רגרסיה לינארית – קשר סטטיסטי ודיאגרמת פיזור

בשיעור זה נלמד כיצד בודקים קשר בין שני משתנים כמותיים לפני שמשתמשים בכלי ניבוי. הרעיון המרכזי הוא שהנתונים עצמם יכולים להראות אם קיימת מגמה משותפת, מה כיוונה ומה מידת הבהירות שלה. דיאגרמת הפיזור היא הכלי הגרפי העיקרי שבו משתמשים לבדיקה הראשונית הזאת.

קשר סטטיסטי בין שני משתנים כמותיים

משתנה כמותי הוא נתון מספרי שאפשר למדוד או לספור, כגון גובה, ציון, מספר שעות תרגול, טמפרטורה או מחיר. כאשר אוספים נתונים על אותן יחידות מדידה, מתקבלים זוגות ערכים. לכל תצפית יש ערך במשתנה אחד וערך במשתנה השני. תצפית יכולה להיות תלמיד אחד, יום אחד, מוצר אחד או כל פריט אחר שנמדד.

קשר סטטיסטי בין שני משתנים כמותיים קיים כאשר ערכיו של משתנה אחד נוטים להשתנות יחד עם ערכיו של המשתנה השני. למשל, כאשר מספר שעות התרגול גדל, הציון במבחן נוטה לגדול. הקשר אינו חייב להיות מדויק בכל תצפית ותצפית. מספיק שברוב הנתונים נראית מגמה כללית משותפת.

חשוב להבחין שהקשר נבחן על פני אוסף של תצפיות, ולא על סמך נקודה אחת בלבד. נקודה בודדת יכולה להיות חריגה או מקרית, ולכן המגמה הכללית של כלל הנתונים היא שמכרעת בקביעת הקשר.

קשר סטטיסטי אינו בהכרח קשר סיבתי

קשר סיבתי הוא טענה חזקה יותר מקשר סטטיסטי. בקשר סיבתי נאמר ששינוי במשתנה אחד גורם לשינוי במשתנה השני. לעומת זאת, קשר סטטיסטי רק מתאר מגמה משותפת שנצפתה בנתונים. לכן, גם אם שני משתנים נעים יחד, אין מכך הוכחה שאחד מהם הוא הסיבה של השני.

ייתכן שהקשר הסטטיסטי נובע מגורם שלישי שמשפיע על שני המשתנים. לדוגמה, בחודשי הקיץ נוטות לעלות מכירות הגלידה, ובמקביל עולה גם מספר הרוחצים בבריכות. הקשר בין המכירות לבין הרחצה הוא קשר סטטיסטי, אך אין זו בהכרח מסקנה נכונה שהגלידה גורמת לרחצה. ייתכן שגורם משותף, כגון מזג האוויר, מסביר את שתי העליות.

כדי לבסס קשר סיבתי, לרוב נדרש תכנון מחקרי זהיר, שליטה בגורמים נוספים או ניסוי מבוקר. בדיאגרמת פיזור ובטבלת נתונים אפשר לזהות מגמה, אך לא תמיד אפשר להסיק ממנה סיבה ותוצאה.

דיאגרמת פיזור: ייצוג גרפי של זוגות נתונים

דיאגרמת פיזור היא גרף שמציג את כל התצפיות במערכת צירים. לכל תצפית יש שני ערכים, והם קובעים את שיעורי הנקודה. הערך של אחד המשתנים מוצג על הציר האופקי, והערך של המשתנה השני מוצג על הציר האנכי. כך מתקבל ענן של נקודות, שבו כל נקודה מייצגת תצפית אחת בלבד.

אם נקודה מסוימת נמצאת גבוה יותר על הציר האנכי, פירושה שהערך של המשתנה המוצג על ציר זה גדול יותר באותה תצפית. אם היא נמצאת ימינה יותר, הערך של המשתנה המוצג על הציר האופקי גדול יותר. לכן המיקום של כל נקודה מאפשר לקרוא את שני הערכים שלה בו זמנית.

