שיעור 5: קריאת גרפים ושינויי צורה

השיעור עוסק בקשר בין שינויים אלגבריים בנוסחת פונקציה לבין שינויים גיאומטריים בגרפה. הרעיון המרכזי הוא שגרפים רבים אינם אוסף נקודות אקראי, אלא תוצאה של פעולות מוגדרות על פונקציה מוכרת: הזזה, שיקוף, מתיחה או כיווץ. במבחן ביניים או בבחינת גמר בקורס, קריאה נכונה של הגרף מאפשרת לזהות תחום, סימטריה, חיתוכים והתנהגות קצה גם ללא חישוב מפורט של כל נקודה.

הזזות של גרף

נתחיל מפונקציה $f$ שגרפהּ ידוע. הזזה אנכית מתקבלת כאשר מוסיפים קבוע לערכי הפונקציה: $g(x)=f(x)+k$. אם $k>0$, הגרף עולה למעלה ב־$k$ יחידות; אם $k<0$, הגרף יורד למטה ב־$|k|$ יחידות.

הזזה אופקית מתקבלת כאשר מחליפים את $x$ ב־$x-a$: $g(x)=f(x-a)$. אם $a>0$, הגרף זז ימינה ב־$a$ יחידות; אם $a<0$, הגרף זז שמאלה ב־$|a|$ יחידות. הסימן בפנים הפונקציה הפוך לכיוון התנועה, משום שהגרף מגיע לאותו ערך כאשר הקלט החדש גדול יותר ב־$a$.

דוגמה: עבור $f(x)=x^2$, הגרף של $g(x)=(x-2)^2+3$ מתקבל מהפרבולה $y=x^2$ בשתי פעולות: הזזה ימינה ב־2 והזזה למעלה ב־3. הקודקוד עובר מ־$(0,0)$ ל־$(2,3)$, וציר הסימטריה הוא $x=2$. הנקודה $(1,1)$ בגרף המקורי עוברת ל־$(3,4)$, כי $3-2=1$ ואז מוסיפים 3.

שיקופים ביחס לצירים ולראשית

שיקוף הופך את סימן הערכים או את סימן הקלט. אם $g(x)=-f(x)$, כל ערך $y$ של הפונקציה מתחלף בנגדי, ולכן הגרף משתקף ביחס לציר $x$. אם $g(x)=f(-x)$, הקלטים מתחלפים בנגדיים, ולכן הגרף משתקף ביחס לציר $y$. הפעולה $g(x)=-f(-x)$ משקפת תחילה ביחס לציר $y$ ואחר כך ביחס לציר $x$, ושקולה לשיקוף ביחס לראשית הצירים.

דוגמה: ניקח $f(x)=\sqrt{x}$, שתחומה $x\ge 0$. הגרף של $g(x)=-\sqrt{x}$ נמצא מתחת לציר $x$ באותו תחום, כי כל ערך חיובי נעשה שלילי. הגרף של $h(x)=\sqrt{-x}$ מתקבל שיקוף ביחס לציר $y$, ולכן תחומו $x\le 0$. הנקודה $(4,2)$ על $f$ עוברת ל־$(4,-2)$ על $g$, ול־$(-4,2)$ על $h$.

מתיחות וכיווצים

מתיחה אנכית או כיווץ אנכי נוצרים על ידי כפל הפונקציה בקבוע: $g(x)=a f(x)$. אם $|a|>1$, המרחקים האנכיים מציר $x$ גדלים פי $|a|$; אם $0<|a|<1$, הם קטנים. כאשר $a<0$, מתווסף גם שיקוף ביחס לציר $x$.

מתיחה אופקית או כיווץ אופקי נוצרים על ידי החלפת $x$ ב־$bx$: $g(x)=f(bx)$, עבור $b\ne 0$. אם $|b|>1$, הגרף מתכווץ אופקית, משום שהפונקציה מגיעה לאותם ערכים בקלטים קטנים יותר בערכם המוחלט. אם $0<|b|<1$, הגרף נמתח אופקית. כאשר $b<0$, מתווסף שיקוף ביחס לציר $y$.

