שיעור 7: רציפות ודיוק בגבולות

בשיעור זה נעבור מתיאור אינטואיטיבי של התקרבות אל ערך אל ניסוח פורמלי של גבול, ונראה כיצד ניסוח זה מבסס את מושג הרציפות. הרעיון המרכזי הוא שטענה על גבול או על רציפות אינה נסמכת על התרשמות מגרף בלבד, אלא על תנאי מדויק: לכל דרישת דיוק של הערך, קיימת בחירה מתאימה של קרבה למשתנה. נבחן גם את הקשר בין גבול רגיל לבין גבולות חד־צדדיים, כדי ליישם את העקרונות על פונקציות טריגונומטריות.

ניסוח מדויק של גבול פונקציה

תהי $f$ פונקציה המוגדרת בסביבה של $a$, פרט אולי לנקודה $a$ עצמה. נאמר כי הגבול של $f$ כאשר $x$ שואף ל־$a$ הוא $L$, ונכתוב $\lim_{x\to a}f(x)=L$, אם לכל $\varepsilon>0$ קיים $\delta>0$ כך שלכל $x$ המקיים $0<|x-a|<\delta$ מתקיים $|f(x)-L|<\varepsilon$.

הגדרה זו הופכת את האינטואיציה "הערכים מתקרבים אל $L$" לתנאי כמותי. $\varepsilon$ מייצג את רמת הדיוק הנדרשת בערכי הפונקציה, ואילו $\delta$ מייצג את מידת הקרבה של $x$ לנקודה $a$. התנאי $0<|x-a|$ מדגיש שאין חשיבות לערך $f(a)$ עצמו; הגבול מתאר את התנהגות הפונקציה בסביבה מנוקבת של $a$, כלומר בנקודות הקרובות ל־$a$ אך שונות ממנה.

כדי להוכיח גבול לפי ההגדרה, יש להראות כיצד לכל בחירה של $\varepsilon$ אפשר לבחור $\delta$ המתאים לה. בדוגמה פשוטה, נוכיח כי $\lim_{x\to 2}(3x-2)=4$. עבור $\varepsilon>0$ נחשב:

$|(3x-2)-4|=|3x-6|=3|x-2|$.

אם נבחר $\delta=\varepsilon/3$, אז לכל $x$ המקיים $0<|x-2|<\delta$ נקבל

$|(3x-2)-4|=3|x-2|<3\delta=\varepsilon$.

לכן הגבול הוא 4. אם, למשל, נדרשת רמת דיוק של $\varepsilon=0.03$, מספיק לבחור $\delta=0.01$.

גבולות חד־צדדיים והקשר לגבול הדו־צדדי

פעמים רבות יש לבדוק את התנהגות הפונקציה רק מצד אחד של הנקודה. גבול חד־צדדי ימני של $f$ בנקודה $a$ הוא $L$ אם לכל $\varepsilon>0$ קיים $\delta>0$ כך שלכל $x$ המקיים $00$ קיים $\delta>0$ כך שלכל $x$ המקיים 00\end{cases}.

כאשר $x\to0^-$, הענף השמאלי שואף ל־$1$, ולכן $\lim_{x\to0^-}f(x)=1$. כאשר $x\to0^+$, הענף הימני שואף ל־$2$, ולכן $\lim_{x\to0^+}f(x)=2$. מכיוון שהגבולות החד־צדדיים שונים, $\lim_{x\to0}f(x)$ אינו קיים. לעומת זאת, אם שני הענפים היו שואפים לאותו ערך, הגבול הדו־צדדי היה קיים גם בלי שהפונקציה תהיה מוגדרת בנקודה.

שלושת תנאי הרציפות בנקודה

רציפות בנקודה מבטאת התאמה מלאה בין ערך הפונקציה בנקודה לבין התנהגותה בסביבתה. פונקציה $f$ רציפה בנקודה $a$ אם מתקיימים שלושת התנאים הבאים:

1. $f(a)$ מוגדר, כלומר $a$ שייכת לתחום ההגדרה של $f$.
2. הגבול $\lim_{x\to a}f(x)$ קיים.
3. מתקיים השוויון $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$.

ניסוח שקול באמצעות $\varepsilon$ ו־$\delta$ הוא: $f$ רציפה ב־$a$ אם לכל $\varepsilon>0$ קיים $\delta>0$ כך שלכל $x$ המקיים $|x-a|<\delta$ מתקיים $|f(x)-f(a)|<\varepsilon$. בניסוח זה אין דרישה להוציא את $a$ מהסביבה, משום שהערך $f(a)$ עצמו הוא חלק מהטענה.

