לוגריתמים ומעריכים ככלי חישובי

הפעולה הלוגריתמית והפעולה המעריכית הן פעולות הפוכות, והקשר ביניהן מאפשר לעבור ממשוואות של כפל וגידול לביטויים של סכום והפרש. בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, הפונקציות exp ו-ln משמשות ככלים מרכזיים משום שהנגזרת והאינטגרל שלהן שומרים על אותה צורה פונקציונלית. לצד הנוסחאות נדרשת הקפדה על תחום ההגדרה, ובמיוחד על שימוש בערך מוחלט כאשר הביטוי שבתוך הלוגריתם אינו חיובי מראש.

חוקי חזקות כבסיס ללוגריתמים

לפני הגדרת הלוגריתם נזכיר את חוקי החזקות עבור בסיס חיובי $a>0$ ומעריכים ממשיים $r,s$:

• $a^{r+s}=a^r a^s$
• $a^{r-s}=\dfrac{a^r}{a^s}$
• $(a^r)^s=a^{rs}$
• $(ab)^r=a^r b^r$
• $a^0=1$, $a^1=a$

הלוגריתם מוגדר כך: אם $a^x=b$, אז $\log_a b=x$. כלומר, הלוגריתם הוא המעריך שיש להעלות בו את הבסיס $a$ כדי לקבל את $b$. ההגדרה תקפה רק כאשר $a>0$, $a\neq 1$ וגם $b>0$. לדוגמה, $\log_2 8=3$, כי $2^3=8$.

חוקי הלוגריתמים והקשר שלהם לחוקי החזקות

חוקי הלוגריתמים הם תרגום של חוקי החזקות לשפת המעריכים. עבור בסיס $a>0$, $a\neq 1$, ועבור ביטויים חיוביים שבהם הלוגריתם מוגדר:

• $\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$
• $\log_a\left(\dfrac{x}{y}\right)=\log_a x-\log_a y$
• $\log_a(x^r)=r\log_a x$
• $\log_a a=1$, $\log_a 1=0$

דוגמה:

$\log_3(27\cdot 9)=\log_3 27+\log_3 9=3+2=5$

את החוק הראשון אפשר להבין ישירות מהגדרת הלוגריתם: אם $\log_a x=r$ וגם $\log_a y=s$, אז $x=a^r$ ו-$y=a^s$. לכן $xy=a^r a^s=a^{r+s}$, ומכאן ש-$\log_a(xy)=r+s$.

לעיתים נוח להשתמש בלוגריתם טבעי, שבו הבסיס הוא $e$. במקרה זה מסמנים $\ln x=\log_e x$. נוסחת מעבר הבסיס היא:

$\log_a b=\frac{\ln b}{\ln a}$

למשל:

$\log_2 8=\frac{\ln 8}{\ln 2}=3$

חשוב להבחין שהזהות $\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$ נכונה רק כאשר $x>0$ וגם $y>0$. אם שני המספרים שליליים, המכפלה חיובית ולכן האגף השמאלי עשוי להיות מוגדר, אך האגף הימני אינו מוגדר בממשיים. לדוגמה, $\log_2((-3)(-4))=\log_2 12$ מוגדר, אבל $\log_2(-3)+\log_2(-4)$ אינו מוגדר. כאשר רוצים זהות שתהיה תקפה גם לביטויים שאינם חיוביים, משתמשים בערך מוחלט:

$\ln|xy|=\ln|x|+\ln|y|$

עבור $x\neq 0$, $y\neq 0$.

באותו אופן, אין לפרק לוגריתם של סכום: $\log_a(x+y)$ אינו שווה ל-$\log_a x+\log_a y$. הזהויות הלוגריתמיות מתייחסות למכפלה, למנה ולחזקה בלבד.

הפונקציה המעריכית והפונקציה הלוגריתמית הטבעית

הפונקציה המעריכית הטבעית היא $\exp(x)=e^x$. היא מוגדרת לכל $x$ ממשי, וערכיה חיוביים תמיד. הפונקציה הלוגריתמית הטבעית היא $\ln x$, והיא מוגדרת רק עבור $x>0$. שתי הפונקציות הן הפוכות זו לזו:

• $\ln(e^x)=x$ לכל $x$
• $e^{\ln x}=x$ לכל $x>0$

ההרכבה הזו היא הבסיס לפתרון משוואות ולמעבר בין צורת מעריך לצורת לוגריתם. אם $e^x=7$, למשל, נפעיל $\ln$ על שני האגפים ונקבל $x=\ln 7$. אם $\ln x=2$, נפעיל את הפונקציה המעריכית ונקבל $x=e^2$.

נגזרות של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות

הנגזרת של הפונקציה המעריכית הטבעית שווה לעצמה:

$(e^x)'=e^x$

באמצעות כלל השרשרת, אם $u(x)$ פונקציה גזירה, אז:

$(e^{u(x)})'=u'(x)e^{u(x)}$

דוגמה: אם $f(x)=e^{3x}$, אז $f'(x)=3e^{3x}$. אם $f(x)=e^{x^2}$, אז $f'(x)=2x e^{x^2}$.

עבור בסיס כללי $a>0$, $a\neq 1$, מתקיים:

$(a^x)'=a^x\ln a$

הנגזרת של הלוגריתם הטבעי היא:

$(\ln x)'=\frac{1}{x}$

עבור $x>0$. ובכלל השרשרת:

$(\ln u(x))'=\frac{u'(x)}{u(x)}$

כאשר $u(x)>0$.

דוגמה: אם $g(x)=\ln(x^2+1)$, אז:

$g'(x)=\frac{2x}{x^2+1}$

כאן אין צורך בערך מוחלט משום ש-$x^2+1$ חיובי לכל $x$.

