התכנסות של אינטגרלים מוכללים

אינטגרל מוכלל מרחיב את מושג האינטגרל המסוים לשני מצבים שבהם התנאים הרגילים אינם מתקיימים: תחום אינטגרציה אינסופי, או פונקציה שיש לה סינגולריות סופית בתוך התחום או בקצהו. הרעיון המרכזי הוא להחליף את האינטגרל הבעייתי בגבול של אינטגרלים רגילים על תחומים מוגבלים, ולבדוק אם הגבול הזה קיים וסופי.

תחום אינסופי וסינגולריות סופית

אינטגרל מסוים רגיל מוגדר כאשר תחום האינטגרציה הוא קטע סגור ומוגבל, והפונקציה חסומה בו. בפועל נדרשים גם לחשב גדלים מצטברים כאשר אחד מקצוות התחום הוא אינסוף, או כאשר הפונקציה אינה מוגדרת בנקודה מסוימת בתחום.

תחום אינסופי הוא תחום אינטגרציה שאינו מוגבל, כגון $[a,\infty)$, $(-\infty,b]$ או $(-\infty,\infty)$. לדוגמה, השטח שמתחת לגרף $f(x)=\frac{1}{x^2}$ מעל ציר $x$ מ־$x=1$ עד אינסוף הוא שאלה של אינטגרל בתחום אינסופי.

סינגולריות סופית היא נקודה $c$ שבה הפונקציה אינה מוגדרת או אינה חסומה, ולכן הגרף עשוי להתקרב לאסימפטוטה אנכית. לדוגמה, לפונקציה $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ יש סינגולריות ב־$x=0$, כי הפונקציה אינה מוגדרת שם וערכיה גדלים ללא חסם כאשר $x$ שואף ל־$0$ מימין.

ההבחנה בין תחום אינסופי לבין סינגולריות סופית חשובה, כי לכל מצב יש דרך גבול מתאימה. במקרים רבים מופיעות שתי בעיות יחד, ולכן יש לזהות תחילה את כל הנקודות הבעייתיות.

הגדרה באמצעות גבול

כאשר תחום האינטגרציה אינסופי, האינטגרל אינו מחושב ישירות אלא מוגדר כגבול של אינטגרלים על קטעים סופיים. עבור תחום ימיני אינסופי מגדירים:

$$\int_a^\infty f(x)\,dx=\lim_{t\to\infty}\int_a^t f(x)\,dx$$

אם הגבול קיים וסופי, אומרים שהאינטגרל מתכנס, וערכו הוא ערך הגבול. אם הגבול אינו קיים או שהוא אינסופי, אומרים שהאינטגרל מתבדר.

עבור תחום שמאלי אינסופי ההגדרה היא:

$$\int_{-\infty}^b f(x)\,dx=\lim_{t\to-\infty}\int_t^b f(x)\,dx$$

כאשר שני הקצוות אינסופיים, אין מסתפקים בגבול אחד משותף. מגדירים את האינטגרל כסכום של שני אינטגרלים, ודורשים ששניהם יתכנסו:

$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx= \int_{-\infty}^{c} f(x)\,dx+\int_{c}^{\infty} f(x)\,dx$$

כאשר $c$ היא נקודת ביניים כלשהי. אם אחד משני החלקים מתבדר, האינטגרל כולו מתבדר.

כאשר קיימת סינגולריות סופית בקצה התחום, עוברים לגבול מצד אחד. לדוגמה, אם $f$ אינה חסומה ליד $a$ מימין, מגדירים:

$$\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{t\to a^+}\int_t^b f(x)\,dx$$

דוגמה לתחום אינסופי: נחשב את

$$\int_1^\infty \frac{2}{x^3}\,dx$$

נחשב תחילה על הקטע הסופי $[1,t]$:

$$\int_1^t \frac{2}{x^3}\,dx= \left[-\frac{1}{x^2}\right]_1^t = -\frac{1}{t^2}+1$$

כעת נעביר לגבול:

$$\lim_{t\to\infty}\left(1-\frac{1}{t^2}\right)=1$$

לכן האינטגרל מתכנס וערכו $1$.