נהוג לסמן בציר האופקי את המשתנה הבלתי תלוי, כלומר המשתנה שעשוי להסביר או לתאר שינוי במשתנה השני. בציר האנכי מסמנים את המשתנה התלוי, כלומר המשתנה שאותו רוצים להבין או לנבא. עם זאת, עצם הצגת הנתונים בדיאגרמה אינה מוכיחה תלות או סיבה; היא רק מאפשרת לראות את הקשר בין הערכים.

בניית דיאגרמת פיזור מטבלת נתונים

כדי לבנות דיאגרמת פיזור מתוך טבלה, יש לעבור מהצגה טבלאית להצגה גרפית של זוגות ערכים. השלבים העיקריים הם:

• בחירת המשתנה שיוצג על ציר x והמשתנה שיוצג על ציר y.
• סימון הצירים וכתיבת שם כל משתנה, כולל יחידות מדידה אם הן נתונות.
• בחירת סולם מתאים כך שכל הערכים ייכנסו לתחום הגרף.
• סימון נקודה עבור כל תצפית, לפי הערך שלה בשני המשתנים.

אם, למשל, נמדדו עבור תלמידים מספר שעות תרגול וציון במבחן, אפשר לבחור את מספר השעות כמשתנה על ציר x ואת הציון כמשתנה על ציר y. עבור כל תלמיד נסמן נקודה אחת בלבד, ששיעוריה הם זוג הערכים של אותו תלמיד. אם תצפית אחת היא, לדוגמה, ארבע שעות תרגול וציון שמונים, הנקודה תסומן במקום שבו הערך על ציר x הוא ארבע והערך על ציר y הוא שמונים.

לאחר סימון כל הנקודות מתקבלת דיאגרמת פיזור מלאה. בשלב זה אפשר לעבור מקריאת נתונים בודדים לבחינת המגמה הכללית של ענן הנקודות.

קריאת מידע מדיאגרמת פיזור

קריאת דיאגרמת פיזור מתחילה בזיהוי התמונה הכללית של ענן הנקודות. אין צורך להתמקד תחילה בכל נקודה בנפרד; יש לבחון אם הנקודות יוצרות מגמה ברורה או שהן מפוזרות ללא סדר.

בעת קריאת הגרף נשאל כמה שאלות מנחות:

• האם יש כיוון כללי לענן הנקודות?
• האם הנקודות מתרכזות סביב קו דמיוני, או מתפזרות על פני שטח רחב?
• האם המגמה נראית כקו ישר, או כצורה אחרת?
• האם יש תצפיות רחוקות מאוד מהמגמה הכללית?

במסגרת רגרסיה לינארית, חשוב במיוחד לבדוק אם המגמה נראית לינארית, כלומר אם אפשר לתאר אותה בקירוב באמצעות קו ישר. אם הנקודות מסודרות סביב קו ישר עולה או יורד, יש בסיס לבדיקת קשר לינארי. אם אין מגמה ישרה ברורה, השימוש בקו ישר עשוי שלא להתאים לנתונים.

קביעת קיום קשר סטטיסטי על סמך דיאגרמה

דיאגרמת פיזור מאפשרת לקבוע אם קיים קשר סטטיסטי ברור בין שני המשתנים. אם הנקודות יוצרות ענן עם כיוון ברור, נאמר שיש קשר סטטיסטי. אם הענן נראה אקראי לחלוטין וללא כיוון, לא נזהה קשר לינארי ברור.

חשוב לזכור שהמילה "קשר" אינה מחייבת שכל הנקודות יימצאו בדיוק על קו אחד. בנתונים אמיתיים יש בדרך כלל פיזור טבעי. לכן מספיק שרוב הנקודות נעות באותו כיוון כללי, כדי לזהות קשר לא מושלם.

אם הנקודות מפוזרות כך שאי אפשר לזהות עלייה או ירידה משותפת, נאמר שאין קשר לינארי נראה לעין. במצב כזה, קו ישר לא יתאר היטב את הקשר בין המשתנים.

