שיעור 21: עבודה, תנועה ולחץ נוזלים

האינטגרל המסוים מתאר הצטברות של גודל כאשר ידוע קצב השינוי שלו. בשיעור זה ניישם רעיון זה בשלושה הקשרים פיזיקליים: מעבר מפונקציית מהירות להעתק ולמרחק, חישוב עבודה של כוח שאינו קבוע, וחישוב הכוח שמפעיל נוזל על דופן. הרעיון המשותף הוא חלוקת התופעה לחלקים קטנים שבהם הגודל נחשב בקירוב כקבוע, סיכום התרומות ומעבר לגבול באמצעות אינטגרל.

העתק ומרחק מתוך פונקציית מהירות

נניח שחלקיק נע לאורך קו ישר ומהירותו הרגעית היא פונקציה של הזמן, המסומנת v(t). המהירות היא קצב שינוי המיקום: אם המיקום הוא פונקציה רציפה וגזירה למקוטעין, אז מתקיים v(t)=s'(t). לכן השינוי במיקום, כלומר ההעתק, בין שני רגעים מתקבל על ידי אינטגרציה של המהירות באותו פרק זמן.

אם החלקיק נע בין הזמן t=a והזמן t=b, ההעתק שלו הוא:

Δs = ∫_a^b v(t) dt

כאשר המהירות חיובית, החלקיק נע בכיוון החיובי וההעתק גדל. כאשר המהירות שלילית, החלקיק נע בכיוון הנגדי וההעתק קטן. לכן אינטגרל של מהירות עשוי להיות חיובי, שלילי או אפס, בהתאם ליחס בין השטחים שמעל ציר הזמן לשטחים שמתחתיו.

יש להבחין בין העתק לבין אורך הדרך. העתק הוא שינוי נטו במיקום, והוא מתקבל מאינטגרל של המהירות עצמה. אורך הדרך, או המרחק הכולל שהחלקיק עבר, אינו מבטל תנועה בכיוונים מנוגדים, ולכן הוא מתקבל מאינטגרל של הערך המוחלט של המהירות:

דרך כוללת = ∫_a^b |v(t)| dt

אם המהירות מחליפה סימן בתוך התחום, יש לפצל את תחום הזמן בנקודות שבהן היא מתאפסת. בכל תת־תחום מחשבים את האינטגרל של המהירות, לוקחים את הערך המוחלט של התוצאה, ומחברים את כל התרומות. מבחינה גרפית, ההעתק הוא סכום השטחים מעל ציר הזמן בניכוי השטחים שמתחתיו, ואילו המרחק הכולל הוא סכום השטחים בערכם המוחלט.

אם ידוע המיקום ההתחלתי s(a), אפשר לבנות את פונקציית המיקום לכל זמן t באמצעות פונקציית הצטברות:

s(t) = s(a) + ∫_a^t v(τ) dτ

פונקציית הצטברות מתארת את סכום התרומות של קצב השינוי שהצטבר עד לרגע נתון. במקרה של מהירות, ההצטברות היא ההעתק מרגע ההתחלה. כאשר פונקציית המהירות נתונה כגרף, אפשר לקרוא את ההעתק מתוך השטח המסומן בין הגרף לציר הזמן: שטח מעל הציר נספר חיובית, ושטח מתחת לציר נספר שלילית. כדי לקבל את המיקום בפועל, יש להוסיף את המיקום ההתחלתי.

דוגמה: חלקיק נע לאורך ציר ישר במהירות v(t)=6-2t, עבור 0≤t≤4. תחילה נמצא את הזמן שבו המהירות מתאפסת: 6-2t=0, ולכן t=3. עד זמן זה המהירות חיובית, ולאחריו היא שלילית.

ההעתק בין 0 ל־4 הוא:

∫_0^4 (6-2t) dt = [6t-t^2]_0^4 = (24-16)-0 = 8

המרחק הכולל מחושב בלי ביטול סימנים:

∫_0^3 (6-2t) dt + |∫_3^4 (6-2t) dt|

נחשב כל חלק:

∫_0^3 (6-2t) dt = [6t-t^2]_0^3 = 18-9 = 9

∫_3^4 (6-2t) dt = [6t-t^2]_3^4 = (24-16)-(18-9) = 8-9 = -1

לכן המרחק הכולל הוא 9+1=10. המשמעות: החלקיק התרחק מנקודת ההתחלה עד למיקום 9, אחר כך חזר אחורה מרחק 1, ולכן סיים במיקום 8 אך עבר דרך כוללת של 10 יחידות.

עבודה של כוח משתנה

במכניקה, עבודה של כוח קבוע לאורך תנועה בקו ישר היא מכפלת רכיב הכוח בכיוון התנועה בהעתק:

W = FΔx

כאשר הכוח משתנה במהלך התנועה, אין ערך יחיד שאפשר להכפיל בהעתק הכולל. במקרה כזה מחלקים את המסלול לקטעים קצרים, מניחים שבכל קטע הכוח כמעט קבוע, מחשבים את התרומה לעבודה בכל קטע, ומסכמים. מעבר לגבול של חלוקה דקה יותר מוביל לאינטגרל המסוים.

