שיעור 11: קצבים הקשורים זה בזה

בשיעור זה ננתח מצבים שבהם כמה גדלים משתנים בזמן ותלויים זה בזה באמצעות קשר מתמטי. הרעיון המרכזי הוא מעבר מתיאור מילולי של תנועה או שינוי אל משוואה, גזירת המשוואה לפי הזמן באמצעות כלל השרשרת, והצבת הערכים הידועים ברגע נתון כדי למצוא קצב מבוקש.

תרגום תהליך משתנה למשוואה

בבעיה של קצבים, כל גודל שמשתנה עם הזמן נחשב לפונקציה של הזמן. הקצב של גודל משתנה הוא הנגזרת שלו לפי הזמן. לכן, גם אם בשאלה כתוב רק “הרדיוס גדל”, הכוונה היא ש־r הוא פונקציה של t, ולכן גם השטח A הוא פונקציה של t. הסימון המקובל הוא r(t), A(t), x(t), y(t) או V(t), בהתאם לגודל הנדון.

השלב הראשון בפתרון הוא תרגום התיאור המילולי למשוואה. לשם כך יש לזהות את הגדלים המשתתפים בתהליך, להחליט אילו מהם משתנים ואילו קבועים, ולמצוא את הקשר המתמטי ביניהם. הקשר יכול לנבוע מנוסחת שטח, נוסחת נפח, משפט פיתגורס, יחס דמיון משולשים או חוק פיזיקלי.

לדוגמה, אם כתם שמן עגול מתפשט על פני מים, השטח של הכתם קשור לרדיוס שלו בנוסחת שטח מעגל:

A = πr²

אם הרדיוס משתנה בזמן, נכון יותר לכתוב:

A(t) = π[r(t)]²

בשלב זה אין עדיין צורך לדעת מהו קצב הגידול. מטרת התרגום היא לקבל משוואה כללית שתקשר בין הגדלים בכל רגע, ולא רק ברגע מסוים.

בתהליך התרגום יש להקפיד על הפרדה בין קבועים לבין משתנים. אורך סולם שאינו משתנה הוא קבוע, ולכן אפשר לסמן אותו באות קבועה כגון L. לעומת זאת, המרחק בין תחתית הסולם לקיר והגובה של ראש הסולם על הקיר הם בדרך כלל משתנים, ולכן נסמן אותם ב־x(t) וב־y(t).

לעיתים יש צורך להכניס משתני עזר, כגון זווית, גובה או רדיוס, אך תמיד יש להשתדל להגיע למשוואה אחת או למערכת קטנה של משוואות שבהן ברור מי תלוי במי. ככל שהקשר בין המשתנים כתוב בצורה פשוטה וברורה יותר, כך שלב הגזירה יהיה מדויק ופחות חשוף לטעויות.

גזירה לפי הזמן

אחרי שקיבלנו משוואה בין גדלים התלויים בזמן, גוזרים את שני האגפים לפי הזמן. פעולה זו נקראת גזירה לפי הזמן, והיא מתבצעת באמצעות האופרטור d/dt. מכיוון שהמשתנים אינם מספרים קבועים אלא פונקציות של t, יש להשתמש בכלל השרשרת.

לדוגמה, עבור שטח מעגל:

A = πr²

גזירה לפי הזמן נותנת:

dA/dt = 2πr · dr/dt

המשמעות היא שקצב שינוי השטח אינו תלוי רק בקצב שינוי הרדיוס, אלא גם ברדיוס עצמו ברגע הנתון.

אם המשוואה כוללת מכפלה של שני משתנים, יש להשתמש בכלל המכפלה. אם היא כוללת הרכבה של פונקציות, משתמשים בכלל השרשרת. פעמים רבות שני הכללים מופיעים יחד באותה בעיה.

דוגמה נפוצה נוספת היא סולם באורך קבוע הנשען על קיר אנכי. נסמן ב־x(t) את המרחק האופקי בין תחתית הסולם לקיר, וב־y(t) את הגובה של ראש הסולם מעל הרצפה. אם אורך הסולם הוא L, מתקיים בכל רגע:

x² + y² = L²

גזירה לפי הזמן של שני האגפים נותנת:

2x · dx/dt + 2y · dy/dt = 0

ולאחר חלוקה ב־2:

x · dx/dt + y · dy/dt = 0

מכאן אפשר לחלץ את הקצב המבוקש אם ידוע הקצב השני. למשל:

dy/dt = −(x/y) · dx/dt

חשוב לשים לב שהאיבר L² הוא קבוע, ולכן נגזרתו לפי הזמן היא 0. אם במשוואה מופיע קבוע נוסף, כגון π או אורך קבוע של מכל, הוא נשאר קבוע בזמן ואין לגזור אותו כמשתנה.