דוגמה: נתחיל מ־$f(x)=x^2$ ונגדיר $g(x)=3f(2x)=3(2x)^2=12x^2$. הנקודה $(1,1)$ של $f$ עוברת לנקודה שבה $2x=1$, כלומר $x=\frac12$, ואז הערך מוכפל ב־3. לכן היא עוברת ל־$\left(\frac12,3\right)$. קיבלנו כיווץ אופקי פי 2 ומתיחה אנכית פי 3.

תחום וטווח תחת טרנספורמציות

טרנספורמציות משנות לא רק את מיקום הגרף אלא גם את התחום והטווח. הזזה אופקית או כיווץ אופקי משפיעים בעיקר על תחום ההגדרה, בעוד הזזה אנכית, מתיחה אנכית או שיקוף ביחס לציר $x$ משפיעים על הטווח. עם זאת, יש לבדוק כל פונקציה לפי מגבלותיה המקוריות, כגון שורש, מכנה או לוגריתם.

דוגמה: ל־$f(x)=\sqrt{x}$ תחום $x\ge 0$ וטווח $y\ge 0$. עבור $g(x)=\sqrt{x-3}$, התחום הוא $x\ge 3$, והטווח נשאר $y\ge 0$. עבור $h(x)=-2\sqrt{x-3}+1$, התחום נשאר $x\ge 3$, אך הטווח משתנה: מכיוון ש־$\sqrt{x-3}\ge 0$, מתקבל $-2\sqrt{x-3}\le 0$, ולכן $h(x)\le 1$. כלומר הטווח הוא $y\le 1$.

דוגמה עם פונקציה רציונלית: ל־$f(x)=\frac{1}{x}$ התחום הוא $x\ne 0$ והטווח הוא $y\ne 0$. עבור $g(x)=\frac{1}{x-2}+3$, התחום הוא $x\ne 2$, והטווח הוא $y\ne 3$. כאן ההזזה האופקית קובעת את מיקום האסימפטוטה האנכית, וההזזה האנכית קובעת את מיקום האסימפטוטה האופקית.

סימטריה של גרפים

סימטריה מאפשרת להסיק על חלק מהגרף מתוך חלק אחר. פונקציה $f$ נקראת זוגית אם לכל $x$ בתחום מתקיים $f(-x)=f(x)$. גרף של פונקציה זוגית סימטרי ביחס לציר $y$. לדוגמה, $f(x)=x^2$ זוגית, כי $(-x)^2=x^2$.

פונקציה $f$ נקראת אי־זוגית אם לכל $x$ בתחום מתקיים $f(-x)=-f(x)$. גרף של פונקציה אי־זוגית סימטרי ביחס לראשית הצירים. לדוגמה, $f(x)=x^3$ אי־זוגית, כי $(-x)^3=-x^3$. אם אין מתקיים אחד משני השוויונות, הגרף אינו סימטרי ביחס לציר $y$ או ביחס לראשית.

בגרפים שנבנו באמצעות טרנספורמציות, סימטריה עשויה להשתנות. הזזה אופקית של פונקציה זוגית, כגון $y=(x-2)^2$, שומרת על צורה פרבולית אך אינה שומרת על סימטריה ביחס לציר $y$; ציר הסימטריה שלה הוא $x=2$. לעומת זאת, הזזה אנכית של פונקציה זוגית, כגון $y=x^2+5$, שומרת על סימטריה ביחס לציר $y$.

חיתוכים עם הצירים

קריאת גרף כוללת זיהוי נקודות חיתוך עם הצירים. חיתוך עם ציר $y$ מתקבל, אם $0$ בתחום הפונקציה, על ידי הצבת $x=0$: הנקודה היא $(0,f(0))$. חיתוכים עם ציר $x$ מתקבלים מפתרון המשוואה $f(x)=0$, וכל פתרון נותן נקודה מהצורה $(x_0,0)$.

טרנספורמציות משנות את החיתוכים באופן צפוי. הזזה אופקית מזיזה את שורשי הפונקציה, והזזה אנכית משנה את ערכי הפונקציה ולכן עשויה לשנות את מספר השורשים. דוגמה: ל־$f(x)=x^2-4$ יש חיתוכים עם ציר $x$ ב־$x=-2$ וב־$x=2$, וחיתוך עם ציר $y$ ב־$(0,-4)$. עבור $g(x)=(x-1)^2-4$, נפתור $(x-1)^2=4$ ונקבל $x-1=\pm 2$, כלומר $x=-1$ או $x=3$. חיתוך עם ציר $y$ הוא $g(0)=1-4=-3$, כלומר הנקודה $(0,-3)$.

