כלל לופיטל והצורות הלא־קבועות

בחשבון דיפרנציאלי, גבולות של מנות, מכפלות או חזקות עשויים להוביל לביטויים שהצבה ישירה אינה מכריעה אותם. ביטויים כאלה נקראים צורות לא־קבועות, והם מחייבים ניתוח של קצבי השאיפה של הפונקציות. השיעור מתמקד בכלל לופיטל לצורות $0/0$ ו־$\infty/\infty$, ובטכניקות המרה שמאפשרות להביא מכפלות, הפרשים וחזקות לצורות אלה, תוך בדיקת תנאי הכלל ובחירת דרך יעילה.

הצורות הבסיסיות: $0/0$ ו־$\infty/\infty$

צורה לא־קבועה מסוג $0/0$ מתקבלת כאשר $f(x)\to 0$ וגם $g(x)\to 0$, ואנו בוחנים את הגבול של $\frac{f(x)}{g(x)}$. צורה לא־קבועה מסוג $\infty/\infty$ מתקבלת כאשר $|f(x)|\to\infty$ וגם $|g(x)|\to\infty$. בשני המקרים, היחס בין קצבי השאיפה הוא שקובע את הגבול, ולכן דרוש כלל חישובי נוסף.

כלל לופיטל: יהיו $f$ ו־$g$ גזירות בסביבה מנוקבת של $a$, או בסביבה מתאימה כאשר הגבול הוא באינסוף, ונניח כי $g'(x)\ne 0$ באותה סביבה. אם מתקיים אחד משני התנאים:

• $f(x)\to 0$ וגם $g(x)\to 0$;
• $f(x)\to\pm\infty$ וגם $g(x)\to\pm\infty$;

ואם קיים הגבול של $\frac{f'(x)}{g'(x)}$, סופי או אינסופי, אז

$$\lim \frac{f(x)}{g(x)}=\lim \frac{f'(x)}{g'(x)}.$$

הכלל תקף גם לגבולות חד־צדדיים. הסימון $\infty$ מתייחס גם ל־$+\infty$ וגם ל־$-\infty$, ויש לעקוב אחר הסימנים המתקבלים.

דוגמה לצורת $0/0$: נחשב את $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}$. הצבה נותנת $0/0$. שתי הפונקציות גזירות, נגזרת המכנה היא $1$, ולכן מנת הנגזרות היא $\frac{\cos x}{1}$. מכיוון ש־$\cos x\to 1$, הגבול הוא $1$.

דוגמה לצורת $\infty/\infty$: נחשב את $\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x}$. הצבה נותנת $\infty/\infty$. נגזור מונה ומכנה ונקבל $\frac{1/x}{1}=\frac{1}{x}$, ושואף ל־$0$. לכן הגבול הוא $0$.

המרת מכפלה מהצורה $0\cdot\infty$ למנה

מכפלה $f(x)g(x)$ שבה אחד הגורמים שואף ל־$0$ והאחר שואף ל־$\infty$ היא צורה לא־קבועה, משום שאין לדעת מראש אם הגבול יהיה $0$, אינסוף, מספר סופי, או שלא יתקיים. כדי להפעיל את כלל לופיטל, ממירים את המכפלה למנה:

f(x)g(x)=\frac{f(x)}{1/g(x)} \quadאו\quad f(x)g(x)=\frac{g(x)}{1/f(x)}.

הבחירה בין שתי האפשרויות נעשית לפי הפשטות של הנגזרות שיתקבלו. אם הבחירה הראשונה מובילה לנגזרות מסובכות, כדאי לנסות את ההמרה השנייה. כאשר אחד הגורמים הוא פונקציה לוגריתמית, נוח לעיתים קרובות להשאיר אותה במונה, משום שנגזרתה פשוטה.

דוגמה: נחשב את $\lim_{x\to 0^+}x\ln x$. הצבה ישירה נותנת $0\cdot(-\infty)$. נכתוב את הביטוי כ־$\frac{\ln x}{1/x}$. כאשר $x\to 0^+$, המונה שואף ל־$-\infty$ והמכנה שואף ל־$\infty$, ולכן מתקבלת צורת $\infty/\infty$. נגזור מונה ומכנה:

$$\frac{1/x}{-1/x^2}=-x.$$

כאשר $x\to 0^+$, הביטוי $-x$ שואף ל־$0$. לכן הגבול המקורי הוא $0$.