הפרה של אחד התנאים יוצרת אי־רציפות. אם $f(a)$ אינו מוגדר אך הגבול קיים, הפונקציה אינה רציפה בנקודה, אך לעיתים אפשר להגדיר ערך ולהשלים את הרציפות. אם הגבול קיים אך שונה מ־$f(a)$, גם זו אי־רציפות הניתנת לתיקון על ידי שינוי ערך הפונקציה בנקודה. אם הגבולות החד־צדדיים שונים, מתקבלת אי־רציפות קפיצה. אם הפונקציה שואפת לאינסוף בנקודה, זו אי־רציפות אינסופית.

דוגמה: $f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$ בנקודה $x=2$. הפונקציה אינה מוגדרת ב־$2$, ולכן תנאי הרציפות הראשון נכשל. עם זאת, עבור $x\ne2$ אפשר לפשט:

$\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$,

ולכן $\lim_{x\to2}f(x)=4$. אם נגדיר פונקציה חדשה $g(x)=x+2$ לכל $x$, או נגדיר $f(2)=4$, נקבל רציפות ב־$2$.

דוגמה לבדיקת רציפות בפונקציה מוגדרת למקוטעין:

$f(x)=\begin{cases}x^2, & x\le 1\\ 2x-1, & x>1\end{cases}$.

בנקודה $x=1$ מתקיים $f(1)=1$. הגבול השמאלי הוא $\lim_{x\to1^-}x^2=1$, והגבול הימני הוא $\lim_{x\to1^+}(2x-1)=1$. לכן $\lim_{x\to1}f(x)=1=f(1)$, והפונקציה רציפה ב־$1$.

גבולות ורציפות של פונקציות טריגונומטריות

הפונקציות $\sin x$ ו־$\cos x$ רציפות לכל $x\in\mathbb{R}$. משמעות הדבר היא שבכל נקודה $a$ אפשר לחשב גבול על ידי הצבה ישירה:

$\lim_{x\to a}\sin x=\sin a$, $\lim_{x\to a}\cos x=\cos a$.

רציפות זו נובעת מכך שהשינוי בערכי הפונקציה נשלט על ידי המרחק בין הזוויות; למשל, מתקיים $|\sin x-\sin a|\le |x-a|$, ולכן כאשר $x$ מתקרב ל־$a$, ערכי $\sin x$ מתקרבים ל־$\sin a$. חשוב להשתמש ברדיאנים כאשר עובדים עם גבולות אלה, שכן הגבולות הסטנדרטיים של פונקציות טריגונומטריות מנוסחים ביחידות אלה.

מכיוון ש־$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$, הפונקציה $\tan x$ רציפה בכל נקודה שבה $\cos x\ne0$. באופן דומה, $\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$ רציפה בכל נקודה שבה $\sin x\ne0$. טבלת התחומים והרציפות:

פונקציה	תחום הגדרה	רציפות
$\sin x$	כל המספרים הממשיים	רציפה בכל הממשיים
$\cos x$	כל המספרים הממשיים	רציפה בכל הממשיים
$\tan x$	$x\ne \frac{\pi}{2}+k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$	רציפה בכל נקודה בתחומה
$\cot x$	$x\ne k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$	רציפה בכל נקודה בתחומה

בחישוב גבולות טריגונומטריים נפוצים שני גבולות יסוד:

$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$,

$\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x}=0$.

הגבול הראשון משמש בסיס לגבולות מהצורה $\lim_{x\to0}\frac{\sin(ax)}{bx}$, והשני מתקבל, למשל, באמצעות הזהות $1-\cos x=\frac{\sin^2 x}{1+\cos x}$.

דוגמה: נחשב את $\lim_{x\to0}\frac{\sin 3x}{5x}$. נכתוב:

$\frac{\sin 3x}{5x}=\frac{3}{5}\cdot\frac{\sin 3x}{3x}$.

כאשר $x\to0$, גם $3x\to0$, ולכן $\frac{\sin 3x}{3x}\to1$. מכאן שהגבול הוא $\frac{3}{5}$.

דוגמה נוספת מדגימה שימוש ברציפות ישירה: $\lim_{x\to \pi/3}(\sin x+\cos x)=\sin(\pi/3)+\cos(\pi/3)=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}$. מכיוון שסכום פונקציות רציפות הוא פונקציה רציפה, אין צורך בהצדקה נוספת מעבר להצבה. באופן כללי, אם $g$ רציפה ב־$a$, אז $\sin(g(x))$ ו־$\cos(g(x))$ רציפות ב־$a$, ולכן $\lim_{x\to a}\sin(g(x))=\sin(g(a))$ ו־$\lim_{x\to a}\cos(g(x))=\cos(g(a))$, בתנאי שהביטויים מוגדרים.