קביעת קיום קשר סטטיסטי על סמך טבלה

גם טבלת נתונים יכולה לשמש לזיהוי קשר, בעיקר כאשר מספר התצפיות אינו גדול. כדי לעשות זאת, נוח לסדר את הנתונים לפי ערכי המשתנה הראשון מהקטן לגדול, ואז לבחון כיצד משתנה המשתנה השני.

אם כאשר ערכי המשתנה הראשון גדלים, ערכי המשתנה השני נוטים גם הם לגדול, נזהה קשר חיובי. אם ערכי המשתנה השני נוטים לקטון, נזהה קשר שלילי. אם אין כיוון ברור והערכים עולים ויורדים לסירוגין ללא מגמה, לא נקבע שיש קשר לינארי ברור.

לדוגמה, אם בטבלה מופיעים עבור ילדים גיל ומשקל, ונראה שעם עלייה בגיל גם המשקל נוטה לעלות, נזהה קשר חיובי. לעומת זאת, אם בטבלה מופיעים מחיר מוצר וכמות המכירות, ונראה שכאשר המחיר עולה הכמות נוטה לרדת, נזהה קשר שלילי.

בטבלה, כמו בדיאגרמה, אין דרישה שהמגמה תופיע בכל שורה בדיוק מלא. קשר סטטיסטי יכול להיות לא מושלם, ולכן בודקים את הנטייה הכללית של הנתונים ולא כל שינוי בודד בלבד.

כיוון הקשר: קשר חיובי וקשר שלילי

קשר חיובי בין שני משתנים פירושו שכאשר אחד המשתנים גדל, גם המשתנה השני נוטה לגדול. בדיאגרמת פיזור, קשר חיובי נראה כענן נקודות שעולה משמאל לימין. לדוגמה, קשר בין מספר שעות תרגול לציון במבחן עשוי להיות חיובי אם תלמידים שמתרגלים יותר נוטים לקבל ציונים גבוהים יותר.

קשר שלילי פירושו שכאשר אחד המשתנים גדל, המשתנה השני נוטה לקטון. בדיאגרמת פיזור, קשר שלילי נראה כענן נקודות שיורד משמאל לימין. לדוגמה, קשר בין מחיר מוצר לכמות המכירות עשוי להיות שלילי אם כאשר המחיר עולה, פחות אנשים קונים את המוצר.

הכיוון נקבע לפי המגמה הכללית של כלל הנקודות, ולא לפי נקודה אחת או שורה אחת בטבלה. לכן, גם אם יש תצפית שחורגת מהמגמה, אפשר עדיין לקבוע את כיוון הקשר לפי רוב הנתונים.

קשר מושלם וקשר לא מושלם

קשר מושלם בין שני משתנים מתקבל כאשר כל הנקודות בדיאגרמת הפיזור נמצאות בדיוק על קו ישר אחד. במצב כזה, הידיעה של ערך אחד מאפשרת לדעת בדיוק את הערך של המשתנה השני, לפי הקשר הישר. קשר מושלם הוא מצב תיאורטי או נדיר בנתונים אמיתיים.

קשר לא מושלם מתקבל כאשר יש מגמה כללית ברורה, אך הנקודות אינן נמצאות כולן על הקו. במצב כזה, אפשר לזהות את כיוון הקשר, אך יש פיזור סביב המגמה. ככל שהנקודות קרובות יותר לקו דמיוני אחד, הקשר נראה ברור יותר; ככל שהן מפוזרות יותר, הקשר נראה חלש יותר.

קשר לא מושלם אינו אומר שאין קשר בין המשתנים. הוא אומר שהקשר אינו מדויק לחלוטין, ושיש שונות טבעית בין התצפיות. בנתונים מהמציאות, כגון מדידות של בני אדם, מוצרים או תופעות טבע, קשר לא מושלם הוא המצב הנפוץ.