מעגל וישר

בשיעור זה נבחן את הקשר הגאומטרי והאלגברי בין מעגל לישר. נלמד לקבוע אם הישר חותך את המעגל, משיק לו או אינו פוגש אותו, בשתי דרכים: השוואת מרחק מרכז המעגל מהישר לרדיוס, ופתרון מערכת משוואות. כמו כן נלמד כיצד מוצאים משוואת משיק בנקודה על המעגל בעזרת תנאי ניצבות, ומה מאפיין מעגל המשיק לצירים.

המצב ההדדי בין מעגל וישר לפי מרחק המרכז מהישר

נתון מעגל שמרכזו $M(a,b)$ ורדיוסו $R$, וישר שמשוואתו $Ax+By+C=0$. המרחק בין מרכז המעגל לישר הוא אורך הקטע המאונך היורד מהמרכז אל הישר, והוא מחושב לפי הנוסחה:

$d=\frac{|Aa+Bb+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

השוואת המרחק $d$ לרדיוס $R$ קובעת את המצב ההדדי:

• אם $d>R$, הישר אינו פוגש את המעגל. כל נקודה על הישר רחוקה מהמרכז יותר מהרדיוס, ולכן אין נקודות משותפות.
• אם $d=R$, הישר משיק למעגל. יש למעגל ולישר נקודה משותפת אחת בלבד, והיא נקודת ההיטל של האנך מהמרכז על הישר.
• אם $d0$, הישר חותך את המעגל בשתי נקודות, והקטע המחבר אותן הוא קוטר.

היתרון בדרך זו הוא שהיא קצרה ואינה מחייבת מציאת נקודות חיתוך. היא מתאימה במיוחד כאשר נדרש רק לזהות את סוג המצב ההדדי.

קביעת המצב ההדדי באמצעות מערכת משוואות

נקודה משותפת למעגל ולישר חייבת לקיים בו־זמנית את משוואת המעגל ואת משוואת הישר. לכן דרך אלגברית לקביעת המצב ההדדי היא לפתור את מערכת המשוואות:

\begin{cases} (x-a)^2+(y-b)^2=R^2 \ משוואת הישר \end{cases}

סדר הפעולות המקובל הוא:

1. מבודדים את $x$ או את $y$ ממשוואת הישר.
2. מציבים את הביטוי במשוואת המעגל.
3. מקבלים משוואה ריבועית במשתנה אחד.
4. בודקים כמה פתרונות ממשיים יש למשוואה.

משמעות מספר הפתרונות:

• שני פתרונות שונים — הישר חותך את המעגל בשתי נקודות.
• פתרון יחיד, כלומר שורש כפול — הישר משיק למעגל, והפתרון הוא שיעור נקודת ההשקה.
• אין פתרון — הישר אינו פוגש את המעגל.

את מספר הפתרונות של המשוואה הריבועית אפשר לבדוק בעזרת הדיסקרימיננטה. אם הדיסקרימיננטה חיובית, יש שני פתרונות; אם היא שווה לאפס, יש פתרון יחיד; אם היא שלילית, אין פתרונות ממשיים.

כאשר הישר אנכי, כלומר משוואתו מהצורה $x=c$, מציבים ישירות $x=c$ במשוואת המעגל ומקבלים משוואה ריבועית ב־$y$. גם כאן מספר הפתרונות קובע את המצב ההדדי.

פתרון מערכת משוואות ארוך יותר מהשוואת $d$ ל־$R$, אך יש לו יתרון חשוב: הוא נותן לא רק את סוג המצב, אלא גם את נקודות החיתוך עצמן. לכן כאשר נדרשות נקודות החיתוך או נקודת ההשקה, דרך זו נוחה יותר.

משיק למעגל בנקודה שעל המעגל כתנאי ניצבות

משיק למעגל בנקודה $P$ הוא ישר העובר דרך $P$ ונוגע במעגל בנקודה זו בלבד. אם $M$ הוא מרכז המעגל, הרדיוס $MP$ מאונך למשיק בנקודת ההשקה. תכונה זו היא הבסיס למציאת משוואת המשיק כאשר הנקודה $P$ נתונה על המעגל.

