תכונות הפונקציה g(x)=1/f(x)

בשיעור זה נבחן פונקציות מהצורה g(x)=1/f(x), כאשר f(x) פולינום ממעלה שנייה לכל היותר. הרעיון המרכזי הוא שתכונות רבות של g נגזרות ישירות מתכונות f: נקודות האפס של f קובעות את תחום ההגדרה ואת האסימפטוטות האנכיות, סימן f קובע את סימן g, ונקודות הקיצון של f הופכות לנקודות קיצון מסוג הפוך אצל g.

הקשר בין f(x) לבין g(x)=1/f(x)

הפונקציה g מוגדרת כפונקציה ההופכית של f: לכל x שבו f(x) מוגדר ושונה מאפס, מתקיים g(x)=1/f(x). כלומר, הערך של g הוא המספר ההופכי של הערך של f באותה נקודה.

כאשר f(x) קרוב לאפס, הערך המוחלט של g(x) נעשה גדול מאוד. לעומת זאת, כאשר |f(x)| גדול, הערך של g(x) מתקרב לאפס. לכן הגרף של g משקף את ההתנהגות של f בצורה הפוכה מבחינת גובה: אזורים שבהם גרף f קרוב לציר ה־x מתאימים לענפים גבוהים או נמוכים מאוד של g, ואזורים שבהם גרף f רחוק מציר ה־x מתאימים לנקודות של g הקרובות לציר ה־x.

מכיוון ש־f(x) הוא פולינום, הוא מוגדר לכל מספר ממשי. לכן נקודות אי־ההגדרה של g יכולות להופיע רק במקומות שבהם f(x)=0.

תחום ההגדרה של g(x)

תחום ההגדרה של g הוא כל המספרים הממשיים שעבורם f(x)≠0. כדי למצוא אותו, יש לפתור את המשוואה f(x)=0 ולהוציא את הפתרונות מתחום ההגדרה.

אם f הוא פולינום קבוע ושונה מאפס, אז g גם היא פונקציה קבועה, ותחום ההגדרה שלה הוא כל המספרים הממשיים. אם f הוא פולינום ממעלה ראשונה, יש לכל היותר נקודת אי־הגדרה אחת. אם f הוא פולינום ממעלה שנייה, ייתכנו שתי נקודות אי־הגדרה, נקודה אחת, או אף לא אחת, בהתאם למספר הפתרונות של המשוואה f(x)=0.

אם f(x)=0 בנקודה x=a, אז הנקודה x=a אינה שייכת לתחום ההגדרה של g. בגרף של g תופיע קטיעה בנקודה זו, ובדרך כלל תהיה שם אסימפטוטה אנכית.

נקודות חיתוך עם הצירים

לגרף של g אין נקודות חיתוך עם ציר ה־x. הסיבה היא שהמשוואה g(x)=0 שקולה למשוואה 1/f(x)=0. שבר שהמונה שלו הוא 1 אינו יכול להתאפס, ולכן לא קיים ערך x שבו g(x)=0.

לעומת זאת, ייתכן חיתוך עם ציר ה־y. אם x=0 שייך לתחום ההגדרה של g, כלומר אם f(0)≠0, אז נקודת החיתוך עם ציר ה־y היא:

(0, 1/f(0))

אם f(0)=0, הפונקציה g אינה מוגדרת בנקודה x=0, ולכן אין לה נקודת חיתוך עם ציר ה־y.

תחומי חיוביות ותחומי שליליות

הסימן של g זהה לסימן של f, משום שהמונה בפונקציה g הוא המספר החיובי 1. לכן:

• g(x)>0 בדיוק בתחומים שבהם f(x)>0.
• g(x)<0 בדיוק בתחומים שבהם f(x)<0.

אם f נתונה בגרף, תחומי החיוביות של g הם התחומים שבהם גרף f נמצא מעל ציר ה־x, ותחומי השליליות של g הם התחומים שבהם גרף f נמצא מתחת לציר ה־x.

נקודות שבהן f(x)=0 אינן שייכות לתחום ההגדרה של g. לכן הן משמשות גבולות בין תחומי חיוביות ושליליות, אך אינן נכללות באף תחום.