הצבת נתוני הרגע ויחידות

לאחר הגזירה יש להציב את נתוני הרגע: ערכי המשתנים ברגע המבוקש והקצבים הידועים. שלב זה שונה מכתיבת המשוואה הכללית, משום שהוא עוסק ברגע אחד בלבד. לכן יש להקפיד להציב רק אחרי הגזירה, ולא לפני כן, אלא אם כן מדובר בקבוע שאינו משתנה בזמן.

הסיבה לכך היא שאם נציב ערך של משתנה לפני הגזירה, נאבד את התלות שלו בזמן. לדוגמה, במשוואת הסולם x² + y² = L² אין להציב x = 3 לפני הגזירה, שכן לאחר ההצבה נקבל משוואה שבה y נראה כקבוע, ולא נוכל למצוא את dy/dt.

לפני ההצבה יש לפעמים לחשב ערך חסר מתוך הקשר המקורי. בדוגמת הסולם, אם אורך הסולם הוא 5 מטרים והמרחק האופקי הוא 3 מטרים, נחשב את הגובה:

y = √(5² − 3²) = √(25 − 9) = √16 = 4

כעת נציב את כל הנתונים במשוואה הגזורה. נניח שתחתית הסולם מתרחקת מהקיר בקצב של 1 מטר בשנייה, כלומר:

dx/dt = 1

ברגע שבו x = 3 ו־y = 4 מתקבל:

3 · 1 + 4 · dy/dt = 0

ולכן:

dy/dt = −3/4

התוצאה היא מינוס שלושה רבעים של מטר בשנייה. הסימן השלילי מציין שהגובה קטן, כלומר ראש הסולם יורד. גודל הקצב הוא 0.75 מטר בשנייה.

יחידות המדידה הן חלק מהצבת הנתונים. אם האורכים נתונים במטרים והזמן בשניות, קצב שינוי של אורך יהיה מטר לשנייה, קצב שינוי של שטח יהיה מטר רבוע לשנייה, וקצב שינוי של נפח יהיה מטר מעוקב לשנייה. אם הנתונים ניתנים ביחידות שונות, יש להמיר אותן לפני ההצבה. למשל, אם רדיוס גדל ב־60 סנטימטרים לדקה, קצבו הוא 1 סנטימטר לשנייה. יש להתאים את כל הנתונים לאותה מערכת יחידות לפני החישוב.

יש להקפיד שכל קצב מוצב עם הסימן המתאים לכיוון השינוי: גידול מסומן בדרך כלל בערך חיובי, וקטינה בערך שלילי. אם השאלה מציינת שגודל “קטן”, “יורד” או “מתרוקן”, יש לתרגם זאת לסימן מתאים במשוואה.

דוגמה: שטח מלבן שצלעותיו משתנות

נבחן מלבן שאורך צלע אחת שלו גדל ב־2 סנטימטרים לשנייה, ואורך הצלע הסמוכה קטן ב־1 סנטימטר לשנייה. נבקש למצוא את קצב שינוי השטח ברגע שבו אורכי הצלעות הם 5 סנטימטרים ו־3 סנטימטרים.

נסמן את אורכי הצלעות ב־x(t) וב־y(t). שטח המלבן הוא:

A = xy

גזירה לפי הזמן לפי כלל המכפלה נותנת:

dA/dt = x · dy/dt + y · dx/dt

נציב את נתוני הרגע:

x = 5, y = 3

dx/dt = 2, dy/dt = −1

נקבל:

dA/dt = 5 · (−1) + 3 · 2

dA/dt = −5 + 6 = 1

לכן ברגע זה השטח גדל בקצב של 1 סנטימטר רבוע לשנייה. הדוגמה מראה שקצב השינוי של השטח יכול להיות חיובי גם כאשר אחד הגדלים קטן, משום שהשפעת כל צלע תלויה גם בגודל הצלע השנייה.

דוגמה: נפח כדור מתנפח

נבחן כדור שהרדיוס שלו גדל בקצב של 0.5 סנטימטרים לשנייה. נבקש למצוא את קצב גידול הנפח ברגע שבו הרדיוס הוא 3 סנטימטרים.

נפח כדור נתון על ידי הנוסחה:

V = (4/3)πr³

כאן V ו־r שניהם פונקציות של הזמן. נגזור את המשוואה לפי הזמן:

dV/dt = (4/3)π · 3r² · dr/dt

הגורם 3 מצטמצם עם המכנה, ולכן מתקבל:

dV/dt = 4πr² · dr/dt

נציב את נתוני הרגע:

r = 3, dr/dt = 0.5

נקבל:

dV/dt = 4π · 3² · 0.5

dV/dt = 4π · 9 · 0.5 = 18π

לכן קצב גידול הנפח באותו רגע הוא 18π סנטימטרים מעוקבים לשנייה. יחידות התוצאה הן נפח לזמן, משום שגזרנו נפח לפי הזמן.