הנגזרת של לוגריתם בבסיס כללי מתקבלת ממעבר הבסיס:

$(\log_a x)'=\frac{1}{x\ln a}$

למשל:

$(\log_2 x)'=\frac{1}{x\ln 2}$

לעומת זאת, אם נגזור את $\ln|x|$, נקבל:

$(\ln|x|)'=\frac{1}{x}$

עבור $x\neq 0$. הסיבה היא שעבור $x>0$ מתקיים $\ln|x|=\ln x$, ועבור $x<0$ מתקיים $\ln|x|=\ln(-x)$, ובשני המקרים הנגזרת היא $\frac{1}{x}$.

אינטגרלים של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות

האינטגרל של הפונקציה המעריכית הטבעית שומר על אותה צורה:

$\int e^x\,dx=e^x+C$

באמצעות כלל ההצבה, עבור קבוע $m\neq 0$:

$\int e^{mx}\,dx=\frac{1}{m}e^{mx}+C$

דוגמה:

$\int e^{2x}\,dx=\frac{1}{2}e^{2x}+C$

בנוסף, כאשר מופיעה נגזרת פנימית, מתקיים:

$\int e^{u(x)}u'(x)\,dx=e^{u(x)}+C$

למשל:

$\int 2x e^{x^2}\,dx=e^{x^2}+C$

עבור בסיס כללי:

$\int a^x\,dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$

כאשר $a>0$, $a\neq 1$.

האינטגרל היסודי הקשור ל-$\ln$ הוא:

$\int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C$

עבור $x\neq 0$. הערך המוחלט הכרחי כאן: הפונקציה $\frac{1}{x}$ מוגדרת גם עבור $x<0$, אך $\ln x$ אינו מוגדר שם. לכן האינטגרל הלא מסוים על קטע שאינו כולל את האפס נכתב עם $\ln|x|$.

באופן דומה, עבור ביטוי ליניארי $ax+b$ עם $a\neq 0$:

$\int \frac{1}{ax+b}\,dx=\frac{1}{a}\ln|ax+b|+C$

דוגמה:

$\int \frac{1}{2x+5}\,dx=\frac{1}{2}\ln|2x+5|+C$

אם במקום זאת נכתוב $\ln(2x+5)$ בלי ערך מוחלט, נגביל את התוצאה לתחום שבו $2x+5>0$ בלבד.

האינטגרל של הפונקציה הלוגריתמית עצמה מתקבל באינטגרציה בחלקים:

$\int \ln x\,dx=x\ln x-x+C$

עבור $x>0$. אם נגזור את $x\ln x-x$, נקבל:

$\ln x+x\cdot \frac{1}{x}-1=\ln x+1-1=\ln x$

ולכן זהו אכן האינטגרל.

התאמת תחום ושימוש בערך מוחלט

הכלל המעשי בעבודה עם לוגריתמים הוא: תחילה בודקים היכן הביטוי שבתוך הלוגריתם מוגדר, ורק אחר כך משתמשים בזהויות. עבור $\ln$, הדרישה היא שהארגומנט יהיה חיובי ממש. לכן, למשל, תחום ההגדרה של $f(x)=\ln(x^2-4)$ הוא:

$x^2-4>0$

כלומר $x<-2$ או $x>2$. לעומת זאת, הפונקציה $g(x)=\ln|x^2-4|$ מוגדרת בכל מקום שבו $x^2-4\neq 0$, כלומר $x\neq \pm 2$.

ההבדל הזה חשוב גם בגזירה וגם באינטגרציה. הזהות השימושית לאינטגרל היא:

$\int \frac{u'(x)}{u(x)}\,dx=\ln|u(x)|+C$

והיא תקפה בכל קטע שבו $u(x)\neq 0$. לדוגמה:

$\int \frac{2x}{x^2-1}\,dx=\ln|x^2-1|+C$

אם נרצה לתאר את האינטגרל בתחום שבו $x^2-1>0$, אפשר לכתוב $\ln(x^2-1)+C$. בתחום שבו $x^2-1<0$, נוח לכתוב $\ln(1-x^2)+C$ או להשאיר את הצורה עם הערך המוחלט. אם התחום מורכב מכמה קטעים נפרדים, קבוע האינטגרציה עשוי להיות שונה בכל קטע, משום שהפונקציה אינה מוגדרת בנקודות המפרידות ביניהם.

זהות דומה מופיעה בפישוט לוגריתמים. עבור $x\neq 0$ מתקיים:

$\ln(x^2)=2\ln|x|$

אין לכתוב $\ln(x^2)=2\ln x$ בלי לבדוק תחום, כי הביטוי $2\ln x$ מוגדר רק עבור $x>0$, בעוד $\ln(x^2)$ מוגדר גם עבור $x<0$. לכן, בעבודה אקדמית מדויקת, יש להבחין בין הזהות על תחום חיובי לבין הזהות הכללית עם ערך מוחלט.

גזירה לוגריתמית ככלי חישובי

כאשר פונקציה כוללת מכפלות, מנות או חזקות של ביטויים חיוביים, נוח להשתמש בלוגריתם לפני הגזירה. השיטה נקראת גזירה לוגריתמית: לוקחים $\ln$ של שני האגפים, משתמשים בחוקי הלוגריתמים כדי להפוך מכפלות לסכומים, וגוזרים.

דוגמה קצרה: נתונה הפונקציה $y=x^x$ עבור $x>0$. ניקח לוגריתם טבעי:

$\ln y=x\ln x$

נגזור את שני האגפים לפי $x$:

$\frac{y'}{y}=\ln x+1$

נכפיל ב-$y$:

$y'=x^x(\ln x+1)$

הדוגמה מראה כיצד חוקי הלוגריתמים הופכים גזירה של ביטוי מעריכי מורכב לחישוב קצר של נגזרת.