המרת הפרש מהצורה $\infty-\infty$ למנה

הפרש $f(x)-g(x)$ שבו שני האיברים שואפים ל־$\infty$, או שניהם ל־$-\infty$, הוא צורה לא־קבועה. גם כאן ההפרש עצמו אינו מספיק, משום ששני האיברים עשויים לבטל זה את הזה באופן מלא, חלקי, או לא לבטל כלל. את ההפרש נהפוך למנה באמצעות מכנה משותף, הכפלה בצמוד, או פירוק אלגברי.

אם ההפרש הוא בין שני שברים, מכנה משותף הוא לרוב הדרך הישירה. אם הוא כולל שורשים, הכפלה בצמוד היא לרוב יעילה. אם הוא כולל פונקציות מעריכיות או לוגריתמיות, נחפש פירוק או הוצאת גורם משותף.

דוגמה: נחשב את $\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)$. הצבה נותנת $\infty-\infty$. נכפיל ונחלק בצמוד:

$$\sqrt{x^2+x}-x = \frac{(\sqrt{x^2+x}-x)(\sqrt{x^2+x}+x)}{\sqrt{x^2+x}+x} = \frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}.$$

כעת נחלק מונה ומכנה ב־$x$:

$$\frac{1}{\sqrt{1+1/x}+1}.$$

כאשר $x\to\infty$, $1/x\to 0$, ולכן המכנה שואף ל־$2$ והגבול הוא $\frac12$. בדוגמה זו ההמרה האלגברית קצרה וברורה יותר מהפעלת לופיטל ישירה על ההפרש.

חזקות לא־קבועות: $0^0$, $1^\infty$, $\infty^0$

כאשר הביטוי הוא מהצורה $f(x)^{g(x)}$, שלוש צורות לא־קבועות נפוצות הן:

• $0^0$: הבסיס שואף ל־$0$ והמעריך שואף ל־$0$;
• $1^\infty$: הבסיס שואף ל־$1$ והמעריך שואף ל־$\infty$;
• $\infty^0$: הבסיס שואף ל־$\infty$ והמעריך שואף ל־$0$.

השיטה היא מעבר ללוגריתם. נסמן $y=f(x)^{g(x)}$. אם הפונקציה חיובית בסביבת הגבול, אז

$$\ln y = g(x)\ln f(x).$$

נחשב את הגבול של המעריך, שהוא מכפלה מהצורה $0\cdot\infty$, לאחר המרה למנה. אם התקבל גבול סופי $L$, אז הגבול של הביטוי המקורי הוא $e^L$. אם המעריך שואף ל־$+\infty$, אז $y\to\infty$; אם המעריך שואף ל־$-\infty$, אז $y\to 0$.

דוגמה לצורת $0^0$: נחשב את $\lim_{x\to 0^+}x^x$. הצבה נותנת $0^0$. נסמן $y=x^x$, ולכן $\ln y=x\ln x$. מהדוגמה הקודמת ידוע ש־$x\ln x\to 0$. לכן $\ln y\to 0$, ומכאן $y\to e^0=1$.

דוגמה לצורת $1^\infty$: נחשב את $\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac1x\right)^x$. נסמן $y=\left(1+\frac1x\right)^x$. אז

$$\ln y=x\ln\left(1+\frac1x\right) = \frac{\ln(1+1/x)}{1/x}.$$

כאשר $x\to\infty$, המונה והמכנה שואפים ל־$0$, ולכן זו צורת $0/0$. נגזור מונה ומכנה:

$$\frac{\frac{-1}{x^2(1+1/x)}}{-1/x^2} = \frac{1}{1+1/x} \to 1.$$

לכן $\ln y\to 1$, ומכאן $y\to e$.