אם רכיב הכוח בכיוון התנועה הוא פונקציה של המיקום, והגוף נע מנקודה x=a לנקודה x=b, העבודה של הכוח היא:

W = ∫_a^b F(x) dx

העבודה נמדדת בג'אולים, שהם ניוטון כפול מטר. מבחינה גרפית, העבודה היא השטח שבין גרף רכיב הכוח לציר המיקום, בסימן המתאים: שטח מעל הציר תורם עבודה חיובית, ושטח מתחת לציר תורם עבודה שלילית. אם הכוח פועל בניגוד לכיוון התנועה, רכיבו לאורך התנועה שלילי והעבודה שהוא מבצע שלילית.

בשיעור זה נניח שהכוח נתון כפונקציה של המיקום לאורך מסלול ישר. אם נתונים כמה כוחות, אפשר לחשב את העבודה של כל כוח בנפרד או את העבודה של הכוח השקול כסכום רכיבי הכוחות בכיוון התנועה. אם הכוח נתון ביחידות ניוטון והמיקום במטרים, האינטגרל נותן ג'אולים; אם היחידות שונות, יש להקפיד להמירן לפני החישוב.

דוגמה: כוח המתיחה של קפיץ המקיים את חוק הוק פרופורציונלי להתארכות, כלומר F(x)=kx, כאשר קבוע הקפיץ הוא k. עבור קפיץ עם k=200 ניוטון למטר, נחשב את העבודה הדרושה למתיחה מהמצב הרפוי, x=0, עד התארכות של 0.2 מטר. מאחר שהכוח גדל מ־0 עד 40 ניוטון, לא נכפיל פשוט 40 ב־0.2. נחשב באמצעות אינטגרל:

W = ∫_0^{0.2} 200x dx = [100x^2]_0^{0.2} = 100(0.2)^2 = 4

לכן העבודה היא 4 ג'אולים. בגרף הכוח כתלות בהתארכות מתקבל משולש שבסיסו 0.2 מטר וגובהו 40 ניוטון, ושטחו הוא אכן (1/2)·0.2·40=4.

לחץ וכוח הידרוסטטי

נוזל במנוחה מפעיל לחץ על כל משטח הבא במגע עמו. הלחץ ההידרוסטטי בעומק מסוים נובע ממשקל עמוד הנוזל שמעל הנקודה. עבור נוזל בעל צפיפות קבועה ρ, הלחץ בעומק h מתחת לפני הנוזל הוא:

p = ρgh

כאשר g היא תאוצת הכובד. הלחץ גדל באופן ליניארי עם העומק ואינו תלוי בצורת המיכל. הלחץ נמדד בפסקלים, ופסקל אחד הוא ניוטון אחד למטר רבוע. אם רוצים לחשב לחץ מוחלט, יש להוסיף את הלחץ החיצוני על פני הנוזל; בחישובי כוח הידרוסטטי רבים משתמשים בלחץ העודף ρgh בלבד.

על משטח אופקי שכולו נמצא באותו עומק, הלחץ קבוע והכוח הוא מכפלת הלחץ בשטח:

F = pA = ρghA

לעומת זאת, על דופן אנכית העומק משתנה מנקודה לנקודה, ולכן הלחץ אינו קבוע ויש לחשב את הכוח באמצעות אינטגרציה. נבנה את החישוב עבור דופן אנכית של מיכל. נמדוד את העומק y כלפי מטה מפני הנוזל, כך שעל פני המים מתקיים y=0. נחלק את הדופן לפסים אופקיים דקים. פס בעומק y ובעובי dy יש שטח מקורב dA=w(y)dy, כאשר w(y) הוא רוחב הדופן באותו עומק. הלחץ בפס הוא ρgy, ולכן הכוח על הפס הוא בקירוב:

dF = ρg y w(y) dy

סיכום התרומות על פני כל הפסים נותן את הכוח הכולל:

F = ∫ ρg y w(y) dy

גבולות האינטגרל הם העומקים שבהם הדופן במגע עם הנוזל. אם הדופן שקועה בין עומקים y=a ו־y=b, הגבולות הם a ו־b, גם אם פני המים אינם בראש הדופן. יש לשים לב שהאינטגרל מכפיל את הלחץ בשטח הפס. ככל שהפס עמוק יותר, הלחץ בו גדול יותר, ולכן תרומת שטח שווה בעומק גדול יותר גדולה יותר. זו הסיבה שדופן מיכל צריכה לעמוד בעומס הגדול ביותר בחלקה התחתון.

דוגמה: דופן מלבנית אנכית של מיכל פתוח, רוחבה 2 מטר וגובהה 3 מטר, ופני המים מגיעים עד ראש הדופן. ניקח צפיפות מים ρ=1000 ק"ג למטר מעוקב ותאוצת כובד g=9.8 מטר לשנייה בריבוע. כאן הרוחב קבוע, ולכן w(y)=2, והעומק נע בין 0 ל־3. הכוח על הדופן הוא:

F = ∫_0^3 1000·9.8·2y dy = 19600 ∫_0^3 y dy = 19600 [y^2/2]_0^3 = 19600·4.5 = 88200

לכן הכוח ההידרוסטטי הכולל על הדופן הוא 88,200 ניוטון. אפשר לראות זאת גם כמכפלת שטח הדופן, 6 מטר רבוע, בלחץ בעומק הממוצע של מלבן אנכי, 1.5 מטר:

1000·9.8·1.5·6 = 88200

עבור דופן שאינה מלבנית, יש לבצע את האינטגרל עם רוחב משתנה w(y).