פונקציות היפרבוליות ומשוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון

בשיעור זה נגדיר את שתי הפונקציות ההיפרבוליות המרכזיות, נבחין בתכונותיהן האלגבריות והגרפיות, ונחשב את נגזרותיהן ואינטגרליהן. לאחר מכן נראה כיצד הכלים האלה משתלבים בפתרון משוואות דיפרנציאליות פשוטות המתארות גדילה ודעיכה. הרעיון המרכזי הוא שהפונקציות ההיפרבוליות נבנות מן הפונקציה המעריכית, ולכן הן מתאימות במיוחד לתיאור תהליכים שבהם קצב השינוי פרופורציונלי לגודל עצמו.

הגדרת הפונקציות ההיפרבוליות sinh ו-cosh

הפונקציה סינוס היפרבולי מוגדרת לכל $x$ ממשי על־ידי

$\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}.$

הפונקציה קוסינוס היפרבולי מוגדרת על־ידי

$\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}.$

שתיהן פונקציות ממשיות, רציפות וגזירות בכל הישר הממשי, משום שהן צירוף ליניארי של פונקציות מעריכיות. תחום ההגדרה של שתיהן הוא אפוא כל $\mathbb{R}$.

כדי להמחיש את הערכים, נציב תחילה $x=0$:

$\sinh 0=\frac{1-1}{2}=0,\qquad \cosh 0=\frac{1+1}{2}=1.$

עבור $x=1$ נקבל בקירוב

\cosh 1=\frac{e+e^{-1}}{2}\approx 1.543.$$ מן ההגדרות נובעות תכונות גרפיות ברורות. הפונקציה $\cosh x$ היא פונקציה זוגית, ולכן הגרף שלה סימטרי ביחס לציר $y$; יש לה מינימום מוחלט בנקודה $(0,1)$. הפונקציה $\sinh x$ היא פונקציה אי־זוגית, הגרף שלה עובר בראשית הצירים, והיא עולה לכל אורך התחום. עבור $x$ גדול וחיובי, האיבר $e^{-x}$ שואף לאפס, ולכן שתי הפונקציות מתקרבות ל־$\frac{e^x}{2}$. עבור $x$ שלילי גדול בערכו המוחלט, $\cosh x$ ממשיכה לגדול, ואילו $\sinh x$ שואפת למינוס אינסוף.  השם "היפרבוליות" קשור לכך שהנקודה $(\cosh t,\sinh t)$ נמצאת על ההיפרבולה $x^2-y^2=1$, שכן מתקיים $$\cosh^2 t-\sinh^2 t=1.$$ זאת בדומה לנקודה $(\cos t,\sin t)$ הנמצאת על המעגל $x^2+y^2=1$. ## זהויות בסיסיות של הפונקציות ההיפרבוליות הזהות החשובה ביותר היא הזהות ההיפרבולית: $$\cosh^2 x-\sinh^2 x=1.$$ ניתן להוכיח אותה ישירות מן ההגדרות: $$\left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)^2- \left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)^2 = \frac{e^{2x}+2+e^{-2x}-\left(e^{2x}-2+e^{-2x}\right)}{4}=1.$$ הסימן השלילי בזהות זו מבדיל בין ההיפרבולה למעגל: במעגל מתקיים $\cos^2 x+\sin^2 x=1$, ואילו בהיפרבולה מתקיים $\cosh^2 x-\sinh^2 x=1$. זהויות שימושיות נוספות הן: - $\sinh(-x)=-\sinh x$, כלומר סינוס היפרבולי הוא פונקציה אי־זוגית. - $\cosh(-x)=\cosh x$, כלומר קוסינוס היפרבולי הוא פונקציה זוגית. - $\cosh(x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y$. - $\sinh(x+y)=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y$. מן הזהויות האלה נובעות גם זהויות כפולה־זווית: $$\cosh 2x=\cosh^2 x+\sinh^2 x,$$ $$\sinh 2x=2\sinh x\cosh x.$$ לדוגמה, אם נשתמש בערכים המקורבים עבור $x=1$, כלומר $\cosh 1\approx 1.543$ ו־$\sinh 1\approx 1.175$, נקבל $$\cosh^2 1-\sinh^2 1\approx 2.381-1.381=1,$$ והתוצאה תואמת את הזהות ההיפרבולית. ## נגזרות של הפונקציות ההיפרבוליות גזירת ההגדרות נותנת שני כללים מרכזיים: $$\frac{d}{dx}\sinh x=\cosh x,$$ $$\frac{d}{dx}\cosh x=\sinh x.$$ החישוב נובע מכך שנגזרת $e^x$ היא $e^x$, ונגזרת $e^{-x}$ היא $-e^{-x}$. נחשב במפורש: $$\frac{d}{dx}\sinh x= \frac{d}{dx}\left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right) = \frac{e^x+e^{-x}}{2}=\cosh x.$$ בדומה, $$\frac{d}{dx}\cosh x= \frac{d}{dx}\left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right) = \frac{e^x-e^{-x}}{2}=\sinh x.$$ כאשר הפונקציה מורכבת, משתמשים בכלל השרשרת. לדוגמה, אם $$f(x)=\cosh(2x),$$ אז $$f'(x)=2\sinh(2x).$$ אם $$g(x)=\sinh(x^2),$$ אז $$g'(x)=2x\cosh(x^2).$$ בשני המקרים הגורם הנוסף נובע מנגזרת הביטוי הפנימי: במקרה הראשון הנגזרת של $2x$ היא $2$, ובמקרה השני הנגזרת של $x^2$ היא $2x$. ## אינטגרלים היפרבוליים הקשר בין הנגזרות של $\sinh x$ ו־$\cosh x$ נותן מיד את האינטגרלים הלא־מסוימים: $$\int \sinh x\,dx=\cosh x+C,$$ $$\int \cosh x\,dx=\sinh x+C.$$ כאן $C$ הוא קבוע האינטגרציה. דוגמה לחישוב אינטגרל מסוים: $$\int_0^1 \cosh x\,dx= \bigl[\sinh x\bigr]_0^1= \sinh 1-\sinh 0.$$ מאחר ש־$\sinh 0=0$ ו־$\sinh 1\approx 1.175$, נקבל $$\int_0^1 \cosh x\,dx\approx 1.175.$$ גם באינטגרלים של פונקציות מורכבות משתמשים בכלל ההצבה או בכלל הנגזרת הפנימית. לדוגמה, $$\int \sinh(4x)\,dx=\frac{1}{4}\cosh(4x)+C,$$ כי הנגזרת של $\cosh(4x)$ היא $4\sinh(4x)$. בשל האי־זוגיות של $\sinh x$, מתקיים גם שעל קטע סימטרי סביב הראשית האינטגרל שלה מתאפס: $$\int_{-a}^{a}\sinh x\,dx=0.$$ לעומת זאת, $\cosh x$ היא פונקציה זוגית, ולכן $$\int_{-a}^{a}\cosh x\,dx=2\int_0^a \cosh x\,dx.$$ ## משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון בגדילה ודעיכה **משוואה דיפרנציאלית מסדר ראשון** היא משוואה הכוללת פונקציה נעלמת ואת נגזרתה הראשונה בלבד. במודלים של גדילה ודעיכה מופיעה לעיתים קרובות המשוואה $$\frac{dy}{dt}=ky,$$ כאשר $y(t)$ הוא הגודל המשתנה בזמן $t$, ו־$k$ הוא קבוע ממשי. הקבוע $k$ מתאר את קצב השינוי היחסי: אם $k>0$ מתקבלת גדילה, אם $k<0$ מתקבלת דעיכה, ואם $k=0$ הגודל אינו משתנה. כדי לפתור את המשוואה, נפריד משתנים: $$\frac{dy}{y}=k\,dt.$$ נבצע אינטגרציה בשני האגפים: $$\int \frac{dy}{y}=\int k\,dt,$$ ולכן $$\ln|y|=kt+C.$$ לאחר הוצאת לוגריתם מקבלים $$y=Ce^{kt}.$$ אם נתון תנאי התחלה $y(0)=y_0$, אז מציבים $t=0$ ומקבלים $C=y_0$, ולכן הפתרון הוא $$y(t)=y_0e^{kt}.$$ אם תנאי ההתחלה נתון בזמן כללי $t=t_0$, כלומר $y(t_0)=y_0$, אז הפתרון הוא $$y(t)=y_0e^{k(t-t_0)}.$$ הפתרון $y=0$ מתקבל כאשר $C=0$, והוא מתאים למצב שבו הגודל ההתחלתי הוא אפס. דוגמה לגדילה: נניח שגודל $y$ מקיים $$\frac{dy}{dt}=0.05y,\qquad y(0)=200.$$ הפתרון הוא $$y(t)=200e^{0.05t}.$$ אחרי $t=10$ יחידות זמן נקבל $$y(10)=200e^{0.5}\approx 200\cdot 1.649=329.8.$$ דוגמה לדעיכה: נניח שכמות של חומר מקיימת $$\frac{dy}{dt}=-0.2y,\qquad y(0)=80.$$ הפתרון הוא $$y(t)=80e^{-0.2t}.$$ אחרי $t=3$ יחידות זמן נקבל $$y(3)=80e^{-0.6}\approx 80\cdot 0.549=43.9.$$ המשוואה $\frac{dy}{dt}=ky$ מדגימה את הקשר בין הפונקציה המעריכית, הנגזרת והאינטגרל: קצב השינוי של $y$ פרופורציונלי לערכו הנוכחי, ולכן הפתרון הוא פונקציה מעריכית. כאשר $k>0$ הגרף עולה, וכאשר $k<0$ הגרף יורד ושואף לאפס.