פירוקים, הצבות וקירוב נומרי

השיעור עוסק בשלוש דרכים מרכזיות להתמודד עם אינטגרלים שאינם נפתרים מיידית: פירוק אלגברי של פונקציות רציונליות, החלפת משתנה אלגברית, וקירוב של אינטגרל מסוים באמצעות כללים נומריים. הרעיון המשותף הוא מעבר מבעיה מורכבת לבעיה מוכרת יותר, או לחישוב שיטתי של ערך מקורב כאשר אין דרך נוחה למצוא פונקציה קדומה.

חילוק פולינומים בפונקציה רציונלית

פונקציה רציונלית היא מנה של שני פולינומים, מהצורה

$\frac{P(x)}{Q(x)}.$

כאשר מעלת המונה גדולה ממעלת המכנה או שווה לה, האינטגרציה הישירה של השבר אינה נוחה. במקרה כזה מבצעים חילוק פולינומים, ומקבלים סכום של פולינום ושל שבר שבו מעלת המונה קטנה ממעלת המכנה. שבר כזה נקרא שבר רציונלי תקין.

החילוק מאפשר להפריד את החלק הפולינומי, שאותו קל לשלב, מן החלק השברי, שאותו אפשר לפרק לשברים חלקיים או לזהות כביטוי מיידי.

דוגמה: נחלק את

$\frac{x^3+2x^2-x+3}{x^2+1}.$

נבצע את שלבי החילוק:

• האיבר הראשון במנה הוא $x$, כי $x^3:x^2=x$.
• נכפיל $x(x^2+1)=x^3+x$ ונחסר מן המונה:

$x^3+2x^2-x+3-(x^3+x)=2x^2-2x+3.$

• האיבר הבא במנה הוא $2$, כי $2x^2:x^2=2$.
• נכפיל $2(x^2+1)=2x^2+2$ ונחסר:

$2x^2-2x+3-(2x^2+2)=-2x+1.$

לכן מתקבלת ההצגה

$$\frac{x^3+2x^2-x+3}{x^2+1} = x+2+\frac{-2x+1}{x^2+1}.$$

כעת את הפולינום $x+2$ אפשר לשלב מיידית, ואת השבר התקין שנותר אפשר לבדוק לגבי פירוק או זיהוי כנגזרת של פונקציה מוכרת.

פירוק לשברים חלקיים

שבר רציונלי תקין ניתן לעיתים קרובות להצגה כסכום של שברים פשוטים יותר. הצגה זו נקראת פירוק לשברים חלקיים. הרעיון הוא לפרק את המכנה לגורמים, ולהתאים לכל גורם איבר או כמה איברים עם מקדמים לא ידועים. לאחר מכן מוצאים את המקדמים באמצעות השוואת מקדמים או הצבת ערכים.

הכללים הבסיסיים הם:

• גורם ליניארי פשוט $(x-a)$ תורם איבר מהצורה

$\frac{A}{x-a}.$

• גורם ליניארי בחזקה $(x-a)^k$ תורם סכום של איברים:

$\frac{A_1}{x-a}+\frac{A_2}{(x-a)^2}+\cdots+\frac{A_k}{(x-a)^k}.$

• גורם ריבועי אי־פריק, כגון $x^2+1$, תורם איבר מהצורה

$\frac{Ax+B}{x^2+1},$

ואם הגורם הריבועי מופיע בחזקה, מוסיפים איברים עם חזקות מתאימות.

דוגמה: נפרק את

$\frac{3x+5}{(x-1)(x+2)}.$

נניח שמתקיים

$$\frac{3x+5}{(x-1)(x+2)} = \frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2}.$$

נכפיל במכנה המשותף $(x-1)(x+2)$ ונקבל

$3x+5=A(x+2)+B(x-1).$

נפתח את האגף הימני:

$3x+5=(A+B)x+(2A-B).$

נשווה מקדמים:

$A+B=3,$

$2A-B=5.$

מכאן נקבל

$A=\frac{8}{3}, \qquad B=\frac{1}{3}.$

לכן

$$\frac{3x+5}{(x-1)(x+2)} = \frac{8}{3}\cdot\frac{1}{x-1} + \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{x+2}.$$

ואז האינטגרל הוא

$$\int \frac{3x+5}{(x-1)(x+2)}\,dx = \frac{8}{3}\ln|x-1| + \frac{1}{3}\ln|x+2| + C.$$

דוגמה עם גורם חוזר: נפרק את

$\frac{2x+1}{(x-1)^2}.$

נניח

$$\frac{2x+1}{(x-1)^2} = \frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}.$$

