סדרות, מונוטוניות וחסימות

פרק זה עוסק בסדרות אינסופיות של מספרים ממשיים, שהן הבסיס לבניית טורים ולדיון בהתכנסות. הרעיון המרכזי הוא שניתן לתאר את התנהגות האיברים הרחוקים של סדרה באמצעות גבול, וכאשר יש לסדרה כיוון ברור וחסם מתאים אפשר להוכיח שהיא מתכנסת גם בלי לדעת מראש את ערך הגבול. בהמשך נבחן גם סדרות המוגדרות באמצעות כלל נסיגה, שבהן כל איבר מחושב מאיברים קודמים.

סדרה אינסופית וגבול של סדרה

סדרה אינסופית של מספרים ממשיים היא פונקציה המוגדרת על קבוצת המספרים הטבעיים ומקבלת ערכים ממשיים. נהוג לסמן אותה בצורה

$(a_n)_{n=1}^{\infty}$

כאשר $a_n$ הוא האיבר במקום ה־$n$. לדוגמה, הסדרה $a_n=\frac{1}{n}$ היא

$1,\ \frac{1}{2},\ \frac{1}{3},\ \frac{1}{4},\ldots$

גבול של סדרה מתאר את הערך שאליו מתקרבים איברי הסדרה כאשר $n$ גדל ללא גבול. נאמר כי

$\lim_{n\to\infty} a_n = L$

אם לכל $\varepsilon>0$ קיים מספר טבעי $N$ כך שלכל $n>N$ מתקיים

$|a_n-L|<\varepsilon.$

אם קיים גבול שהוא מספר ממשי, הסדרה נקראת מתכנסת. אם אין גבול כזה, הסדרה מתבדרת. שאיפה לאינסוף, למשל $a_n=n$, אינה התכנסות לגבול ממשי אלא סוג של התבדרות.

דוגמה פשוטה: עבור $a_n=\frac{1}{n}$, האיברים קטנים והולכים ומתקרבים לאפס. לכן

$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0.$

דוגמה עם ביטוי רציונלי:

$a_n=\frac{3n+2}{5n-1}.$

נחלק את המונה ואת המכנה ב־$n$:

$a_n=\frac{3+\frac{2}{n}}{5-\frac{1}{n}}.$

כאשר $n\to\infty$, האיברים $\frac{2}{n}$ ו־$\frac{1}{n}$ שואפים לאפס, ולכן

$\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{3}{5}.$

סדרי גודל והשוואת קצבי התכנסות

סדר גודל הוא תיאור של קצב הגדילה או הדעיכה של איברי סדרה. לצורך התכנסות, חשוב לא רק אם האיברים שואפים לאפס, אלא גם באיזה קצב הם עושים זאת. למשל, $\frac{1}{n^2}$ שואפת לאפס מהר יותר מאשר $\frac{1}{n}$, וסדרה מעריכית כמו $\left(\frac{1}{2}\right)^n$ דועכת מהר יותר מסדרה פולינומית.

סדרה	סדר גודל	התנהגות כאשר $n\to\infty$
$\frac{1}{n}$	דעיכה פולינומית מסדר ראשון	שואפת לאפס
$\frac{1}{n^2}$	דעיכה פולינומית מסדר שני	שואפת לאפס
$q^n$, $	q	<1$
$n^p$, $p>0$	גדילה פולינומית	שואפת לאינסוף
$q^n$, $q>1$	גדילה מעריכית	שואפת לאינסוף
$\frac{n^p}{q^n}$, $q>1$	פולינום מול מעריכי	שואפת לאפס

במנות רציונליות של פולינומים נהוג להשוות תחילה את הדרגות של המונה והמכנה. אם הדרגות שוות, הגבול הוא יחס המקדמים המובילים. אם דרגת המכנה גדולה מדרגת המונה, הגבול הוא אפס. אם דרגת המונה גדולה מדרגת המכנה, הסדרה אינה מתכנסת לגבול ממשי ושואפת לאינסוף או למינוס אינסוף, בהתאם לסימנים.

לדוגמה:

$a_n=\frac{2n^2+1}{7n^2-3n}.$

הדרגה במונה ובמכנה היא 2, ולכן הגבול הוא יחס המקדמים של $n^2$:

$\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{2}{7}.$

לעומת זאת,

$\frac{n}{2^n}\to 0$

משום שהמכנה גדל מעריכית, ואילו המונה גדל רק פולינומית.

