בחירת ענפים לפונקציות טריגונומטריות הפוכות

השיעור עוסק בבחירה שיטתית של קטע שבו פונקציה טריגונומטרית נעשית הפיכה, ובהגדרת הפונקציה ההפוכה על קטע זה. הרעיון המרכזי הוא שהפונקציות sin, cos ו־tan הן מחזוריות ולכן אינן חד־חד־ערכיות על תחומן הטבעי; כדי לקבל פונקציה הפוכה יש להגביל את התחום לענף ראשי, וכל זהות שמערבת פונקציה הפוכה חייבת להיבדק מול הטווח הזה.

מדוע נדרשת הגבלת תחום לפני הגדרת פונקציה הפוכה

פונקציה הפוכה מוגדרת רק כאשר לכל ערך בטווח יש קלט יחיד. פונקציות טריגונומטריות הן מחזוריות:
$\sin x=\sin(x+2\pi)$,
$\cos x=\cos(x+2\pi)$,
$\tan x=\tan(x+\pi)$.
לכן הן אינן חד־חד־ערכיות על תחום המספרים הממשיים כולו.

למשל, למשוואה

$\sin x=\frac12$

יש אינסוף פתרונות:

$x=\frac{\pi}{6}+2\pi k$

וגם

$x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k$

עבור $k$ שלם. אם נרצה ש־$\arcsin(1/2)$ יחזיר ערך יחיד, עלינו לבחור מראש קטע שבו הפונקציה $\sin$ מקבלת כל ערך פעם אחת בלבד. קטע כזה נקרא ענף, והבחירה המקובלת בקורס היא הענף הראשי.

הענף הראשי של $\arcsin$

נבחר את הקטע

$\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right].$

בקטע זה $\sin x$ רציפה ועולה ממש, ולכן היא חד־חד־ערכית; טווח הערכים הוא $[-1,1]$. מכאן ההגדרה:

$y=\arcsin x$

אם ורק אם

$\sin y=x$

וגם

$y\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right].$

תחום ההגדרה של $\arcsin$ הוא $[-1,1]$, והטווח הוא

$\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right].$

דוגמה: נחשב את

$\arcsin\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right).$

• נתון: דרוש $y\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ כך ש־$\sin y=-\frac{\sqrt3}{2}$.
• שלב 1: הזווית החיובית שבה $\sin=\frac{\sqrt3}{2}$ היא $\frac{\pi}{3}$.
• שלב 2: כדי לקבל סינוס שלילי בענף הראשי, בוחרים את הזווית הנגדית $-\frac{\pi}{3}$.
• תוצאה:

$\arcsin\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=-\frac{\pi}{3}.$

הענף הראשי של $\arccos$

עבור $\cos$ נבחר הקטע

$[0,\pi].$

בקטע זה $\cos x$ רציפה ויורדת ממש, ולכן היא חד־חד־ערכית; הטווח הוא $[-1,1]$. לכן ההגדרה היא:

$y=\arccos x$

אם ורק אם

$\cos y=x$

וגם

$y\in[0,\pi].$

תחום ההגדרה של $\arccos$ הוא $[-1,1]$, והטווח הוא

$[0,\pi].$

דוגמה: נחשב את

$\arccos\left(-\frac12\right).$

• נתון: דרוש $y\in[0,\pi]$ עם $\cos y=-\frac12$.
• שלב 1: זווית הייחוס שבה הקוסינוס הוא $\frac12$ היא $\frac{\pi}{3}$.
• שלב 2: בענף הראשי קוסינוס שלילי מתקבל ברביע השני, ולכן

$y=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}.$

• תוצאה:

$\arccos\left(-\frac12\right)=\frac{2\pi}{3}.$

הענף הראשי של $\arctan$

עבור $\tan$ נבחר הקטע הפתוח

$\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right).$

בקטע זה $\tan x$ רציפה ועולה ממש, והיא מקבלת כל ערך ממשי בדיוק פעם אחת. לכן ההגדרה היא:

$y=\arctan x$

אם ורק אם

$\tan y=x$

וגם

$y\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right).$

תחום ההגדרה של $\arctan$ הוא $\mathbb{R}$, והטווח הוא

$\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right).$

הקצוות אינם כלולים, שכן $\tan$ אינה מוגדרת ב־$\pm\frac{\pi}{2}$.

דוגמה: נחשב את

$\arctan\left(-\frac{1}{\sqrt3}\right).$

• נתון: דרוש $y\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$ עם $\tan y=-\frac{1}{\sqrt3}$.
• שלב 1: ידוע ש־

$\tan\frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt3}.$

• שלב 2: כדי לקבל טנגנס שלילי בענף הראשי, בוחרים

$y=-\frac{\pi}{6}.$

• תוצאה:

$\arctan\left(-\frac{1}{\sqrt3}\right)=-\frac{\pi}{6}.$

טבלת תחומים וטווחים של הענפים הראשיים

הטבלה מציגה את ההגבלה שנבחרה עבור כל פונקציה מקורית ואת התחום והטווח של הפונקציה ההפוכה המתאימה.