נכפיל ב־$(x-1)^2$:

$2x+1=A(x-1)+B.$

נפתח:

$2x+1=Ax+(B-A).$

נשווה מקדמים:

$A=2,$

$B-A=1.$

לכן

$B=3.$

כלומר

$$\frac{2x+1}{(x-1)^2} = \frac{2}{x-1}+\frac{3}{(x-1)^2}.$$

לכן

$$\int \frac{2x+1}{(x-1)^2}\,dx = 2\ln|x-1|-\frac{3}{x-1}+C.$$

יש להקפיד על הסימן באינטגרציה של $(x-1)^{-2}$, שכן

$\int (x-1)^{-2}\,dx=-(x-1)^{-1}.$

הצבות אלגבריות

הצבה אלגברית היא החלפת המשתנה המקורי במשתנה חדש, שהוא ביטוי אלגברי של המשתנה המקורי. מטרת ההצבה היא להפוך אינטגרנד מורכב לאינטגרנד פשוט יותר. אם בוחרים

$t=g(x),$

אז יש להחליף גם את הדיפרנציאל:

$dt=g'(x)\,dx.$

הצבה מתאימה במיוחד כאשר האינטגרנד מכיל ביטוי מסוים ואת הנגזרת שלו כגורם, או כאשר אפשר לבודד בקלות את הגורם המתאים ל־$dx$.

דוגמה 1: נחשב את

$\int 2x(x^2+1)^5\,dx.$

נבחר

$t=x^2+1.$

אז

$dt=2x\,dx.$

לכן האינטגרל הופך ל־

$\int t^5\,dt.$

נחשב:

$\int t^5\,dt=\frac{t^6}{6}+C.$

נחזור למשתנה המקורי:

$$\int 2x(x^2+1)^5\,dx = \frac{(x^2+1)^6}{6}+C.$$

דוגמה 2: נחשב את

$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx.$

נבחר

$t=1-x^2.$

אז

$dt=-2x\,dx,$

ולכן

$x\,dx=-\frac{1}{2}dt.$

נקבל

$$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = -\frac{1}{2}\int t^{-1/2}\,dt.$$

נחשב:

$$-\frac{1}{2}\int t^{-1/2}\,dt = -\sqrt{t}+C.$$

נחזור למשתנה המקורי:

$$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = -\sqrt{1-x^2}+C.$$

דוגמה 3: נחשב את

$\int \frac{dx}{x+\sqrt{x}}.$

כאן מופיע שורש, ולכן נוח לבחור

$t=\sqrt{x}.$

אז

$x=t^2,$

ולכן

$dx=2t\,dt.$

נציב:

$$\int \frac{dx}{x+\sqrt{x}} = \int \frac{2t\,dt}{t^2+t}.$$

נוציא גורם משותף במכנה:

$t^2+t=t(t+1).$

לכן

$$\int \frac{2t}{t(t+1)}\,dt = \int \frac{2}{t+1}\,dt.$$

נחשב:

$$\int \frac{2}{t+1}\,dt = 2\ln|t+1|+C.$$

נחזור למשתנה המקורי:

$$\int \frac{dx}{x+\sqrt{x}} = 2\ln(\sqrt{x}+1)+C.$$

הצבה כזו שימושית כאשר ביטוי שורשי מקשה על האינטגרציה, והחלפתו במשתנה חדש הופכת את האינטגרנד לביטוי רציונלי פשוט.

כלל הטרפז

כאשר אין פונקציה קדומה נוחה, כלומר כאשר קשה למצוא פונקציה שנגזרתה היא האינטגרנד, אפשר לקרב אינטגרל מסוים באמצעות שיטות נומריות. הרעיון הוא לחלק את הקטע $[a,b]$ ל־$n$ תת־קטעים שווים באורך

$h=\frac{b-a}{n},$

ולקרב את השטח מתחת לגרף באמצעות צורות פשוטות.

כלל הטרפז מחבר את שטחי הטרפזים הנוצרים בין ערכי הפונקציה בקצוות של כל תת־קטע. אם

$x_i=a+ih,$

אז נוסחת הטרפז היא

$$T_n= \frac{h}{2} \left[ f(x_0)+2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i)+f(x_n) \right].$$

המשמעות היא שנקודות הקצה נספרות פעם אחת, וכל הנקודות הפנימיות נספרות פעמיים.

דוגמה: נקרב את

$\int_0^2 x^2\,dx$

בעזרת כלל הטרפז עם $n=4$.

