בחירת שיטה ואינטגרציה בחלקים

שיעור זה עוסק בשלב שקודם להפעלת נוסחאות: הבנת המבנה של האינטגרנד והחלטה איזו טכניקה צפויה לקצר את הדרך. הרעיון המרכזי הוא שאינטגרציה בחלקים אינה רק כלל חישובי, אלא בחירה מושכלת של פירוק למכפלה: חלק אחד גוזרים, וחלק אחד מבצעים לו אינטגרציה, כך שהאינטגרל החדש יהיה פשוט יותר. נבחן גם מצבים שבהם יש להפעיל את השיטה כמה פעמים, ומצבים שבהם התהליך חוזר אל האינטגרל המקורי ויוצר משוואה.

זיהוי המבנה של האינטגרנד לפני בחירת טכניקה

לפני שמפעילים שיטת אינטגרציה, יש לבחון את האינטגרנד, כלומר את הפונקציה שמופיעה בתוך האינטגרל. השאלה הראשונה אינה “איזו נוסחה אני מכיר”, אלא “איזה מבנה עומד לפני”. האם יש פונקציה של פונקציה? האם מופיעה כפולה של הנגזרת הפנימית? האם יש מכפלה של שתי משפחות פונקציות שונות? האם אפשר לפשט אלגברית לפני האינטגרציה?

טבלה קצרה מסייעת לזהות כיווני פעולה נפוצים:

מבנה נפוץ	דוגמה	כיוון פעולה מועדף
הרכבה עם נגזרת פנימית	$\int 2x\cos(x^2)\,dx$	שיטת ההצבה
מכפלת פולינום באקספוננט או בטריגונומטריה	$\int x e^x\,dx$	אינטגרציה בחלקים
לוגריתם או פונקציה הפוכה ללא מכפלה מפורשת	$\int \ln x\,dx$	אינטגרציה בחלקים עם $dv=dx$
מכפלת אקספוננט בטריגונומטריה	$\int e^x\cos x\,dx$	אינטגרציה בחלקים חוזרת
פונקציה רציונלית	$\int \frac{1}{x^2-1}\,dx$	פישוט אלגברי או שברים חלקיים

הזיהוי אינו מכני. לעיתים יש לנסות פישוט ראשוני: פירוק מונה, שימוש בזהות טריגונומטרית, או כתיבה מחדש של חזקות. אם האינטגרנד מכיל הרכבה ומופיע בה גם גורם שהוא נגזרת של הפונקציה הפנימית, שיטת ההצבה היא לרוב הישירה ביותר.

דוגמה: נחשב את $\int 2x\cos(x^2)\,dx$. כאן מופיעה הפונקציה $\cos(x^2)$, כלומר קוסינוס של $x^2$, ולצדה הגורם $2x$. מאחר ש־$(x^2)'=2x$, נבחר בהצבה $t=x^2$, ולכן $dt=2x\,dx$. נקבל:

$\int 2x\cos(x^2)\,dx=\int \cos t\,dt=\sin t+C=\sin(x^2)+C.$

לעומת זאת, באינטגרל $\int x\cos x\,dx$ אין פונקציה פנימית שהגורם $x$ הוא נגזרת שלה. המבנה הוא מכפלה של פולינום בפונקציה טריגונומטרית, ולכן הכיוון הטבעי הוא אינטגרציה בחלקים.

עקרון האינטגרציה בחלקים ובחירת u ו־dv

אינטגרציה בחלקים היא שיטה לחישוב אינטגרל של מכפלה, והיא נובעת מכלל הגזירה של מכפלה. עבור פונקציות גזירות ברציפות מתקיים:

$(uv)'=u'v+uv'.$

לאחר אינטגרציה והעברת אגף מתקבלת הנוסחה:

$\int u\,dv=uv-\int v\,du.$

בכתיב מפורש, אם $u=u(x)$ ו־$v=v(x)$, אז:

$\int u(x)v'(x)\,dx=u(x)v(x)-\int v(x)u'(x)\,dx.$

הבחירה ב־$u$ וב־$dv$ היא לב השיטה. את $u$ בוחרים כגורם שנוח לגזור, ואת $dv$ בוחרים כגורם שנוח לבצע לו אינטגרציה. המטרה היא שהאינטגרל החדש $\int v\,du$ יהיה פשוט יותר מהאינטגרל המקורי.

