גרפים, הפיכות והגדרה מדויקת

בשיעור זה נבחן את הפונקציה המעריכית ואת הפונקציה הלוגריתמית כפונקציות הפוכות, ונראה כיצד הגרפים שלהן מבטאים חד-חד-ערכיות, תחומי הגדרה והתנהגות באינסוף. לאחר מכן נציג הגדרה אינטגרלית מדויקת של הלוגריתם הטבעי ונבחן את התכונות האנליטיות והאלגבריות הנובעות ממנה. הרעיון המרכזי הוא שהקשר בין חזקה ללוגריתם אינו רק כלל חישובי, אלא מבנה של פונקציות מוגדרות היטב, רציפות וגזירות.

הפונקציה המעריכית והלוגריתם כפונקציות הפוכות

יהי $a>0$, $a\ne 1$. הפונקציה המעריכית $f(x)=a^x$ מוגדרת לכל $x\in\mathbb{R}$ ומקבלת ערכים חיוביים בלבד. אם $a>1$, הפונקציה עולה ממש; אם $00$ לכל $x$, וכאשר $a>1$ מתקיים $\lim_{x\to\infty}a^x=\infty$ ו-$\lim_{x\to-\infty}a^x=0$, תמונת הפונקציה היא כל המספרים החיוביים. עבור $00$ קיים בדיוק $x$ אחד שבו $a^x=y$.

הלוגריתם לפי בסיס $a$ מוגדר כערך הזה:

\log_a y=x \quad אם ורק אם \quad a^x=y.

תחום ההגדרה של $\log_a$ הוא $y>0$, והתמונה היא כל $\mathbb{R}$.

שני קשרי ההרכבה הבאים מבטאים את ההפיכות:

• $\log_a(a^x)=x$ לכל $x\in\mathbb{R}$.
• $a^{\log_a y}=y$ לכל $y>0$.

דוגמה: עבור $a=2$ מתקיים $2^3=8$, ולכן $\log_2 8=3$. מבחינה גרפית, הנקודה $(3,8)$ נמצאת על גרף $y=2^x$, והנקודה $(8,3)$ נמצאת על גרף $y=\log_2 x$.

גרפים והשפעת הבסיס

גרף $y=a^x$ נמצא תמיד מעל ציר $x$, כי $a^x>0$ לכל $x$. הוא עובר בנקודה $(0,1)$, כי $a^0=1$. כאשר $a>1$, הגרף עולה משמאל לימין; כאשר $00$. הוא עובר בנקודה $(1,0)$, כי $\log_a 1=0$, והוא עולה אם $a>1$ ויורד אם $01$, הגדלת $a$ גורמת לגרף $a^x$ לעלות בתלילות גדולה יותר עבור ערכי $x$ חיוביים, ולרדת מהר יותר לעבר האסימפטוטה עבור $x$ שליליים. בלוגריתם, לעומת זאת, מתקיים $\log_a x=\frac{\ln x}{\ln a}$, ולכן הגדלת הבסיס מגדילה את המכנה ומקטינה את ערכי הלוגריתם עבור $x>1$. כך מתקבלת תמונה שבה הפונקציה המעריכית והלוגריתמית מתארות אותו קשר, אך בקנה מידה שונה.

שינויים בגרפים והתנהגות באינסוף

הכרת הגרף הבסיסי מאפשרת לנתח שינויים בגרפים של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות. הזזה אופקית מתקבלת מהחלפת $x$ ב-$x-h$, הזזה אנכית מתקבלת מהוספת $k$, וכפל ב-$c$ משנה את הערכים האנכיים של הפונקציה. בפונקציה מעריכית, הזזה אנכית משנה את האסימפטוטה האופקית; בפונקציה לוגריתמית, הזזה אופקית משנה את תחום ההגדרה ואת מיקום האסימפטוטה האנכית.

דוגמה: הגרף של $y=2^{x-1}+3$ מתקבל מהגרף של $y=2^x$ על ידי הזזה ימינה ב-$1$ והזזה למעלה ב-$3$. האסימפטוטה האופקית היא $y=3$, והנקודה $(0,1)$ של הגרף המקורי עוברת לנקודה $(1,4)$, כי $2^{1-1}+3=4$.

דוגמה לוגריתמית: הגרף של $y=\log_2(x-2)-1$ מוגדר רק כאשר $x-2>0$, כלומר $x>2$. האסימפטוטה האנכית היא $x=2$. הנקודה $(3,-1)$ נמצאת על הגרף, כי $\log_2(3-2)-1=0-1=-1$.

כפל ב-$c>0$ משנה את המרחק האנכי מציר $x$ אך אינו משנה את תחום ההגדרה. אם $c<0$, מתקבל שיקוף ביחס לציר $x$ בנוסף לכפל. לדוגמה, $y=-2^x$ היא שיקוף של $y=2^x$ ביחס לציר $x$, ולכן כל ערכיה שליליים, אך היא עדיין שומרת על אסימפטוטה אופקית $y=0$.

ההתנהגות באינסוף נקבעת על ידי הבסיס ועל ידי סוג הפונקציה. הטבלה הבאה מרכזת את הגבולות המרכזיים.

