שטחי צורות גאומטריות וסיכום אינטגרטיבי

בשיעור זה נלמד כיצד מחשבים שטח של משולש ושל מקבילית כאשר נתונות שתי צלעות והזווית הכלואה ביניהן. הרעיון המרכזי הוא שהסינוס של הזווית מאפשר לעבור מזווית לגובה, ולכן הוא מחליף את הצורך לדעת גובה במפורש. בהמשך נשתמש בכלים אלה כדי לחשב שטחים בצורות מורכבות ובבעיות מעגל המשלבות גאומטריה אנליטית, טריגונומטריה וגאומטריה של המישור.

שטח משולש לפי שתי צלעות והזווית שביניהן

במשולש, שטח שווה למחצית מכפלת בסיס בגובה המתאים לו. כאשר הגובה אינו נתון, אך ידועות שתי צלעות והזווית הכלואה ביניהן, אפשר לחשב את השטח ישירות.

אם במשולש $ABC$ נתונות הצלעות $AB=c$, $AC=b$ והזווית $A$ שביניהן, אז:

$S_{ABC}=\frac{1}{2}bc\sin A$

הזווית הכלואה היא הזווית שנוצרת בין שתי הצלעות הידועות. הנוסחה נובעת מכך שהגובה לצלע $AB$ שווה ל-$b\sin A$. לכן שטח המשולש הוא מחצית מהצלע $AB$ כפול הגובה שלה.

הנוסחה תקפה גם כאשר הזווית הכלואה קהה. במשולש, זווית קהה גדולה מ-90 מעלות, אך מתקיים $\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha$, ולכן ערך הסינוס של הזווית הקהה חיובי ומתאים לחישוב הגובה.

דוגמה: אם שתי צלעות במשולש הן 6 ס"מ ו-8 ס"מ והזווית שביניהן היא $30^\circ$, אז:

$S=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8\cdot \sin 30^\circ=24\cdot \frac{1}{2}=12$

כלומר שטח המשולש הוא 12 סמ"ר.

שטח מקבילית לפי שתי צלעות סמוכות והזווית שביניהן

מקבילית היא מרובע שבו כל שני זוגות של צלעות נגדיות מקבילים. אם נתונות שתי צלעות סמוכות במקבילית והזווית הכלואה ביניהן, שטח המקבילית שווה למכפלת הצלעות בסינוס הזווית.

אם צלעות סמוכות הן $a$ ו-$b$, והזווית ביניהן היא $\alpha$, אז:

$S=ab\sin\alpha$

אפשר להבין את הנוסחה בשתי דרכים:

• אם בוחרים את הצלע $a$ כבסיס, הגובה המתאים לה הוא $b\sin\alpha$, ולכן השטח הוא $a\cdot b\sin\alpha$.
• אלכסון במקבילית מחלק אותה לשני משולשים שווי שטח. שטח כל משולש הוא $\frac{1}{2}ab\sin\alpha$, ולכן שטח המקבילית כולה הוא $ab\sin\alpha$.

כאשר הזווית בין הצלעות היא $90^\circ$, מתקבל מלבן או ריבוע. במקרה זה $\sin 90^\circ=1$, והנוסחה נעשית $S=ab$, כלומר מכפלת אורכי הצלעות הסמוכות.

כאשר הזווית אינה ישרה, הגובה אינו שווה לצלע השכנה אלא לרכיב שלה בכיוון האנך לבסיס, והסינוס מחשב רכיב זה.

חישוב שטח של צורות גאומטריות באמצעות פירוק והשלמה

חישוב שטח של צורה מורכבת נשען על פירוק לצורות מוכרות או על השלמה לצורה גדולה יותר. במקום לחפש נוסחה אחת לכל צורה, מחשבים שטחים של חלקים פשוטים ומחברים או מחסרים אותם.

דרכים נפוצות:

• פירוק למשולשים: במרובע או במצולע אפשר להעביר אלכסונים ולחשב את שטח כל משולש בנפרד.
• פירוק למלבנים ולמקביליות: צורה דמוית מדרגות או מסדרון יכולה להתפרק למלבנים קטנים.
• השלמה וחיסור: משלימים את הצורה למלבן או למקבילית, מחשבים את השטח הגדול, ומחסרים ממנו שטחים של חלקים שאינם שייכים לצורה.
• שימוש בטריגונומטריה: אם חסר גובה, אך יש צלעות וזוויות, משתמשים בנוסחאות השטח שלמדנו.

בבעיות שבהן נתון שטח וחסר ממד, הופכים את הנוסחה למשוואה. למשל, אם שטח משולש ידוע ונתונות שתי צלעות או צלע אחת וזווית, אפשר למצוא את הנעלם. אם שטח מקבילית ידוע ונתונות שתי צלעות סמוכות, אפשר למצוא את סינוס הזווית.

כאשר הנתונים ניתנים במערכת צירים, אורכי צלעות יכולים להתקבל ממרחק בין נקודות, וזוויות יכולות להתקבל משיפועים או מתכונות של צורות. לדוגמה, אם שני ישרים מאונכים, הזווית ביניהם היא $90^\circ$, ואם ידוע שיפוע של ישר, אפשר להסיק ממנו זווית עם ציר ה-$x$.

שטחים הקשורים למעגל

מעגל הוא אוסף הנקודות שמרחקן קבוע מנקודה נתונה. המרחק הזה הוא הרדיוס, והנקודה היא מרכז המעגל. העיגול הוא התחום הכולל את המעגל ואת כל הנקודות שבתוכו.

שני גדלים בסיסיים במעגל:

• היקף המעגל: $2\pi R$
• שטח העיגול: $\pi R^2$

כאשר $R$ הוא רדיוס המעגל.

