2$, ערך הפונקציה הוא 1, ולכן:

$1 = 2^3 - 3\cdot 2^2 + C$

$1 = 8 - 12 + C$

$1 = -4 + C$

$C = 5$

לכן הפונקציה המבוקשת היא:

$f(x)=x^3-3x^2+5$

דוגמה נוספת עם פונקציה רציונלית: נתונה הנגזרת $f'(x)=\frac{9}{(3x+2)^2}$ ונתונה הנקודה $(0,4)$. נשתמש בכלל לאינטגרל של $\frac{c}{(ax+b)^2}$:

$$f(x)=\int \frac{9}{(3x+2)^2}\,dx = -\frac{9}{3(3x+2)}+C = -\frac{3}{3x+2}+C$$

נציב את הנקודה $(0,4)$:

$4 = -\frac{3}{3\cdot 0+2}+C$

$4 = -\frac{3}{2}+C$

$C = \frac{11}{2}$

ולכן:

$f(x)=\frac{11}{2}-\frac{3}{3x+2}$

חשוב לשים לב שהנקודה הנתונה היא נקודה על גרף הפונקציה שאותה מחפשים, ולא נקודה על גרף הנגזרת. לכן ההצבה היא בערך הפונקציה, כלומר $f(x_0)=y_0$, ולא בערך הנגזרת. כמו כן, אם הפונקציה אינה מוגדרת בנקודה מסוימת, לא ניתן להשתמש בנקודה כזו כדי לקבוע את $C$.