נפחים בעזרת פרוסות וטבעות

השיעור מציג שיטה לחישוב נפח של גופי סיבוב באמצעות אינטגרל מסוים. הרעיון המרכזי הוא פריסת הגוף לפרוסות דקות: כל פרוסה מתוארת על ידי שטח החתך שלה, והנפח הכולל מתקבל מהצטברות שטחי החתך לאורך הציר.

שטח חתך ונוסחת נפח

נניח שגוף תלת־ממדי משתרע לאורך ציר ה־x בין $x=a$ ל־$x=b$. אם נחתוך את הגוף במישור המאונך לציר ה־x בנקודה $x$, נקבל צורה מישורית. שטח הצורה הזאת נקרא שטח החתך של הגוף בנקודה $x$, ונסמן אותו ב־$A(x)$.

אם פונקציית שטח החתך $A(x)$ רציפה בתחום $[a,b]$, הנפח של הגוף הוא האינטגרל המסוים של שטח החתך:

$V=\int_a^b A(x)\,dx$

האינטואיציה היא תהליך הצטברות. אם נחלק את הגוף לפרוסות דקות בעובי קטן $\Delta x$, נפח כל פרוסה יהיה בקירוב $A(x)\Delta x$. סכום הנפחים של כל הפרוסות מתקרב לערך האינטגרל כאשר עובי הפרוסות שואף לאפס.

בניסוח של פונקציית הצטברות, אם $V(x)$ הוא הנפח שנצבר מהקצה השמאלי של הגוף עד לנקודה $x$, אז:

$V'(x)=A(x)$

כלומר, קצב שינוי הנפח לפי המיקום הוא בדיוק שטח החתך באותו מיקום.

דוגמה קצרה: גליל שנוצר מסיבוב הקטע האופקי $y=2$ בתחום $0 \le x \le 5$ סביב ציר ה־x. בכל חתך מתקבל עיגול שרדיוסו 2, ולכן שטח החתך קבוע:

$A(x)=\pi \cdot 2^2=4\pi$

לכן הנפח הוא:

$V=\int_0^5 4\pi\,dx=4\pi \cdot 5=20\pi$

זוהי בדיוק הנוסחה המוכרת לנפח גליל: שטח בסיס כפול גובה.

דיסקות סביב ציר

כאשר השטח המסובב צמוד לציר הסיבוב, כל פרוסה של הגוף היא עיגול מלא. פרוסה כזאת נקראת דיסקה. במקרה זה, שטח החתך הוא שטח עיגול שרדיוסו הוא המרחק בין ציר הסיבוב לבין העקומה המגבילה את השטח.

אם מסובבים את השטח שמתחת לגרף הפונקציה $y=f(x)$, מעל ציר ה־x, בתחום $a \le x \le b$, סביב ציר ה־x, אז כל פרוסה היא דיסקה שרדיוסה $f(x)$, בהנחה ש־$f(x)\ge 0$. שטח החתך הוא:

$A(x)=\pi [f(x)]^2$

ולכן נפח גוף הסיבוב הוא:

$V=\pi \int_a^b [f(x)]^2\,dx$

אם הפונקציה שלילית בחלק מהתחום, הרדיוס אינו יכול להיות שלילי. בפועל הרדיוס הוא המרחק מהציר, כלומר $|f(x)|$, אך מאחר שהנוסחה כוללת ריבוע, הכתיב $[f(x)]^2$ נותן את אותו ערך.

דוגמה: נחשב את נפח הגוף שמתקבל מסיבוב השטח שמתחת לגרף $y=\sqrt{x}$ בתחום $0 \le x \le 4$ סביב ציר ה־x.

הרדיוס של כל דיסקה הוא:

$R(x)=\sqrt{x}$

שטח החתך הוא:

$A(x)=\pi (\sqrt{x})^2=\pi x$

ולכן הנפח הוא:

$V=\pi \int_0^4 x\,dx$

נחשב:

$V=\pi \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4$

$V=\pi \left(\frac{16}{2}-0\right)=8\pi$

לכן נפח גוף הסיבוב הוא $8\pi$.

טבעות סביב ציר

כאשר השטח המסובב אינו צמוד לציר הסיבוב, או כאשר השטח מוגבל בין שתי עקומות, החתך אינו עיגול מלא אלא צורה שיש בה חור. צורה כזאת נקראת טבעת. אפשר לדמיין אותה כהפרש בין שני עיגולים: עיגול גדול שממנו מסירים עיגול קטן יותר.

