מסכומי רימן למשפט היסודי

שיעור זה עוסק במעבר מקירוב שטחים באמצעות מלבנים אל ההגדרה הפורמלית של האינטגרל המסוים. הרעיון המרכזי הוא שהצטברות של כמויות קטנות ניתנת לתיאור כגבול של סכומים, וכי הגבול הזה קשור ישירות לנגזרת באמצעות המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי.

סימון סיגמה ושטח כגבול סכומים

כדי לתאר סכום של איברים רבים באופן תמציתי נשתמש בסימון סיגמה. אם לכל אינדקס $k$ ניתן מספר $a_k$, אזי

$\sum_{k=1}^{n} a_k = a_1 + a_2 + \cdots + a_n.$

לדוגמה,

$\sum_{k=1}^{4} k^2 = 1+4+9+16=30.$

בחישוב שטח מתחת לגרף של פונקציה חיובית $f$ בקטע $[a,b]$, נחלק את הקטע לתת־קטעים, נבנה מלבן מעל כל תת־קטע, ונסכום את שטחי המלבנים. גובה המלבן יכול להיקבע לפי ערך הפונקציה בנקודה שנבחרת בתת־הקטע, למשל הקצה השמאלי, הקצה הימני או נקודת אמצע. ככל שהחלוקה דקה יותר, סכום המלבנים מתקרב בדרך כלל לשטח האמיתי.

דוגמה: נקרב את השטח מתחת לגרף $f(x)=x$ בקטע $[0,1]$. נחלק את הקטע ל־$n$ קטעים שווים באורך

$\Delta x = \frac{1}{n}$

ונבחר את הקצה הימני בכל קטע:

$x_k = \frac{k}{n}.$

שטח המלבן ה־$k$ הוא

$f(x_k)\Delta x = \frac{k}{n}\cdot \frac{1}{n}.$

לכן סכום המלבנים הוא

$$\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^2} = \frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^{n} k = \frac{1}{n^2}\cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n+1}{2n}.$$

כאשר $n$ שואף לאינסוף, הביטוי שואף ל־$\frac{1}{2}$. זהו השטח מתחת לישר $y=x$ מעל הקטע $[0,1]$.

הגדרת האינטגרל המסוים

תהי $f$ פונקציה רציפה המוגדרת בקטע הסגור $[a,b]$. נחלק את הקטע ל־$n$ תת־קטעים באמצעות נקודות

$a=x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n=b.$

נסמן

$\Delta x_k = x_k - x_{k-1},$

ובכל תת־קטע $[x_{k-1},x_k]$ נבחר נקודה שרירותית $\xi_k$. הסכום

$\sum_{k=1}^{n} f(\xi_k)\Delta x_k$

נקרא סכום רימן או סכום אינטגרלי של $f$ בקטע $[a,b]$.

אם כאשר הרוחב המקסימלי של תת־הקטעים,

$\max_{1\le k\le n}\Delta x_k,$

שואף לאפס, סכומי רימן שואפים לגבול סופי יחיד שאינו תלוי בבחירת הנקודות $\xi_k$, נגדיר את הגבול הזה בתור האינטגרל המסוים של $f$ מ־$a$ עד $b$:

$$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\max \Delta x_k \to 0} \sum_{k=1}^{n} f(\xi_k)\Delta x_k.$$

כאשר $f$ רציפה בקטע סגור, הגבול קיים. הדרישה שהגבול לא יהיה תלוי בבחירת הנקודות היא מהותית: היא מבטיחה שהאינטגרל מתאר גודל יציב של הפונקציה על הקטע, ולא תוצאה מקרית של בחירה זו או אחרת של מלבנים.

האינטגרל המסוים הוא מספר. הוא אינו תלוי באות שבה מסמנים את המשתנה:

$\int_a^b f(x)\,dx$

ו־

$\int_a^b f(t)\,dt$

מתארים את אותו מספר. אם $f(x)\ge 0$ בקטע, האינטגרל שווה לשטח התחום שבין הגרף לציר ה־$x$. אם הפונקציה מקבלת ערכים שליליים, האינטגרל מייצג שטח מכוון: תרומה מעל ציר ה־$x$ חיובית, ותרומה מתחת לציר ה־$x$ שלילית.

תכונות האינטגרל המסוים

האינטגרל המסוים מקיים תכונות הנובעות ישירות מהגדרתו כגבול של סכומים.