תחומי עלייה וירידה

כדי לקבוע תחומי עלייה וירידה של g על סמך f, אפשר להשתמש בנגזרת. נגזרת הפונקציה g היא:

g'(x) = -f'(x) / (f(x))^2

בתחום ההגדרה של g מתקיים (f(x))^2 > 0, ולכן סימן הנגזרת של g נקבע רק לפי הסימן של -f'(x). מכאן מתקבל כלל חשוב:

• בתחום שבו f עולה, כלומר f'(x)>0, הפונקציה g יורדת.
• בתחום שבו f יורדת, כלומר f'(x)<0, הפונקציה g עולה.

יש להתייחס לנקודות אי־ההגדרה של g כגבולות שמפצלים את תחומי העלייה והירידה. אין מחברים תחומים משני צדי נקודת אי־הגדרה, גם אם בשני התחומים מתקבל אותו כיוון תנועה.

נקודות קיצון

נקודת קיצון של g יכולה להתקבל בנקודה שבה f'(x)=0, ובלבד שהנקודה שייכת לתחום ההגדרה של g, כלומר f(x)≠0.

אם ל־f יש מינימום מקומי בנקודה x=a ו־f(a)≠0, אז ל־g יש מקסימום מקומי באותה נקודה. הערך של g בנקודה זו הוא 1/f(a).

אם ל־f יש מקסימום מקומי בנקודה x=a ו־f(a)≠0, אז ל־g יש מינימום מקומי באותה נקודה.

ההסבר הוא שבסביבת נקודת קיצון של f משתנה כיוון התנועה של f: מעלייה לירידה או מירידה לעלייה. מכיוון שכיווני העלייה והירידה של g הפוכים לאלה של f, סוג הקיצון של g יהיה הפוך לסוג הקיצון של f.

אם נקודת הקיצון של f נמצאת על ציר ה־x, כלומר f(a)=0, אז הנקודה אינה בתחום ההגדרה של g, ולכן אין שם נקודת קיצון של g.

אסימפטוטות אנכיות

אסימפטוטה אנכית היא ישר אנכי שגרף הפונקציה מתקרב אליו ללא הגבלה. כלומר, כאשר x מתקרב לנקודה מסוימת, ערכי הפונקציה שואפים לאינסוף או למינוס אינסוף.

בפונקציה g(x)=1/f(x), אסימפטוטות אנכיות מופיעות בנקודות שבהן f(x)=0. בנקודות אלה המכנה של g מתאפס, ולכן g אינה מוגדרת. כאשר x מתקרב לנקודה כזו, הערך של f(x) מתקרב לאפס, ולכן הערך המוחלט של 1/f(x) גדל ללא הגבלה.

אם f הוא פולינום ממעלה ראשונה, יש לו שורש יחיד. בסביבת שורש כזה הסימן של f מתחלף, ולכן g שואפת לאינסוף מצד אחד ולמינוס אינסוף מצד אחר.

אם f הוא פולינום ממעלה שנייה, יש לבדוק את סוג השורשים:

• אם ל־f יש שני שורשים שונים, כל אחד מהם הוא שורש פשוט. ליד כל שורש הסימן של f מתחלף, ולכן ליד כל שורש מתקבלת אסימפטוטה אנכית עם שאיפה לאינסוף מצד אחד ולמינוס אינסוף מצד אחר.
• אם ל־f יש שורש כפול, הסימן של f אינו מתחלף סביבו. במקרה זה שני ענפי הגרף של g ליד אותה נקודה שואפים לאותו כיוון: שניהם כלפי מעלה אם f חיובי בסביבה, או שניהם כלפי מטה אם f שלילי בסביבה.

התנהגות באינסוף ואסימפטוטה אופקית

כאשר x שואף לאינסוף או למינוס אינסוף, הפולינום f(x) מתנהג לפי האיבר המוביל שלו. אם f הוא פולינום ממעלה ראשונה או ממעלה שנייה עם מקדם מוביל שונה מאפס, הערך המוחלט של f(x) גדל ללא הגבלה. לכן g(x)=1/f(x) מתקרב לאפס.