אם הרדיוס של העיגול הגדול הוא $R$, והרדיוס של העיגול הקטן הוא $r$, שטח הטבעת הוא:

$A=\pi R^2-\pi r^2$

כלומר:

$A=\pi(R^2-r^2)$

כאשר הגוף נוצר על ידי סיבוב סביב ציר, הרדיוסים $R$ ו־$r$ עשויים להשתנות לפי מיקום הפרוסה. לכן נפח גוף הסיבוב מחושב על ידי אינטגרציה של שטח הטבעת:

$V=\pi \int_a^b \left(R(x)^2-r(x)^2\right)\,dx$

כאשר $R(x)$ הוא הרדיוס החיצוני בפרוסה שבנקודה $x$, ו־$r(x)$ הוא הרדיוס הפנימי באותה פרוסה. אם אין חור, כלומר הרדיוס הפנימי הוא $r(x)=0$, הנוסחה חוזרת לנוסחת הדיסקות.

דוגמה: נחשב את נפח הגוף שמתקבל מסיבוב השטח הכלוא בין $y=\sqrt{x}$ לבין $y=x^2$ בתחום $0 \le x \le 1$ סביב ציר ה־x.

תחילה נזהה את הרדיוסים. בתחום $0 \le x \le 1$ מתקיים:

$\sqrt{x} \ge x^2$

ושתי העקומות נמצאות מעל ציר ה־x. לכן, בסיבוב סביב ציר ה־x:

$R(x)=\sqrt{x}$

$r(x)=x^2$

שטח החתך הוא:

$A(x)=\pi\left((\sqrt{x})^2-(x^2)^2\right)$

$A(x)=\pi(x-x^4)$

לכן הנפח הוא:

$V=\pi \int_0^1 (x-x^4)\,dx$

נחשב את האינטגרל:

$V=\pi \left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^5}{5}\right]_0^1$

$V=\pi \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{5}\right)$

$V=\pi \cdot \frac{3}{10}=\frac{3\pi}{10}$

לכן נפח גוף הסיבוב הוא $\frac{3\pi}{10}$.

רדיוס חיצוני ופנימי

המושגים רדיוס חיצוני ורדיוס פנימי מתארים את המרחקים מציר הסיבוב אל שפות התחום המסובב. הרדיוס החיצוני הוא המרחק הגדול יותר מציר הסיבוב אל השפה החיצונית של התחום. הרדיוס הפנימי הוא המרחק הקטן יותר, והוא קיים כאשר יש חור בתוך הגוף.

כדי לקבוע נכון את הרדיוסים, יש להסתכל תמיד על ציר הסיבוב:

• אם הסיבוב הוא סביב ציר ה־x, הרדיוסים הם מרחקים אנכיים מציר ה־x, ולכן הם נקבעים לפי ערכי $y$.
• אם הסיבוב הוא סביב ציר ה־y, הרדיוסים הם מרחקים אופקיים מציר ה־y, ולכן הם נקבעים לפי ערכי $x$.
• אם התחום כולו נמצא מעל ציר ה־x, הרדיוס החיצוני הוא בדרך כלל העקומה הרחוקה יותר מהציר, והרדיוס הפנימי הוא העקומה הקרובה יותר אליו.
• אם התחום חוצה את ציר הסיבוב, יש להיזהר: רדיוס הוא מרחק ולכן אינו שלילי, ולעיתים יש צורך לפצל את האינטגרל לתחומים שונים.
• אם אין חור, הרדיוס הפנימי הוא 0, והטבעת הופכת לדיסקה.

דוגמה לסיבוב סביב ציר ה־y: נחשב את נפח הגוף שמתקבל מסיבוב השטח הכלוא בין $x=y$ לבין $x=y^2$ בתחום $0 \le y \le 1$ סביב ציר ה־y.

כאן ציר הסיבוב הוא ציר ה־y, ולכן הרדיוסים הם מרחקים אופקיים מציר ה־y, כלומר ערכי $x$. בתחום $0 \le y \le 1$ מתקיים:

$y \ge y^2$

לכן העקומה הרחוקה יותר מציר ה־y היא $x=y$, והעקומה הקרובה יותר היא $x=y^2$. מכאן:

$R(y)=y$

$r(y)=y^2$

שטח הטבעת הוא:

$A(y)=\pi\left(y^2-(y^2)^2\right)$

$A(y)=\pi(y^2-y^4)$

ולכן הנפח הוא:

$V=\pi \int_0^1 (y^2-y^4)\,dy$

נחשב:

$V=\pi \left[\frac{y^3}{3}-\frac{y^5}{5}\right]_0^1$

$V=\pi \left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)$

$V=\pi \cdot \frac{2}{15}=\frac{2\pi}{15}$

לכן נפח גוף הסיבוב הוא $\frac{2\pi}{15}$.