נניח שמרכז המעגל הוא $M(a,b)$ ונקודת ההשקה היא $P(x_1,y_1)$. שיפוע הרדיוס $MP$ הוא:

$m_{MP}=\frac{y_1-b}{x_1-a}$

כאשר השיפוע מוגדר ושונה מאפס, תנאי הניצבות בין הרדיוס למשיק הוא שמכפלת שיפועיהם שווה ל־$1-$. לכן שיפוע המשיק הוא:

m_{משיק}=-\frac{1}{m_{MP}}

לאחר מציאת שיפוע המשיק, כותבים את משוואת הישר דרך הנקודה $P$:

y-y_1=m_{משיק}(x-x_1)

יש לטפל בנפרד בשני מקרים שבהם שיפוע הרדיוס אינו רגיל:

• אם הרדיוס $MP$ אופקי, כלומר $y_1=b$, שיפועו $0$. המשיק המאונך לו הוא ישר אנכי, ומשוואתו $x=x_1$.
• אם הרדיוס $MP$ אנכי, כלומר $x_1=a$, שיפועו אינו מוגדר. המשיק המאונך לו הוא ישר אופקי, ומשוואתו $y=y_1$.

לפיכך, מציאת משיק בנקודה על המעגל מתבצעת כך: מזהים את מרכז המעגל, מחשבים את שיפוע הרדיוס לנקודה הנתונה, עוברים לשיפוע המאונך, ולבסוף כותבים את משוואת הישר דרך אותה נקודה. תנאי הניצבות מבטיח שהישר שיתקבל הוא אכן המשיק למעגל באותה נקודה.

מעגל המשיק לאחד הצירים

נבחן מעגל שמשוואתו:

$(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$

כאשר מרכזו $(a,b)$ ורדיוסו $R$. ציר $x$ הוא הישר $y=0$, וציר $y$ הוא הישר $x=0$. לכן המרחק של מרכז המעגל מציר $x$ הוא $|b|$, והמרחק מציר $y$ הוא $|a|$.

מעגל משיק לציר $x$ אם ורק אם המרחק ממרכזו לציר $x$ שווה לרדיוס:

$R=|b|$

במצב זה נקודת ההשקה היא $(a,0)$, משום שהיא נמצאת על ציר $x$ ונמצאת בדיוק מתחת למרכז או מעליו. אם המרכז ברביע הראשון או השני, כלומר $b>0$, אז $R=b$. אם המרכז ברביע השלישי או הרביעי, כלומר $b<0$, אז $R=-b$.

מעגל משיק לציר $y$ אם ורק אם:

$R=|a|$

ונקודת ההשקה היא $(0,b)$. אם $a>0$, הרדיוס שווה ל־$a$; אם $a<0$, הרדיוס שווה ל־$-a$.

בתרגילים רבים נתון שהמעגל משיק לאחד הצירים, ובעזרת התנאי הזה אפשר לבטא את הרדיוס באמצעות אחד משיעורי המרכז. לדוגמה, אם מרכז המעגל ברביע הראשון והמעגל משיק לציר $x$, אז שיעור ה־$y$ של המרכז חיובי, ולכן הרדיוס שווה לשיעור ה־$y$ עצמו. אם המעגל משיק לציר $y$ באותו רביע, הרדיוס שווה לשיעור ה־$x$ של המרכז.

מעגל המשיק לשני הצירים

מעגל המשיק גם לציר $x$ וגם לציר $y$ מקיים את שני התנאים:

R=|a| \quad וגם \quad R=|b|

לכן מתקיים:

$|a|=|b|$

משמעות התנאי היא שמרכז המעגל נמצא במרחקים שווים משני הצירים. לכן המרכז חייב להימצא על אחד משני חוצי הזוויות שבין הצירים:

• הישר $y=x$
• הישר $y=-x$

אם נסמן רדיוס חיובי $r$, אז $|a|=|b|=r$. בהתאם לרביע שבו נמצא המרכז, מתקבלות אפשרויות שונות לסימון המרכז:

• ברביע הראשון: המרכז $(r,r)$, ומשוואת המעגל היא $(x-r)^2+(y-r)^2=r^2$.
• ברביע השני: המרכז $(-r,r)$, ומשוואת המעגל היא $(x+r)^2+(y-r)^2=r^2$.
• ברביע השלישי: המרכז $(-r,-r)$, ומשוואת המעגל היא $(x+r)^2+(y+r)^2=r^2$.
• ברביע הרביעי: המרכז $(r,-r)$, ומשוואת המעגל היא $(x-r)^2+(y+r)^2=r^2$.

בכל אחת מהאפשרויות המעגל משיק לציר $x$ ולציר $y$. נקודות ההשקה הן $(a,0)$ ו־$(0,b)$, כלומר הן נמצאות על הצירים באותם שיעורים שמתאימים למרכז. כאשר נתון שמעגל משיק לשני הצירים, התנאי $|a|=|b|$ מאפשר לצמצם את האפשרויות למרכז המעגל ולמצוא את משוואתו מתוך נתונים נוספים, כגון נקודה שהמעגל עובר בה או ישר שמרכזו נמצא עליו.