• ליניאריות: אם $f$ ו־$g$ אינטגרביליות בקטע ו־$\alpha,\beta$ קבועים, אז

$$\int_a^b \bigl(\alpha f(x)+\beta g(x)\bigr)\,dx = \alpha\int_a^b f(x)\,dx + \beta\int_a^b g(x)\,dx.$$

• אדיטיביות לפי קטעים: אם $c$ נקודה בין $a$ ל־$b$, אז

$$\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx.$$

• היפוך גבולות:

$$\int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx.$$

בפרט,

$\int_a^a f(x)\,dx = 0.$

• אי־שוויון: אם $f(x)\le g(x)$ לכל $x$ בקטע, אז

$$\int_a^b f(x)\,dx \le \int_a^b g(x)\,dx.$$

אם $f(x)\ge 0$, אז

$\int_a^b f(x)\,dx \ge 0.$

• חסימה: אם $m\le f(x)\le M$ לכל $x\in[a,b]$, אז

$m(b-a)\le \int_a^b f(x)\,dx \le M(b-a).$

לדוגמה, אם ידוע כי $2\le f(x)\le 5$ בקטע $[0,3]$, אז

$6\le \int_0^3 f(x)\,dx \le 15.$

• אינטגרל של קבוע: אם $f(x)=c$, אז

$\int_a^b c\,dx = c(b-a).$

דוגמה לתכונה האחרונה:

$\int_2^5 3\,dx = 3(5-2)=9.$

אפשר לראות זאת גם גיאומטרית: זהו שטח מלבן שרוחבו $3$ וגובהו $3$.

פונקציית הצטברות והחלק הראשון של המשפט היסודי

נניח ש־$f$ רציפה בקטע $[a,b]$. עבור כל $x$ בקטע נגדיר פונקציית הצטברות:

$F(x)=\int_a^x f(t)\,dt.$

הערך $F(x)$ מייצג את ההצטברות של $f$ מ־$a$ עד $x$. מבחינה גיאומטרית, אם $f$ חיובית, $F(x)$ הוא השטח שבין הגרף לציר ה־$x$ מעל הקטע $[a,x]$.

אם $f$ מתארת קצב שינוי של גודל מסוים, למשל מהירות של גוף, אז $F(x)$ מתארת את הגודל המצטבר, למשל את ההעתק. בכך האינטגרל מקשר בין קצב רגעי לבין שינוי מצטבר לאורך זמן או לאורך קטע.

החלק הראשון של המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי קובע ש־$F$ גזירה ושנגזרתה היא הפונקציה המקורית:

$F'(x)=f(x).$

במילים אחרות, קצב השינוי של השטח המצטבר בנקודה $x$ שווה לערך הפונקציה באותה נקודה.

הסבר קצר: עבור $h$ קטן, התוספת להצטברות בקטע $[x,x+h]$ היא בערך מלבן שגובהו $f(x)$ ורוחבו $h$, כלומר

$F(x+h)-F(x)\approx f(x)h.$

לכן מנת ההפרשים היא בערך

$\frac{F(x+h)-F(x)}{h}\approx f(x),$

ובגבול $h\to 0$ מתקבלת הנגזרת $F'(x)=f(x)$.

דוגמה: אם $f(t)=t^2$ ו־$a=0$, אז

$F(x)=\int_0^x t^2\,dt.$

לפי החלק הראשון של המשפט היסודי,

$F'(x)=x^2.$

אם נחשב במפורש באמצעות פונקציה קדומה, נקבל

$F(x)=\frac{x^3}{3},$

ואכן הנגזרת היא

$F'(x)=x^2.$

החלק השני של המשפט היסודי וחישוב ערכים

החלק השני של המשפט היסודי מקשר בין אינטגרל מסוים לבין פונקציה קדומה. פונקציה $F$ נקראת פונקציה קדומה של $f$ בתחום אם לכל נקודה בתחום מתקיים

$F'(x)=f(x).$

לדוגמה, $F(x)=x^2$ היא פונקציה קדומה של $f(x)=2x$, משום ש־

$(x^2)'=2x.$

אם $f$ רציפה בקטע $[a,b]$ ו־$F$ היא פונקציה קדומה שלה, אז

$\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a).$

נוסחה זו נקראת גם נוסחת ניוטון–לייבניץ. היא מאפשרת לחשב אינטגרלים מסוימים בלי לעבור דרך סכומי רימן מפורטים.

נהוג לכתוב את החישוב בצורה מקוצרת:

$\int_a^b f(x)\,dx = \bigl[F(x)\bigr]_a^b = F(b)-F(a).$

הקשר בין שני חלקי המשפט היסודי נובע מכך שפונקציית ההצטברות

$F(x)=\int_a^x f(t)\,dt$

היא עצמה פונקציה קדומה של $f$. כל פונקציה קדומה אחרת נבדלת ממנה בקבוע בלבד. אם $G$ פונקציה קדומה נוספת של $f$, אז $G(x)=F(x)+C$, ולכן

$G(b)-G(a)=\bigl(F(b)+C\bigr)-\bigl(F(a)+C\bigr)=F(b)-F(a).$

לכן הבחירה בפונקציה הקדומה אינה משנה את תוצאת האינטגרל המסוים.

דוגמה: נחשב את

$\int_1^3 2x\,dx.$

פונקציה קדומה של $2x$ היא $F(x)=x^2$. לכן

$$\int_1^3 2x\,dx = \bigl[x^2\bigr]_1^3 = 3^2-1^2 = 9-1 = 8.$$

דוגמה נוספת עם פונקציה קבועה:

$$\int_0^4 5\,dx = \bigl[5x\bigr]_0^4 = 20-0 = 20.$$

כאן הפונקציה הקדומה היא $5x$, וההפרש בקצוות נותן את השטח של מלבן שרוחבו $4$ וגובהו $5$.