גאומטריה במערכת צירים

השיעור מציג את היסודות של הגאומטריה האנליטית במישור: מעבר בין נקודות, ישרים ומעגלים לבין משוואות וחישובים אלגבריים. הרעיון המרכזי הוא שניתן לתאר תכונות גיאומטריות באמצעות שיעורים, מרחקים ושיפועים, ולכן שאלות על חיתוך, אורך ומיקום הופכות לחישוב שיטתי.

מערכת צירים קרטזית ונקודות

מערכת צירים קרטזית במישור מורכבת משני צירים מאונכים: ציר אופקי המסומן x וציר אנכי המסומן y. אורך היחידה על שני הצירים שווה, ונקודת החיתוך שלהם היא ראשית הצירים, ששיעוריה (0,0). כל נקודה במישור מזוהה עם זוג סדור של מספרים ממשיים (x,y).

השיעור הראשון של נקודה מציין את המרחק האופקי שלה מציר y, והשיעור השני מציין את המרחק האנכי שלה מציר x. הסימן קובע אם הנקודה נמצאת מימין או משמאל לציר y, ומעל או מתחת לציר x. לדוגמה, הנקודה (3,-2) נמצאת שלוש יחידות מימין לציר y ושתי יחידות מתחת לציר x.

מרחק בין שתי נקודות

המרחק בין שתי נקודות הוא אורך הקטע המחבר אותן. אם נתונות הנקודות A(x1,y1) ו-B(x2,y2), המרחק ביניהן הוא

d = √((x2−x1)² + (y2−y1)²).

הנוסחה נובעת ממשפט פיתגורס: ההפרש בין שיעורי ה-x וההפרש בין שיעורי ה-y הם ניצבים של משולש ישר זווית, והקטע בין הנקודות הוא היתר.

דוגמה: נחשב את המרחק בין A(1,2) ל-B(4,6). ההפרש האופקי הוא 4−1=3, וההפרש האנכי הוא 6−2=4. לכן

d = √(3²+4²) = √(9+16) = √25 = 5.

אם שתי הנקודות נמצאות על ישר אופקי או אנכי, הנוסחה מצטמצמת להפרש מוחלט של אחד השיעורים: כאשר x1=x2 מתקבל d=|y2−y1|, וכאשר y1=y2 מתקבל d=|x2−x1|.

שיפוע של ישר

שיפוע של ישר מודד את קצב השינוי האנכי ביחס לשינוי האופקי. עבור שתי נקודות שונות על ישר לא אנכי, A(x1,y1) ו-B(x2,y2), השיפוע הוא

m = (y2−y1)/(x2−x1), בתנאי ש-x1≠x2.

שיפוע חיובי מתאר ישר העולה משמאל לימין, שיפוע שלילי מתאר ישר היורד משמאל לימין, ושיפוע אפס מתאר ישר אופקי. לישר אנכי אין שיפוע מוגדר, משום שהמכנה בנוסחה מתאפס. ישר אופקי וישר אנכי מאונכים זה לזה, אף שלישר האנכי אין שיפוע מוגדר.

דוגמה: נחשב שיפוע של ישר העובר דרך (1,2) ו-(4,8).

m = (8−2)/(4−1) = 6/3 = 2.

המשמעות: עבור כל עלייה של יחידה אחת בכיוון x, ערך ה-y עולה בשתי יחידות. שני ישרים מקבילים הם בעלי שיפועים שווים. שני ישרים מאונכים זה לזה, כאשר שני השיפועים מוגדרים, מקיימים m1·m2 = −1; לדוגמה, ישר בעל שיפוע 2 מאונך לישר בעל שיפוע −1/2.

משוואות ישר

ישר לא אנכי במישור אפשר להציג בצורה המפורשת

y = mx + n,

כאשר m הוא השיפוע ו-n הוא שיעור ה-y של נקודת החיתוך עם ציר y. צורה שימושית נוספת היא צורת שיפוע ונקודה:

y − y1 = m(x − x1),

כאשר (x1,y1) היא נקודה על הישר. ישר אנכי מתואר במשוואה x = a, וישר אופקי מתואר במשוואה y = b.

דוגמה: נמצא משוואת ישר העובר דרך הנקודות (2,3) ו-(5,9). תחילה נחשב את השיפוע:

m = (9−3)/(5−2) = 6/3 = 2.

נציב את השיפוע ואת הנקודה (2,3) בצורת שיפוע ונקודה:

y − 3 = 2(x − 2).

לאחר פתיחת סוגריים מתקבלת המשוואה y = 2x − 1.

כדי למצוא נקודת חיתוך של ישר עם ציר x מציבים y=0, וכדי למצוא חיתוך עם ציר y מציבים x=0. לדוגמה, עבור הישר y=2x−4: חיתוך עם ציר x מתקבל מ-0=2x−4 ולכן x=2, כלומר הנקודה (2,0); חיתוך עם ציר y מתקבל מ-x=0 ולכן y=−4, כלומר הנקודה (0,−4).