בדיקת תנאי כלל לופיטל

הכלל אינו הוראה לגזור כל ביטוי שבו מופיעים $0$ או $\infty$. לפני הפעלה יש לבדוק שלושה עניינים מרכזיים:

1. אכן מתקבלת צורה לא־קבועה מהסוגים $0/0$ או $\infty/\infty$, לאחר הצבה או לאחר המרה מוצלחת.
2. הפונקציות במונה ובמכנה גזירות בסביבה המתאימה, ונגזרת המכנה אינה מתאפסת שם.
3. קיים הגבול של מנת הנגזרות. אם מנת הנגזרות אינה שואפת לגבול, אין להסיק מכך שהגבול המקורי אינו קיים; פשוט לא התקיים תנאי הכלל.

אם לאחר הפעלה אחת מתקבלת שוב צורה לא־קבועה, מותר להפעיל את הכלל שוב, ובלבד שהתנאים מתקיימים בכל שלב. לעומת זאת, אם הפונקציות אינן גזירות בסביבה הנדרשת, או אם נגזרת המכנה מתאפסת לסירוגין בכל סביבה של נקודת הגבול, אין להפעיל את הכלל בלי בדיקה נוספת.

דוגמה לבדיקת תנאים: נבחן את $\lim_{x\to\infty}\frac{x+\sin x}{x}$. מכיוון ש־$x+\sin x\to\infty$ וגם $x\to\infty$, מתקבלת צורת $\infty/\infty$, ולכן נראה שאפשר להפעיל את הכלל. מנת הנגזרות היא $\frac{1+\cos x}{1}$, אך היא מתנודדת בין $0$ ל־$2$ ואין לה גבול. מכאן שאין להשתמש במסקנת הכלל. לעומת זאת, אפשר לחשב ישירות:

$$\frac{x+\sin x}{x}=1+\frac{\sin x}{x}.$$

מכיוון ש־$\sin x$ חסום ו־$x\to\infty$, הביטוי $\frac{\sin x}{x}\to 0$, ולכן הגבול הוא $1$. הדוגמה מראה שגבול מקורי יכול להתקיים גם כאשר מנת הנגזרות חסרת גבול.

בחירת חלופה יעילה

כלל לופיטל יעיל כאשר הנגזרות פשוטות ומספר ההפעלות נשאר קטן. אם ההפעלה יוצרת נגזרות מסובכות, שברים בתוך שברים, או צורך בהפעלות חוזרות רבות, כדאי לבחון חלופה: פישוט אלגברי, הכפלה בצמוד, חוקי לוגריתמים, חלוקה בחזקה הגבוהה ביותר, או שימוש בזהויות ידועות.

טבלת החלטה שימושית:

צורה לא־קבועה	מבנה נפוץ	המרה או פעולה	הערה
$0/0$	$f/g$	לופיטל ישירות	אם התנאים מתקיימים
$\infty/\infty$	$f/g$	לופיטל ישירות	לעיתים עדיף לחלק בחזקה הגבוהה
$0\cdot\infty$	$f\cdot g$	$f/(1/g)$ או $g/(1/f)$	לבחור במכנה הפשוט יותר
$\infty-\infty$	$f-g$	מכנה משותף או צמוד	להמיר למנה לפני לופיטל
$0^0$, $1^\infty$, $\infty^0$	$f^g$	$e^{g\ln f}$	לחשב תחילה את גבול המעריך

דוגמה לבחירה בין שיטות: נחשב את $\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}$. הצבה נותנת $0/0$. אפשר להפעיל לופיטל: נגזור מונה ומכנה ונקבל $\frac{1}{2\sqrt{1+x}}\to\frac12$. אפשר גם להכפיל בצמוד:

$$\frac{\sqrt{1+x}-1}{x} = \frac{1}{\sqrt{1+x}+1} \to\frac12.$$

במקרה זה הצמוד קצר ופחות תלוי בגזירה, ולכן הוא חלופה יעילה. לעומת זאת, בגבול כמו $\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{e^x}$ מתקבלת צורת $\infty/\infty$. הפעלה ראשונה של לופיטל נותנת $\frac{2x}{e^x}$, והפעלה שנייה נותנת $\frac{2}{e^x}\to 0$. כאן שתי הפעלות פשוטות מספיקות, ולכן הכלל הוא בחירה טבעית.