פונקציה	כיוון ראשון	כיוון שני
$a^x$, $a>1$	$a^x\to\infty$ כאשר $x\to\infty$	$a^x\to 0$ כאשר $x\to -\infty$
$a^x$, $01$	$\log_a x\to\infty$ כאשר $x\to\infty$	$\log_a x\to -\infty$ כאשר $x\to 0^+$
$\log_a x$, $00$:

$\ln x=\int_1^x \frac{1}{t}\,dt.$

כאשר $x=1$ מתקבל $\ln 1=0$. כאשר $00$. פונקציה עולה ממש היא חד-חד-ערכית. כמו כן, כאשר $x\to\infty$ האינטגרל שואף ל-$\infty$, וכאשר $x\to 0^+$ הוא שואף ל-$-\infty$; לכן תמונת הפונקציה היא כל $\mathbb{R}$.

אפשר להבין את אי-החסימות של האינטגרל באמצעות השוואה למלבנים. בקטע $[1,2]$ מתקיים $\frac{1}{t}\ge\frac{1}{2}$, ולכן $\int_1^2 \frac{dt}{t}\ge\frac{1}{2}$. באופן דומה, בכל קטע מהצורה $[2^k,2^{k+1}]$ עם $k\ge 0$, השטח מתחת לגרף $\frac{1}{t}$ גדול מקבוע חיובי שאינו תלוי ב-$k$. לכן, כאשר $x$ גדל, סכום השטחים גדל ללא חסם. טיעון דומה ליד $0$ מראה שהאינטגרל שואף ל-$-\infty$.

מההגדרה האינטגרלית נובעת תכונת הכפל. לכל $a,b>0$:

=\int_1^a\frac{dt}{t}+\int_a^{ab}\frac{dt}{t}.$$ באינטגרל השני נבצע את ההצבה $t=au$, ולכן $dt=a\,du$. כאשר $t=a$ מתקבל $u=1$, וכאשר $t=ab$ מתקבל $u=b$. לכן: $$\int_a^{ab}\frac{dt}{t}=\int_1^b\frac{du}{u}=\ln b,$$ ולכן $\ln(ab)=\ln a+\ln b$. תכונת החזקה $\ln(a^r)=r\ln a$ נובעת מתכונת הכפל ומהמשכיות הפונקציה.  ## הפונקציה המעריכית הטבעית והמספר e מכיוון ש-$\ln$ היא פונקציה חד-חד-ערכית ועל, כלומר לכל מספר ממשי יש ערך $x>0$ שבו $\ln x$ שווה לו, קיימת לה פונקציה הפוכה. נסמן פונקציה זו ב-$\exp:\mathbb{R}\to(0,\infty)$. היא מוגדרת כך: \exp(x)=y \quad אם ורק אם \quad \ln y=x. מהכלל לנגזרת פונקציה הפוכה נובעת נגזרת הפונקציה המעריכית הטבעית. אם $y=\exp(x)$, אז $\ln y=x$, ולכן: $$(\exp)'(x)=\frac{1}{\ln'(\exp(x))} =\frac{1}{1/\exp(x)}=\exp(x).$$ כלומר, הפונקציה $\exp(x)$ שווה לנגזרת שלה. תכונה זו הופכת אותה לכלי מרכזי במשוואות דיפרנציאליות ובחישובי גדילה ודעיכה. תכונת החיבור של הפונקציה המעריכית נובעת מתכונת הכפל של הלוגריתם. לכל $u,v\in\mathbb{R}$: $$\ln(\exp u\cdot \exp v)=\ln(\exp u)+\ln(\exp v)=u+v.$$ מכיוון ש-$\ln$ חד-חד-ערכית, שני מספרים בעלי אותו לוגריתם שווים זה לזה. לכן: $$\exp(u+v)=\exp u\cdot \exp v.$$ המספר $e$ מוגדר כמספר החיובי היחיד המקיים $\ln e=1$, כלומר: $$\int_1^e \frac{1}{t}\,dt=1.$$ לכן $\exp(1)=e$. על בסיס זה מגדירים לכל $a>0$, $a\ne 1$: $$a^x=\exp(x\ln a), \qquad \log_a x=\frac{\ln x}{\ln a}.$$ ## נגזרות, אינטגרלים ושינוי בסיס ההגדרה האינטגרלית מאפשרת לגזור פונקציות לוגריתמיות ומעריכיות בכל בסיס בצורה אחידה. מאחר ש-$\log_a x=\frac{\ln x}{\ln a}$, ו-$\ln a$ הוא קבוע עבור בסיס קבוע, מתקבל: $$(\log_a x)'=\frac{1}{x\ln a}.$$ דוגמה: עבור $y=\log_2 x$ מתקיים $y'=\frac{1}{x\ln 2}$. באופן דומה, מאחר ש-$a^x=\exp(x\ln a)$, נגזור לפי כלל השרשרת: $$(a^x)'=\ln a\cdot \exp(x\ln a)=a^x\ln a.$$ דוגמה: עבור $y=2^x$ מתקבל $y'=2^x\ln 2$. עבור הבסיס הטבעי, $\ln e=1$, ולכן $(e^x)'=e^x$. פונקציה קדומה של פונקציה $g$ היא פונקציה שנגזרתה שווה ל-$g$. מאחר ש-$(\ln x)'=\frac{1}{x}$, הפונקציה $\ln x$ היא פונקציה קדומה של $\frac{1}{x}$ בתחום החיובי. לכן עבור $00$, $a\ne 1$: $$\int a^x\,dx=\frac{a^x}{\ln a}+C.$$ כמו כן, בכל קטע שאינו מכיל את $0$ מתקיים $\int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C$; בתחום החיובי מתקבל $\ln x+C$, ובתחום השלילי מתקבל $\ln(-x)+C$.