פונקציה הפוכה	הגבלת הפונקציה המקורית	תחום ההגדרה של הפונקציה ההפוכה	טווח הענף הראשי
$\arcsin x$	$\sin x$ על $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$	$[-1,1]$	$\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$
$\arccos x$	$\cos x$ על $[0,\pi]$	$[-1,1]$	$[0,\pi]$
$\arctan x$	$\tan x$ על $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$	$\mathbb{R}$	$\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$

זהויות מיידיות של פונקציה והפוכה

כאשר הקלט נמצא בתחום ההגדרה של הפונקציה ההפוכה, ההרכבה בכיוון אחד היא זהות:

$$\sin(\arcsin x)=x,\quad \cos(\arccos x)=x,\quad \tan(\arctan x)=x.$$

למשל,

$\sin(\arcsin 0.4)=0.4$

וגם

$\tan(\arctan(-5))=-5.$

הכיוון השני אינו זהות אוטומטית. השוויון

$\arcsin(\sin x)=x$

נכון רק אם $x$ עצמו נמצא בטווח

$\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right].$

באופן דומה,

$\arccos(\cos x)=x$

רק עבור $x\in[0,\pi]$, ו־

$\arctan(\tan x)=x$

רק עבור $x\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$. מחוץ לטווחים האלה הפונקציה ההפוכה מחזירה את הזווית היחידה בענף הראשי שיש לה אותו ערך טריגונומטרי, לא בהכרח את הזווית המקורית.

החזרת זווית מחוץ לענף אל הטווח הראשי

כדי לחשב הרכבות כמו

$$\arcsin(\sin x),\quad \arccos(\cos x),\quad \arctan(\tan x),$$

יש לעבוד בשני שלבים: תחילה מזהים את הערך הטריגונומטרי של הזווית הנתונה, ואז בוחרים את הזווית היחידה בענף הראשי שנותנת אותו ערך.

דוגמה 1:

$\arcsin\left(\sin\frac{3\pi}{4}\right).$

• תחילה מחשבים:

$\sin\frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}.$

• הזווית בענף הראשי שבה הסינוס הוא $\frac{\sqrt2}{2}$ היא $\frac{\pi}{4}$.
• לכן:

$\arcsin\left(\sin\frac{3\pi}{4}\right)=\frac{\pi}{4}.$

דוגמה 2:

$\arccos\left(\cos\frac{5\pi}{4}\right).$

• תחילה מחשבים:

$\cos\frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}.$

• הזווית בענף $[0,\pi]$ שבה הקוסינוס הוא $-\frac{\sqrt2}{2}$ היא $\frac{3\pi}{4}$.
• לכן:

$\arccos\left(\cos\frac{5\pi}{4}\right)=\frac{3\pi}{4}.$

דוגמה 3:

$\arctan\left(\tan\frac{3\pi}{4}\right).$

• תחילה מחשבים:

$\tan\frac{3\pi}{4}=-1.$

• הזווית בענף $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$ שבה הטנגנס הוא $-1$ היא $-\frac{\pi}{4}$.
• לכן:

$\arctan\left(\tan\frac{3\pi}{4}\right)=-\frac{\pi}{4}.$

זהויות בין הפונקציות ההפוכות ורגישות לטווח

הזהות המרכזית בין הענפים היא

$\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}{2}$

עבור כל $x\in[-1,1]$. כדי להבין אותה, נסמן

$y=\arcsin x.$

אז

$\sin y=x,$

ולכן

$\cos\left(\frac{\pi}{2}-y\right)=x.$

מכיוון ש־

$y\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right],$

מתקיים

$\frac{\pi}{2}-y\in[0,\pi],$

וזה בדיוק הטווח של $\arccos$. לכן

$\arccos x=\frac{\pi}{2}-y.$

דוגמה: עבור $x=\frac12$,

$\arcsin\frac12=\frac{\pi}{6}$

וגם

$\arccos\frac12=\frac{\pi}{3}.$

הסכום הוא

$\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}.$

זהות שימושית נוספת היא

$$\arctan x+\arctan\frac{1}{x}= \begin{cases} \frac{\pi}{2}, & x>0,\\ -\frac{\pi}{2}, & x<0. \end{cases}$$

כאן חובה להבחין בסימן $x$, משום שהטווח של $\arctan$ מוגבל ל־

$\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right).$

עבור $x>0$ שני הערכים חיוביים וסכומם $\frac{\pi}{2}$; עבור $x<0$ שניהם שליליים וסכומם $-\frac{\pi}{2}$.

זהויות זוגיות נובעות ישירות מהענפים שנבחרו:

$$\arcsin(-x)=-\arcsin x, \qquad \arctan(-x)=-\arctan x.$$

ואילו עבור קוסינוס מתקבלת

$\arccos(-x)=\pi-\arccos x.$

הסיבה היא שהטווח של $\arccos$ אינו סימטרי סביב האפס, אלא נע בין $0$ ל־$\pi$.

ענפים חלופיים והבחירה המקובלת בקורס

הבחירה בענף הראשי אינה האפשרות היחידה. אפשר להגביל את $\sin$ גם לקטע

$\left[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right],$

שבו היא חד־חד־ערכית, ואז תתקבל פונקציה הפוכה אחרת עם טווח שונה. באופן דומה, אפשר לבחור עבור $\cos$ קטע אחר שבו היא חד־חד־ערכית, ועבור $\tan$ כל קטע פתוח באורך $\pi$ שבו היא רציפה וחד־חד־ערכית. עם זאת, בקורס ובבחינת גמר נהוג להשתמש בענפים הראשיים שהוגדרו לעיל, ולכן כל זהות או חישוב צריכים להישמר במסגרת הטווחים

$$\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right],\quad [0,\pi],\quad \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$$

בהתאמה.