מצבי חיתוך של שני ישרים

המצב ההדדי של שני ישרים במישור נקבע על פי השיפועים ועל פי נקודות החיתוך שלהם עם ציר y. מבחינה אלגברית, מציאת נקודת חיתוך שקולה לפתרון מערכת של שתי משוואות ליניאריות. כאשר שני הישרים אינם אנכיים, נוח להשוות את הצגותיהם בצורה y=mx+n.

דוגמה לישרים נחתכים: נפתור את מערכת המשוואות y=2x+1 ו-y=−x+4. השוואת האגפים נותנת 2x+1=−x+4, ולכן 3x=3 ו-x=1. הצבה באחת המשוואות נותנת y=3, כלומר נקודת החיתוך היא (1,3).

דוגמה לישרים מקבילים: y=2x+1 ו-y=2x−3. לשניהם שיפוע 2 אך נקודות החיתוך שלהם עם ציר y שונות, ולכן אין להם נקודה משותפת.

דוגמה לישרים מתלכדים: y=2x+1 ו-2y=4x+2. לאחר חלוקת המשוואה השנייה ב-2 מתקבלת אותה משוואה, ולכן כל נקודה על הישר הראשון נמצאת גם על השני.

מצב	תנאי בסיסי	מספר נקודות משותפות
נחתכים	שיפועים שונים	נקודה אחת
מקבילים	שיפועים שווים ונקודות חיתוך שונות עם ציר y	אפס
מתלכדים	אותה משוואה, או שיפוע ונקודת חיתוך עם ציר y זהים	אינסוף

הטבלה מתייחסת לישרים לא אנכיים. ישר אנכי מהצורה x=a נחתך עם כל ישר לא אנכי, ושני ישרים אנכיים x=a ו-x=b מקבילים אם a≠b ומתלכדים אם a=b.

מעגלים במערכת צירים

מעגל הוא אוסף כל הנקודות במישור שמרחקן מנקודה קבועה, הנקראת מרכז המעגל, שווה למספר חיובי קבוע הנקרא רדיוס. אם מרכז המעגל הוא (a,b) ורדיוסו R, משוואת המעגל היא

(x−a)² + (y−b)² = R².

כאשר המרכז הוא ראשית הצירים, המשוואה מצטמצמת ל-x²+y²=R².

דוגמה: נתבונן במעגל (x−2)²+y²=9. מהמשוואה נזהה שמרכזו (2,0) ורדיוסו 3. כדי למצוא את נקודות החיתוך עם ציר x נציב y=0:

(x−2)² = 9
x−2 = ±3
x = −1 או x = 5.

לכן המעגל חותך את ציר x בנקודות (−1,0) ו-(5,0). כדי למצוא את החיתוך עם ציר y נציב x=0:

4 + y² = 9
y² = 5
y = ±√5.

לכן נקודות החיתוך עם ציר y הן (0,√5) ו-(0,−√5).

את המצב ההדדי של ישר ומעגל אפשר לבדוק באמצעות הצבת משוואת הישר במשוואת המעגל. מתקבלת משוואה ריבועית: אם יש לה שני פתרונות ממשיים, הישר חותך את המעגל בשתי נקודות; אם יש פתרון אחד, הישר משיק למעגל; אם אין פתרון ממשי, הישר אינו פוגש את המעגל.

גרפים ריבועיים בסיסיים

פונקציה ריבועית מהצורה

y = ax² + bx + c, כאשר a≠0,

מציירת במערכת הצירים פרבולה. הפרמטר a קובע את כיוון הפתיחה: אם a>0 הפרבולה נפתחת כלפי מעלה, ואם a<0 היא נפתחת כלפי מטה. ככל שהערך המוחלט של a גדול יותר, הפרבולה צרה יותר.

צורת הקודקוד של פרבולה היא

y = a(x−h)² + k,

כאשר (h,k) הוא קודקוד הפרבולה והישר x=h הוא ציר הסימטריה שלה. במעבר מהצורה הכללית לצורת הקודקוד מתקבל

h = −b/(2a),

והערך k מתקבל מהצבת x=h בפונקציה.

דוגמה: נתבונן בפונקציה y=x²−4x+3. כאן a=1, b=−4, c=3. נחשב את שיעור ה-x של הקודקוד:

h = −(−4)/(2·1) = 2.

נציב x=2 ונקבל k = 2²−4·2+3 = 4−8+3 = −1. לכן קודקוד הפרבולה הוא (2,−1), וציר הסימטריה הוא x=2.

נקודות החיתוך עם ציר x מתקבלות מפתרון המשוואה x²−4x+3=0. פירוק לגורמים נותן (x−1)(x−3)=0, ולכן x=1 או x=3. נקודות החיתוך הן (1,0) ו-(3,0). החיתוך עם ציר y מתקבל מ-x=0 ולכן y=3, כלומר הנקודה (0,3).

הדיסקרימיננטה של המשוואה הריבועית, Δ=b²−4ac, מאפשרת לקבוע את מספר נקודות החיתוך עם ציר x: אם Δ>0 יש שתי נקודות חיתוך, אם Δ=0 יש נקודה אחת שבה הפרבולה משיקה לציר, ואם Δ<0 אין חיתוך עם ציר x.