אורך תת־הקטע הוא

$h=\frac{2-0}{4}=0.5.$

טבלת הערכים היא:

$i$	$x_i$	$f(x_i)=x_i^2$
0	0	0
1	0.5	0.25
2	1	1
3	1.5	2.25
4	2	4

נציב בנוסחת הטרפז:

$$T_4= \frac{0.5}{2} \left[ 0+2(0.25+1+2.25)+4 \right].$$

נחשב את הסכום שבסוגריים:

$0.25+1+2.25=3.5,$

ולכן

$2(3.5)=7.$

לכן

$T_4=0.25(7+4)=0.25\cdot 11=2.75.$

הערך המדויק של האינטגרל הוא

$\int_0^2 x^2\,dx=\frac{8}{3}\approx 2.6667.$

לכן השגיאה בדוגמה היא

$2.75-\frac{8}{3}\approx 0.0833.$

כלל סימפסון

כלל סימפסון משפר את הדיוק בכך שהוא מקרב כל זוג תת־קטעים סמוכים באמצעות קשת פרבולה במקום קטע ישר. לכן מספר תת־הקטעים $n$ חייב להיות זוגי. הנוסחה היא

$$S_n= \frac{h}{3} \left[ f(x_0) + 4\sum_{i=1,3,5,\ldots}^{n-1}f(x_i) + 2\sum_{i=2,4,6,\ldots}^{n-2}f(x_i) + f(x_n) \right].$$

בניגוד לכלל הטרפז, שבו כל הנקודות הפנימיות מקבלות משקל 2, בכלל סימפסון הנקודות הפנימיות האי־זוגיות מקבלות משקל 4 והנקודות הפנימיות הזוגיות מקבלות משקל 2.

נחזור לאותה דוגמה:

$\int_0^2 x^2\,dx$

עם $n=4$.

כבר חישבנו את הערכים:

$f(0)=0,\quad f(0.5)=0.25,\quad f(1)=1,\quad f(1.5)=2.25,\quad f(2)=4.$

נציב בנוסחת סימפסון:

$$S_4= \frac{0.5}{3} \left[ 0+4(0.25+2.25)+2(1)+4 \right].$$

נחשב:

$0.25+2.25=2.5,$

ולכן

$4(2.5)=10.$

לכן

$$S_4= \frac{1}{6}(10+2+4) = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}.$$

בדוגמה זו הקירוב מדויק, משום שכלל סימפסון מדויק לפולינומים עד מעלה שלוש. עבור פונקציות שאינן פולינומיות, כלל סימפסון בדרך כלל נותן שגיאה קטנה יותר מכלל הטרפז עבור אותו מספר תת־קטעים.

הערכת קירוב וחסמי שגיאה

קירוב נומרי אינו רק חישוב של ערך מקורב, אלא גם הערכה של גודל השגיאה. אם ידוע מידע על נגזרות הפונקציה, אפשר לתת חסם עליון לשגיאת הקירוב.

עבור כלל הטרפז, אם $f''$ רציפה בקטע $[a,b]$, ו־$M_2$ הוא חסם עליון של $|f''|$ בקטע, כלומר

$|f''(x)|\le M_2$

לכל $x$ בקטע, אז

$$|E_T| \le \frac{(b-a)^3}{12n^2}M_2.$$

המשמעות היא שהשגיאה קטנה לפחות כמו $1/n^2$. לכן הכפלת מספר תת־הקטעים מקטינה את חסם השגיאה בערך פי 4.

עבור כלל סימפסון, אם $f^{(4)}$ רציפה בקטע $[a,b]$, ו־$M_4$ הוא חסם עליון של $|f^{(4)}|$ בקטע, אז

$$|E_S| \le \frac{(b-a)^5}{180n^4}M_4.$$

כאן השגיאה קטנה לפחות כמו $1/n^4$, ולכן הגדלת מספר תת־הקטעים משפרת את הדיוק מהר יותר מאשר בכלל הטרפז.

דוגמה להערכת שגיאה: נחזור לפונקציה

$f(x)=x^2$

בקטע $[0,2]$ עם $n=4$.

מתקיים

$f''(x)=2,$

ולכן אפשר לבחור

$M_2=2.$

חסם השגיאה של כלל הטרפז הוא

$$\frac{(2-0)^3}{12\cdot 4^2}\cdot 2 = \frac{8}{12\cdot 16}\cdot 2 = \frac{16}{192} = \frac{1}{12} \approx 0.0833.$$

זה תואם את השגיאה שקיבלנו בחישוב הישיר.

לעומת זאת,

$f^{(4)}(x)=0,$

ולכן חסם השגיאה של כלל סימפסון הוא 0. מכאן שהקירוב של סימפסון מדויק בדוגמה זו, כפי שאכן התקבל.