מכאן שלגרף g יש אסימפטוטה אופקית y=0, שהיא ציר ה־x, הן עבור x→∞ והן עבור x→-∞.

אם f הוא פולינום קבוע ושונה מאפס, אז g גם היא פונקציה קבועה, והגרף שלה הוא קו אופקי. אם f הוא פולינום האפס, כלומר f(x)=0 לכל x, אז הביטוי 1/f(x) אינו מוגדר ואין פונקציה g.

סרטוט הגרף כאשר f(x) נתונה בביטוי אלגברי

כאשר f נתונה בביטוי אלגברי, סדר פעולות נוח לסרטוט g הוא:

1. מציאת תחום ההגדרה על ידי פתרון המשוואה f(x)=0.
2. סימון אסימפטוטות אנכיות בנקודות אי־ההגדרה.
3. בדיקת סימן f בכל תחום, כדי לדעת אם גרף g נמצא מעל ציר ה־x או מתחתיו.
4. מציאת נקודת החיתוך עם ציר ה־y, אם היא קיימת.
5. בדיקת נקודות קיצון של f וקביעת נקודות הקיצון המתאימות של g.
6. שרטוט ענפים המתקרבים לאסימפטוטות האנכיות ומתקרבים לציר ה־x כאשר x מתרחק.

נבחן לדוגמה את הפונקציה f(x)=x^2-1. הפונקציה f מתאפסת בנקודות x=-1 ו־x=1, ולכן g(x)=1/(x^2-1) אינה מוגדרת בנקודות אלה. יש אסימפטוטות אנכיות x=-1 ו־x=1.

בתחומים x<-1 ו־x>1 מתקבל f(x)>0, ולכן g(x)>0. בתחום -1<x<1 מתקבל f(x)<0, ולכן g(x)<0. הפונקציה f מקבלת מינימום בנקודה x=0, ולכן g מקבלת מקסימום מקומי באותה נקודה. מאחר ש־f(0)=-1, מתקבלת נקודת המקסימום של g בנקודה (0,-1).

סרטוט הגרף כאשר f(x) נתונה בגרף

כאשר נתון גרף של f, אפשר לבנות סקיצה של g בלי לחשב ביטוי מפורש. לשם כך משתמשים בקשרים הישירים בין שני הגרפים:

• נקודות שבהן גרף f חותך את ציר ה־x הופכות לאסימפטוטות אנכיות של g.
• תחומים שבהם גרף f נמצא מעל ציר ה־x נשארים חיוביים גם אצל g, ותחומים שבהם גרף f נמצא מתחת לציר ה־x נשארים שליליים גם אצל g.
• במקומות שבהם f עולה, הפונקציה g יורדת. במקומות שבהם f יורדת, הפונקציה g עולה.
• נקודת מינימום של f הופכת לנקודת מקסימום של g, ונקודת מקסימום של f הופכת לנקודת מינימום של g, ובלבד שהנקודה אינה נמצאת על ציר ה־x.
• כאשר גרף f מתרחק מציר ה־x, גרף g מתקרב לציר ה־x. כאשר גרף f מתקרב לציר ה־x, גרף g מתרחק ממנו לכיוון האסימפטוטה האנכית.

אם גרף f משיק לציר ה־x בנקודה מסוימת ואינו חותך אותו, כלומר f מתאפסת שם בשורש כפול, גם אז הנקודה היא נקודת אי־הגדרה של g ויש אסימפטוטה אנכית. ההבדל הוא ששני הענפים של g ליד אותה נקודה יהיו באותו צד של ציר ה־x, ולא אחד מעליו ואחד מתחתיו.

בסרטוט כזה חשוב לזכור שגובה הגרף של g אינו זהה לגובה של f. הערכים של g הם ההופכיים של ערכי f, ולכן נקודה שבה f קרובה מאוד לאפס תיתן ענף גבוה או נמוך מאוד של g, ונקודה שבה f רחוקה מציר ה־x תיתן נקודה קרובה לציר ה־x בגרף g.