לעומת זאת, האינטגרל

$$\int_1^\infty \frac{1}{x}\,dx$$

מתבדר, כי:

$$\int_1^t \frac{1}{x}\,dx=\ln t$$

וכאשר $t\to\infty$, גם $\ln t\to\infty$.

דוגמה לסינגולריות סופית: נחשב את

$$\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$$

הנקודה $x=0$ אינה בתחום ההגדרה, ולכן מגדירים:

$$\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx = \lim_{t\to 0^+}\int_t^1 x^{-1/2}\,dx$$

נחשב:

$$\int_t^1 x^{-1/2}\,dx= \left[2\sqrt{x}\right]_t^1 = 2-2\sqrt{t}$$

ולכן:

$$\lim_{t\to 0^+}(2-2\sqrt{t})=2$$

לכן האינטגרל מתכנס וערכו $2$.

פיצול נקודות בעייתיות

כאשר בתחום האינטגרציה יש יותר מנקודה בעייתית אחת, אין מנסים לחשב את האינטגרל כולו בבת אחת. יש לפצל אותו לסכום של אינטגרלים, כך שבכל חלק תופיע לכל היותר נקודה בעייתית אחת בקצה.

אם $c$ היא סינגולריות פנימית בתוך הקטע $(a,b)$, מגדירים:

$$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{t\to c^-}\int_a^t f(x)\,dx + \lim_{s\to c^+}\int_s^b f(x)\,dx$$

האינטגרל המקורי מתכנס אם ורק אם שני הגבולות קיימים וסופיים. אם אחד מהם מתבדר, האינטגרל כולו מתבדר.

כאשר יש גם תחום אינסופי וגם סינגולריות סופית, למשל:

$$\int_0^\infty f(x)\,dx$$

נהוג לפצל בנקודת ביניים נוחה, כגון $1$:

$$\int_0^\infty f(x)\,dx = \int_0^1 f(x)\,dx+\int_1^\infty f(x)\,dx$$

החלק הראשון בודק את הסינגולריות ליד $0$, והחלק השני בודק את ההתנהגות באינסוף. שני החלקים חייבים להתכנס כדי שהאינטגרל כולו יתכנס.

לדוגמה, האינטגרל

$$\int_0^\infty \frac{1}{x^2}\,dx$$

מתבדר, כי כבר החלק

$$\int_0^1 \frac{1}{x^2}\,dx$$

מתבדר בשל הסינגולריות ליד $0$. לכן אין צורך לבדוק את החלק עד אינסוף כדי להסיק שהאינטגרל כולו מתבדר.

אינטגרלי p

אינטגרלי p הם משפחת אינטגרלים בסיסית המשמשת להשוואה ולבדיקת התכנסות. הם מופיעים בשתי צורות עיקריות: תחום אינסופי וסינגולריות סופית.

הצורה הראשונה היא:

$$\int_1^\infty \frac{1}{x^p}\,dx$$

היא מתכנסת אם ורק אם $p>1$. במקרה זה ערכה הוא:

$$\frac{1}{p-1}$$

הצורה השנייה היא:

$$\int_0^1 \frac{1}{x^p}\,dx$$

היא מתכנסת אם ורק אם $p<1$. במקרה זה ערכה הוא:

$$\frac{1}{1-p}$$

צורת האינטגרל	תנאי התכנסות	ערך במקרה של התכנסות
$\int_1^\infty \frac{1}{x^p}\,dx$	$p>1$	$\frac{1}{p-1}$
$\int_0^1 \frac{1}{x^p}\,dx$	$p<1$	$\frac{1}{1-p}$

כדי להבין את ההתנהגות בתחום אינסופי, נחשב עבור $p\neq 1$:

$$\int_1^t x^{-p}\,dx = \left[\frac{x^{1-p}}{1-p}\right]_1^t = \frac{t^{1-p}-1}{1-p}$$

אם $p>1$, אז $1-p<0$, ולכן $t^{1-p}\to 0$ כאשר $t\to\infty$. לכן מתקבל גבול סופי. אם $p<1$, אז $1-p>0$, ולכן $t^{1-p}\to\infty$, והאינטגרל מתבדר. עבור $p=1$ מתקבל:

$$\int_1^t \frac{1}{x}\,dx=\ln t$$

וגם כאן הגבול אינסופי.

