מבחני התכנסות מתקדמים

שיעור זה עוסק במבחני התכנסות מתקדמים לטורים אינסופיים, שבהם בדיקה ישירה של הסכומים החלקיים אינה מעשית. הרעיון המרכזי הוא לבחון את קצב הדעיכה של איברי הטור באמצעות גבולות של יחסים, מנות או שורשים, ולהסיק מכך על התכנסות או התבדרות. בהמשך נעבור לטורים שסימניהם מתחלפים, ונבחין בין התכנסות הנובעת מגודל האיברים לבין התכנסות הנובעת מביטול הדדי של סימנים.

השוואת גבולות בין טורים חיוביים

טור חיובי הוא טור שבו האיברים חיוביים, כלומר $a_n>0$, לפחות החל ממקום מסוים ואילך. כאשר רוצים לבדוק התכנסות של טור כזה, לעיתים נוח להשוות אותו לטור ידוע, כגון טור מהצורה $\sum 1/n^p$ או טור הנדסי.

מבחן ההשוואה הגבולי בודק את היחס בין האיבר הכללי של הטור הנתון $a_n$ לבין איבר של טור ידוע $b_n>0$. מגדירים

$L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}.$

אם מתקבל $01$ או שהגבול אינסופי, הטור מתבדר. אם $L=1$, המבחן אינו מכריע.

המשמעות של $L<1$ היא שהאיברים קטנים בערך בקצב גאומטרי: החל ממקום מסוים, כל איבר קטן מקודמו פי קבוע הקטן מ־1. לכן הטור נשלט על ידי טור הנדסי מתכנס. לעומת זאת, אם $L>1$, האיברים אינם קטנים מספיק, ובפרט אינם שואפים לאפס כנדרש להתכנסות.

דוגמה: נבדוק את הטור

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}.$

נחשב את מנת האיברים העוקבים:

$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)/2^{n+1}}{n/2^n} = \frac{n+1}{2n}.$$

לכן

$L=\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2n}=\frac12.$

כיוון ש־$L<1$, הטור מתכנס.

חשוב להדגיש שהמקרה $L=1$ אינו נותן מסקנה. למשל, גם בטור $\sum 1/n$ וגם בטור $\sum 1/n^2$ מנת האיברים העוקבים שואפת ל־1, אך הראשון מתבדר והשני מתכנס. לכן כאשר מבחן המנה נותן גבול שווה ל־1, יש לעבור למבחן אחר.

מבחן המנה יעיל במיוחד כאשר באיבר הכללי מופיעות חזקות מהצורה $c^n$ או עצרות מהצורה $n!$, משום שהמנה בין איברים עוקבים במקרים אלו מתפשטת בצורה נוחה.

מבחן השורש

מבחן השורש מתאים במיוחד כאשר האיבר הכללי של הטור מופיע בחזקה $n$. עבור טור חיובי $\sum a_n$, מגדירים

$L=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}.$

אם $L<1$, הטור מתכנס. אם $L>1$ או שהגבול אינסופי, הטור מתבדר. אם $L=1$, המבחן אינו מכריע.

המשמעות של $L<1$ היא שהאיבר $a_n$ מתנהג בערך כמו חזקה של מספר הקטן מ־1. במקרה כזה האיברים קטנים מהר מספיק כדי לאפשר התכנסות.

דוגמה: נבדוק את הטור

$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2n}{3n+1}\right)^n.$

כאן נוח להוציא שורש מסדר $n$:

$\sqrt[n]{a_n}=\frac{2n}{3n+1}.$

לכן

$L=\lim_{n\to\infty}\frac{2n}{3n+1}=\frac23.$

כיוון ש־$L<1$, הטור מתכנס.

גם במבחן השורש, המקרה $L=1$ אינו מכריע. למשל, עבור $\sum 1/n$ ועבור $\sum 1/n^2$ מתקבל

$\sqrt[n]{a_n}\to 1,$

אך הטור הראשון מתבדר והשני מתכנס. לכן כאשר השורש שואף ל־1, אין להסיק מסקנה מהמבחן בלבד.

טורים לסירוגין ומבחן לייבניץ

טור לסירוגין הוא טור שסימני איבריו מתחלפים, למשל

$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}b_n,$

כאשר $b_n>0$. בטור כזה הסימן משתנה מאיבר לאיבר: איבר אחד חיובי, הבא אחריו שלילי, ולאחר מכן שוב חיובי.

מבחן לייבניץ נותן תנאי מספיק להתכנסות של טור לסירוגין. אם הסדרה $b_n$ יורדת, לפחות החל ממקום מסוים, ושואפת לאפס, כלומר

$b_{n+1}\le b_n$

וגם

$\lim_{n\to\infty}b_n=0,$

אז הטור הלסירוגין מתכנס.

דוגמה: הטור ההרמוני המתחלף

$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac1n$

מתכנס לפי מבחן לייבניץ. כאן

$b_n=\frac1n,$

והסדרה $1/n$ יורדת ושואפת לאפס. לכן הטור עצמו מתכנס.

עם זאת, חשוב להבחין בין הטור עצמו לבין טור הערכים המוחלטים שלו. עבור הטור ההרמוני המתחלף, טור הערכים המוחלטים הוא

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac1n,$

והוא מתבדר. לכן הטור ההרמוני המתחלף הוא דוגמה מרכזית לטור שמתכנס, אך לא מתכנס בזכות גודל איבריו בלבד.

התכנסות מוחלטת והתכנסות מותנית

כדי להעריך את חוזקה של התכנסות טור כללי $\sum a_n$, בודקים את טור הערכים המוחלטים שלו:

$\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|.$

טור $\sum a_n$ נקרא מתכנס בהחלט אם טור הערכים המוחלטים $\sum |a_n|$ מתכנס. טור נקרא מתכנס מותנית אם הוא עצמו מתכנס, אך טור הערכים המוחלטים שלו מתבדר.

הכלל המרכזי הוא שהתכנסות מוחלטת גוררת התכנסות רגילה. כלומר, אם $\sum |a_n|$ מתכנס, אז גם $\sum a_n$ מתכנס. הסיבה היא שהערכים המוחלטים שולטים בגודל האיברים, ולכן אין תלות עדינה בביטול בין סימנים חיוביים ושליליים.

דוגמה להתכנסות מוחלטת: נבדוק את הטור

$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{n}{2^n}.$

טור הערכים המוחלטים שלו הוא

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}.$

כפי שראינו במבחן המנה, טור זה מתכנס כי מנת האיברים העוקבים שואפת ל־$1/2$. לכן הטור המקורי מתכנס בהחלט.

דוגמה נוספת להתכנסות מוחלטת היא

$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n^2}.$

טור הערכים המוחלטים הוא $\sum 1/n^2$, והוא מתכנס. לכן גם הטור המקורי מתכנס בהחלט.

לעומת זאת, הטור

$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac1n$

מתכנס לפי מבחן לייבניץ, אך טור הערכים המוחלטים שלו, $\sum 1/n$, מתבדר. לכן טור זה מתכנס מותנית. ההתכנסות שלו נובעת מהתחלפות הסימנים, ולא מכך שסדרת הערכים המוחלטים יוצרת טור מתכנס.