התנהגות קצה

התנהגות קצה מתארת את ערכי הפונקציה כאשר $x$ שואף ל־$\infty$ או ל־$-\infty$. בקורס אקדמי ננסח זאת באמצעות גבולות: אם $\lim_{x\to\infty} f(x)=L$, הישר $y=L$ הוא אסימפטוטה אופקית מימין; באופן דומה עבור $x\to -\infty$. אם הפונקציה גדלה ללא חסם או קטנה ללא חסם בסביבת ערך $a$, הישר $x=a$ הוא אסימפטוטה אנכית.

דוגמה: עבור $f(x)=\frac{1}{x}$, מתקיים $\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0$ וגם $\lim_{x\to -\infty}\frac{1}{x}=0$, ולכן $y=0$ אסימפטוטה אופקית. בנוסף, ליד $x=0$ הערכים אינם חסומים, ולכן $x=0$ אסימפטוטה אנכית. אם נזיז את הגרף ונגדיר $g(x)=\frac{1}{x-2}+3$, האסימפטוטה האנכית זזה ל־$x=2$, והאסימפטוטה האופקית זזה ל־$y=3$. כך ניתן לקרוא את התנהגות הקצה ישירות מהצורה האלגברית.

בפונקציות פולינומיות, התנהגות הקצה נקבעת על פי האיבר המוביל. לדוגמה, עבור $f(x)=x^3$, מתקיים $\lim_{x\to -\infty}x^3=-\infty$ ו־$\lim_{x\to\infty}x^3=\infty$; עבור $f(x)=-x^2$, הגרף שואף ל־$-\infty$ בשני הכיוונים. מתיחה או שיקוף אנכי משנים את קצב הגידול ואת הסימן, אך לא את סוג הגבול, ואילו הזזה אופקית אינה משנה את הגבולות באינסוף.

בניית גרף מפונקציה מוכרת

כדי לבנות גרף מורכב, נזהה תחילה את הפונקציה הבסיסית המוכרת ונכתוב את הביטוי בצורה $y=a f(b(x-c))+d$, כאשר $a$, $b$, $c$, $d$ קבועים ו־$b\ne 0$. צורה זו מאפשרת לעקוב אחרי נקודה $(u,v)$ על גרף $f$: היא עוברת לנקודה $\left(c+\frac{u}{b}, av+d\right)$. הכלל שימושי במיוחד כאשר רוצים לשרטט במהירות נקודות מפתח, כגון קודקוד, נקודת קצה או חיתוך.

יש להיזהר מסדר הפעולות בתוך הסוגריים. הביטוי $f(2x-6)$ אינו מתאר הזזה ימינה ב־6 בלבד; נכתוב אותו כ־$f(2(x-3))$, ולכן הוא כולל כיווץ אופקי פי 2 והזזה ימינה ב־3. באופן כללי, כדאי לפרק את הביטוי לגורם כפול $x$ ולהזזה, כדי לזהות נכון את השינוי האופקי.

דוגמה מלאה: נבנה את הגרף של $g(x)=-2\sqrt{x-3}+1$. הפונקציה הבסיסית היא $f(x)=\sqrt{x}$. כאן $a=-2$, $b=1$, $c=3$, $d=1$, ולכן נקודה $(u,v)$ על $f$ עוברת ל־$(3+u,-2v+1)$. שלוש נקודות מפתח של $f$ הן $(0,0)$, $(1,1)$, $(4,2)$. הן עוברות בהתאמה ל־$(3,1)$, $(4,-1)$, $(7,-3)$. תחום הפונקציה הוא $x\ge 3$, כי הביטוי בתוך השורש חייב להיות אי־שלילי. טווח הפונקציה הוא $y\le 1$, כי $\sqrt{x-3}\ge 0$, ולכן $-2\sqrt{x-3}\le 0$. הגרף מתחיל בנקודה $(3,1)$ ויורד ככל ש־$x$ גדל.