גזרה היא חלק מהעיגול התחום בין שני רדיוסים והקשת שביניהם. אם הזווית המרכזית של הגזרה היא $\alpha$ במעלות, שטח הגזרה הוא החלק היחסי של הזווית מתוך $360^\circ$:

S_{גזרה}=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot \pi R^2

המשולש שנוצר על ידי שני הרדיוסים והמיתר הוא משולש שווה שוקיים. שטח המשולש הזה הוא:

S_{משולש}=\frac{1}{2}R^2\sin\alpha

מקטע מעגל הוא חלק מהעיגול התחום בין מיתר לקשת המתאימה לו. במקטע קטן, שטח המקטע שווה לשטח הגזרה פחות שטח משולש הרדיוסים:

S_{מקטע}=S_{גזרה}-S_{משולש}

כאן מתבטא השילוב בין טריגונומטריה לגאומטריה של המישור: הזווית המרכזית קובעת את חלק הגזרה, והסינוס של אותה זווית מאפשר לחשב את שטח המשולש שיש להחסיר.

שילוב גאומטריה אנליטית בבעיות מעגל

בגאומטריה אנליטית, מעגל שמרכזו $(a,b)$ ורדיוסו $R$ מתואר על ידי המשוואה:

$(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$

משוואה זו מאפשרת לעבור בין נתונים גאומטריים לנתונים מספריים. אם ידועים מרכז המעגל ונקודה על המעגל, הרדיוס הוא המרחק בין הנקודות. אם ידועה משוואת המעגל, אפשר לקרוא ממנה את המרכז ואת הרדיוס.

משיק למעגל הוא ישר הנוגע במעגל בנקודה אחת בלבד. תכונה מרכזית: משיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה. לכן יש שני תנאים שימושיים:

• אם ידועה נקודת ההשקה, הרדיוס לנקודת ההשקה והמשיק מאונכים זה לזה.
• אם ידוע ישר, הוא משיק למעגל אם מרחק מרכז המעגל מהישר שווה לרדיוס.

במערכת צירים אפשר להשתמש בשיפועים כדי לתאר אנכיות. אם לשני ישרים יש שיפועים מוגדרים $m_1$ ו-$m_2$, הם מאונכים כאשר $m_1\cdot m_2=-1$. לכן אם ידוע שיפוע הרדיוס, שיפוע המשיק הוא ההופכי הנגדי שלו, ולהפך.

שטחים בבעיות משיקים מחושבים לעיתים בעזרת משולשים ישרי זווית. אם מרכז המעגל, נקודת ההשקה ונקודה חיצונית יוצרים משולש, אפשר לחשב את שטחו לפי מחצית מכפלת שני ניצבים, או לפי שתי צלעות וסינוס הזווית שביניהן. אם יוצאים שני משיקים מאותה נקודה חיצונית, קטעי המשיקים שווים, והקטע המחבר את הנקודה החיצונית למרכז המעגל חוצה את הזווית בין המשיקים. נתונים אלה מאפשרים לחשב שטחים של שני משולשים שווים או של צורה סימטרית.

סיכום אינטגרטיבי במעגל: שילוב טריגונומטריה וגאומטריה של המישור

בעיות מעגל מורכבות דורשות פעמים רבות שילוב של כמה תחומים בבת אחת: גאומטריה אנליטית, טריגונומטריה וגאומטריה של המישור. השילוב מתבטא בכך שאותה בעיה כוללת נקודות במערכת צירים, אורכי צלעות או מיתרים, זוויות ושטחים.

כדי להתמצא בבעיה כזו, נוח לעבוד לפי סדר:

• זיהוי הצורות: מעגל, משולש, מקבילית, משיק או גזרה.
• מעבר לייצוג נוח: קואורדינטות, אורכים, זוויות או משוואות.
• מציאת נתונים חסרים: רדיוס, מרכז, אורך מיתר, שיפוע או זווית.
• בחירת נוסחת שטח מתאימה: משולש, מקבילית, גזרה, מקטע או הפרש שטחים.

הקשרים מרכזיים במעגל:

• זווית מרכזית נשענת על קשת, וגודלה כגודל הקשת במעלות.
• זווית היקפית הנשענת על אותה קשת שווה למחצית הזווית המרכזית.
• זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה.
• באותו מעגל, מיתרים שווים מתאימים לזוויות מרכזיות שוות.
• במשולש חסום במעגל, משפט הסינוסים מקשר בין צלע לזווית שמולה ובין רדיוס המעגל החוסם:

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

כאשר $R$ הוא רדיוס המעגל החוסם את המשולש.

לדוגמה, אם במשולש חסום במעגל ידועה צלע $a$ והזווית $A$ שמולה, אפשר למצוא את רדיוס המעגל:

$R=\frac{a}{2\sin A}$

לאחר מציאת הרדיוס אפשר לחשב שטח עיגול, שטח גזרה או אורך קשת. אם המשולש הוא משולש רדיוסים, שטחו יכול להיות מחושב לפי $\frac{1}{2}R^2\sin\alpha$. אם המשולש נוצר על ידי מיתר ונקודה על המעגל, אפשר להשתמש בזווית ההיקפית כדי למצוא את הזווית המרכזית, ואז לעבור לשטח גזרה או מקטע.

בבעיה אינטגרטיבית אין צורך לזכור נוסחת שטח אחת גדולה. העיקרון הוא לזהות איזה חלק של הצורה ניתן לחישוב ישיר, איזה חלק דורש מציאת זווית או אורך, ואיזה חלק מתקבל כהפרש בין שטחים. הסינוס משמש כגשר בין זווית לאורך או לשטח, והמעגל משמש כמסגרת שבה נפגשים כל הכלים.