כמה קווים מנחים לבחירה:

• אם מופיע לוגריתם, לרוב בוחרים בו כ־$u$, משום שגזירתו נותנת פונקציה רציונלית פשוטה.
• אם מופיע פולינום כפול אקספוננט או פונקציה טריגונומטרית, לרוב בוחרים בפולינום כ־$u$, משום שגזירתו מקטינה את דרגתו.
• אם אחד הגורמים הוא $e^x$, $\sin x$ או $\cos x$, לרוב נוח לבחור בו כחלק מ־$dv$, משום שהאינטגרל שלו מיידי.
• אם לאחר הבחירה מתקבל אינטגרל מסובך יותר, יש לבחון בחירה הפוכה או פישוט מקדים.

דוגמה: נחשב את $\int x e^x\,dx$. נבחר:

$u=x,\qquad dv=e^x\,dx.$

אז:

$du=dx,\qquad v=e^x.$

לפי הנוסחה:

$\int x e^x\,dx=x e^x-\int e^x\,dx=x e^x-e^x+C.$

ניתן לכתוב את התוצאה גם בצורה:

$\int x e^x\,dx=e^x(x-1)+C.$

אם היינו בוחרים במקום זאת $u=e^x$ ו־$dv=x\,dx$, היינו מקבלים $v=\frac{x^2}{2}$ ואת האינטגרל $\int \frac{x^2}{2}e^x\,dx$, שהוא מסובך יותר מהמקור. לכן הבחירה אינה רק טכנית; היא חלק מהבנת המבנה.

אינטגרציה חוזרת בחלקים

בחלק מהאינטגרלים אין די בהפעלה אחת של אינטגרציה בחלקים. אינטגרציה חוזרת פירושה שהאינטגרל שמתקבל אחרי ההפעלה הראשונה עדיין מכיל מכפלה שדורשת את אותה שיטה. מצב זה אופייני לפולינום מדרגה גבוהה כפול פונקציה שאינטגרציה חוזרת שלה פשוטה, כגון $e^x$, $\sin x$ או $\cos x$.

דוגמה: נחשב את $\int x^2 e^x\,dx$. נבחר תחילה:

$u=x^2,\qquad dv=e^x\,dx.$

אז:

$du=2x\,dx,\qquad v=e^x.$

ולכן:

$\int x^2 e^x\,dx=x^2e^x-\int 2x e^x\,dx.$

האינטגרל שנותר הוא $\int 2x e^x\,dx$. נוציא את הקבוע 2 ונפעיל שוב אינטגרציה בחלקים על $\int x e^x\,dx$. כבר חישבנו את האינטגרל הזה, אך נציג את השלבים:

$u=x,\qquad dv=e^x\,dx,$

ולכן:

$\int x e^x\,dx=x e^x-e^x.$

מכאן:

$\int 2x e^x\,dx=2(x e^x-e^x).$

נציב חזרה:

$\int x^2 e^x\,dx=x^2e^x-2(x e^x-e^x)+C.$

לאחר פתיחת סוגריים וכינוס איברים מתקבל:

$\int x^2 e^x\,dx=e^x(x^2-2x+2)+C.$

העיקרון הוא שהפולינום יורד דרגה בכל גזירה. אם ממשיכים באותה אסטרטגיה, לאחר מספר צעדים הוא נעלם, והאינטגרל שנותר הוא אינטגרל מיידי של הפונקציה האקספוננטית או הטריגונומטרית.