סדרות מונוטוניות וחסומות

מונוטוניות מתארת כיוון קבוע של איברי הסדרה. סדרה $(a_n)$ היא עולה אם לכל $n$ מתקיים

$a_{n+1}\ge a_n.$

אם מתקיים $a_{n+1}>a_n$, הסדרה היא עולה ממש. באופן דומה, סדרה היא יורדת אם $a_{n+1}\le a_n$, ויורדת ממש אם $a_{n+1}0$ כך שלכל $n$

$|a_n|\le B.$

המשפט המרכזי הוא: סדרה עולה וחסומה מלעיל מתכנסת. הגבול שלה הוא החסם העליון הקטן ביותר של איבריה, כלומר הסופרמום. באופן דומה, סדרה יורדת וחסומה מלרע מתכנסת, וגבולה הוא החסם התחתון הגדול ביותר של איבריה.

לדוגמה, נבחן את הסדרה

$a_n=\frac{n}{n+1}.$

נבדוק שהיא עולה:

$a_{n+1}-a_n=\frac{n+1}{n+2}-\frac{n}{n+1}.$

נעשה מכנה משותף:

$$a_{n+1}-a_n= \frac{(n+1)^2-n(n+2)}{(n+1)(n+2)} = \frac{1}{(n+1)(n+2)}.$$

הביטוי חיובי לכל $n$, ולכן הסדרה עולה.

כעת נבדוק חסימות מלעיל. לכל $n$ מתקיים

$\frac{n}{n+1}<1.$

לכן הסדרה חסומה מלעיל על ידי 1. מכיוון שהיא עולה וחסומה מלעיל, היא מתכנסת. הגבול הוא

$\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}=1.$

חשוב להבחין שחסימות לבדה אינה מספיקה. הסדרה

$a_n=(-1)^n$

חסומה, שכן כל איבריה הם $1$ או $-1$, אך היא אינה מתכנסת משום שהיא מתנדנדת בין שני ערכים.

סדרות רקורסיביות והוכחת התכנסות

סדרה רקורסיבית היא סדרה המוגדרת באמצעות תנאי התחלה וכלל נסיגה. בכלל נסיגה, כל איבר מחושב מאיבר אחד או ממספר איברים קודמים. צורה נפוצה היא

a_1 נתון, \qquad a_{n+1}=f(a_n).

לדוגמה, ייתכן כלל כמו

$a_{n+1}=\frac{a_n+2}{2}.$

בסדרה רקורסיבית לא תמיד יש נוסחה מפורשת ל־$a_n$ כתלות ב־$n$, ולכן לעיתים מוכיחים תחילה שהסדרה מתכנסת, ורק לאחר מכן מחשבים את הגבול.

תבנית נפוצה להוכחת התכנסות של סדרה רקורסיבית כוללת כמה שלבים:

• מוכיחים שהסדרה מונוטונית, למשל עולה או יורדת.
• מוכיחים שהסדרה חסומה בכיוון המתאים.
• משתמשים במשפט על סדרה מונוטונית וחסומה כדי לקבוע שהסדרה מתכנסת.
• מסמנים את הגבול ב־$L$ ומעבירים את כלל הנסיגה לגבול, בתנאי שהפונקציה המופיעה בנסיגה רציפה בנקודת הגבול.

נבחן את הסדרה המוגדרת כך:

$a_1=1, \qquad a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}.$

תחילה נראה שכל האיברים חיוביים. ברור ש־$a_1=1>0$, ואם $a_n>0$, אז גם

$a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}>0.$

לכן כל איברי הסדרה חיוביים.

כעת נוכיח שהסדרה חסומה מלעיל על ידי 2. עבור $n=1$:

$a_1=1<2.$

נניח כי $a_n<2$. אז

$a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}<\sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2.$

לכן, לפי אינדוקציה, $a_n<2$ לכל $n$.

כעת נוכיח שהסדרה עולה. מכיוון ששני הצדדים חיוביים, אפשר להשוות ריבועים:

$a_{n+1}>a_n$

שקול ל־

$a_{n+1}^2>a_n^2.$

נחשב את ההפרש:

$a_{n+1}^2-a_n^2=(2+a_n)-a_n^2.$

נפרק לגורמים:

$2+a_n-a_n^2=(2-a_n)(1+a_n).$

כבר הוכחנו ש־$a_n<2$, ולכן $2-a_n>0$. כמו כן $1+a_n>0$. מכאן

$a_{n+1}^2-a_n^2>0$

ולכן

$a_{n+1}>a_n.$

קיבלנו שהסדרה עולה וחסומה מלעיל, ולכן היא מתכנסת.

נסמן את הגבול ב־$L$. מכיוון שהסדרה מתכנסת ופונקציית השורש רציפה בתחום הרלוונטי, אפשר להעביר את הנסיגה לגבול:

$L=\sqrt{2+L}.$

נעלה בריבוע:

$L^2=2+L.$

נעביר אגפים:

$L^2-L-2=0.$

נפרק לגורמים:

$(L-2)(L+1)=0.$

לכן

L=2 \quad או \quad L=-1.

מכיוון שכל איברי הסדרה חיוביים, הגבול אינו יכול להיות שלילי. לכן

$L=2.$