בצורה של סינגולריות ב־$0$, נחשב עבור $p\neq 1$:

$$\int_t^1 x^{-p}\,dx = \left[\frac{x^{1-p}}{1-p}\right]_t^1 = \frac{1-t^{1-p}}{1-p}$$

אם $p<1$, אז $1-p>0$, ולכן $t^{1-p}\to 0$ כאשר $t\to 0^+$, ומתקבל גבול סופי. אם $p\geq 1$, האינטגרל מתבדר.

דוגמאות:

$$\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx$$

מתכנס, כי כאן $p=2>1$, וערכו הוא:

$$\frac{1}{2-1}=1$$

לעומת זאת:

$$\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$$

מתכנס, כי כאן $p=\frac{1}{2}<1$, וערכו הוא:

$$\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$$

![תרשים במערכת צירים: גרף הפונקציה f(x)=1/√x בקטע 01$. לכן גם האינטגרל הנתון מתכנס.

דוגמה להתבדרות: נבדוק את

$$\int_1^\infty \frac{1}{x+1}\,dx$$

עבור $x\geq 1$ מתקיים $x+1\leq 2x$, ולכן:

$$\frac{1}{x+1}\geq \frac{1}{2x}$$

האינטגרל

$$\int_1^\infty \frac{1}{2x}\,dx$$

מתבדר, כי הוא כפולה קבועה של $\int_1^\infty \frac{1}{x}\,dx$. לכן גם האינטגרל הנתון מתבדר.

מבחן השוואה גבולי

כאשר אי־השוויון הישיר אינו נוח, משתמשים בהתנהגות היחסית של הפונקציות ליד הנקודה הבעייתית. נניח ש־$f$ ו־$g$ אי־שליליות, ו־$g$ אינה מתאפסת בסביבה הרלוונטית. בודקים את הגבול:

$$L=\lim \frac{f(x)}{g(x)}$$

כאשר הגבול נלקח לקראת הנקודה הבעייתית: $x\to\infty$ בתחום אינסופי, או $x\to c$ ליד סינגולריות סופית.

אם $0<L<\infty$, אז לשני האינטגרלים יש אופי התכנסות זהה: שניהם מתכנסים יחד או שניהם מתבדרים יחד.

אם $L=0$, אז $f$ קטנה מסדר גודל של $g$. במקרה זה, אם $\int g(x)\,dx$ מתכנס, גם $\int f(x)\,dx$ מתכנס.

אם $L=\infty$, אז $f$ גדולה מסדר גודל של $g$. במקרה זה, אם $\int g(x)\,dx$ מתבדר, גם $\int f(x)\,dx$ מתבדר.

דוגמה: נבדוק את

$$\int_1^\infty \frac{3x+2}{x^3+1}\,dx$$

נשווה לפונקציה

$$g(x)=\frac{1}{x^2}$$

נחשב את הגבול:

$$\lim_{x\to\infty} \frac{\frac{3x+2}{x^3+1}}{\frac{1}{x^2}} = \lim_{x\to\infty} \frac{(3x+2)x^2}{x^3+1} = \lim_{x\to\infty} \frac{3x^3+2x^2}{x^3+1} =3$$

קיבלנו $L=3$, כלומר הפונקציה הנתונה מתנהגת באינסוף כמו $\frac{1}{x^2}$. מכיוון ש־

$$\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx$$

מתכנס, גם האינטגרל הנתון מתכנס.

בסינגולריות סופית משתמשים באותו עיקרון, אך הגבול נלקח לקראת הנקודה שבה הפונקציה אינה חסומה. לדוגמה, ליד $x=0$ הפונקציה

$$\frac{1}{\sqrt{x+x^2}}$$

מתנהגת כמו $\frac{1}{\sqrt{x}}$, כי:

$$\lim_{x\to 0^+} \frac{\frac{1}{\sqrt{x+x^2}}}{\frac{1}{\sqrt{x}}} = \lim_{x\to 0^+} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+x^2}} = \lim_{x\to 0^+} \frac{1}{\sqrt{1+x}} =1$$

מכיוון ש־

$$\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$$

מתכנס, גם האינטגרל של $\frac{1}{\sqrt{x+x^2}}$ מ־$0$ עד $1$ מתכנס.