אינטגרציה בחלקים היוצרת משוואה

יש מקרים שבהם אינטגרציה בחלקים אינה מובילה ישירות לאינטגרל פשוט, אלא חוזרת אל האינטגרל המקורי. במצב כזה אין להמשיך ולהפעיל את השיטה ללא כיוון; מסמנים את האינטגרל המבוקש באות, למשל $I$, ומקבלים משוואה אלגברית שפתרונה הוא האינטגרל.

דוגמה מרכזית: נחשב את $\int e^x\cos x\,dx$. נסמן:

$I=\int e^x\cos x\,dx.$

נבחר:

$u=e^x,\qquad dv=\cos x\,dx.$

אז:

$du=e^x\,dx,\qquad v=\sin x.$

לכן:

$I=e^x\sin x-\int e^x\sin x\,dx.$

כעת נסמן את האינטגרל החדש:

$J=\int e^x\sin x\,dx.$

נחשב את $J$ שוב באינטגרציה בחלקים. נבחר:

$u=e^x,\qquad dv=\sin x\,dx.$

אז:

$du=e^x\,dx,\qquad v=-\cos x.$

ולכן:

$J=-e^x\cos x+\int e^x\cos x\,dx.$

אבל האינטגרל האחרון הוא בדיוק $I$, ולכן:

$J=-e^x\cos x+I.$

נציב זאת חזרה למשוואה עבור $I$:

$I=e^x\sin x-J=e^x\sin x-(-e^x\cos x+I).$

כלומר:

$I=e^x\sin x+e^x\cos x-I.$

נעביר את $I$ אגף:

$2I=e^x(\sin x+\cos x).$

ולכן:

$I=\frac{e^x}{2}(\sin x+\cos x)+C.$

במקרים כאלה חשוב לשמור על עקביות בסימון ועל זהירות בסימנים. הקבוע הכללי נוסף בסוף, משום שאנו מחפשים את משפחת הפונקציות הקדומות של האינטגרנד המקורי.

השיטה הטבלאית לאינטגרציה חוזרת

כאשר אינטגרציה בחלקים חוזרת על עצמה כמה פעמים, אפשר לארגן את החישוב ברישום מקוצר. השיטה הטבלאית מתאימה במיוחד כאשר אחד הגורמים הוא פולינום שנגזרותיו מתאפסות לאחר מספר צעדים, והגורם השני ניתן לאינטגרציה חוזרת בקלות.

העיקרון הוא לבנות שתי עמודות: בעמודה אחת רושמים את הנגזרות של $u$, ובעמודה השנייה רושמים את האינטגרלים החוזרים של $dv$. הסימנים מתחלפים: פלוס, מינוס, פלוס, מינוס, וכן הלאה. כל איבר מתקבל מהכפלת הנגזרת בעמודה הראשונה באינטגרל המתאים בעמודה השנייה, לפי הסימן שבאותה שורה.

דוגמה: נחשב את $\int x^3\sin x\,dx$. נבחר:

$u=x^3,\qquad dv=\sin x\,dx.$

נגזור את $u$ עד לקבלת 0, ונבצע אינטגרציה חוזרת ל־$dv$:

סימן	נגזרת של $u$	אינטגרל חוזר של $dv$
$+$	$x^3$	$-\cos x$
$-$	$3x^2$	$-\sin x$
$+$	$6x$	$\cos x$
$-$	$6$	$\sin x$
	$0$	$-\cos x$

כעת נכפיל לפי הסימנים:

$$\int x^3\sin x\,dx = +x^3(-\cos x)-3x^2(-\sin x)+6x(\cos x)-6(\sin x)+C.$$

לאחר פישוט הסימנים מתקבל:

$$\int x^3\sin x\,dx = -x^3\cos x+3x^2\sin x+6x\cos x-6\sin x+C.$$

הטבלה אינה מחליפה את ההבנה של אינטגרציה בחלקים, אלא מסדרת את השלבים החוזרים ומונעת שגיאות סימן. היא יעילה כאשר ברור מראש שהנגזרות של $u$ יסתיימו באפס; אם אין התאפסות כזו, יש לבחון שוב את בחירת הגורמים או לעבור לטיפול אחר, כגון יצירת משוואה.