דמיון משולשים – הגדרה וקביעה

השיעור עוסק בקשר בין שני משולשים שצורתם זהה, גם אם גודלם שונה. הרעיון המרכזי הוא שדמיון נקבע לפי זוויות מתאימות שוות ולפי יחס קבוע בין צלעות מתאימות. לכן, במקרים רבים אפשר לקבוע ששני משולשים דומים גם בלי לדעת את כל אורכי הצלעות.

הגדרת דמיון משולשים

שני משולשים נקראים דומים אם מתקיימים שני תנאים:

• כל זוג זוויות מתאימות שווה.
• כל זוג צלעות מתאימות נמצא באותו יחס.

המשמעות היא שאם מגדילים או מקטינים משולש באופן אחיד, מתקבל משולש דומה למשולש המקורי. הזוויות אינן משתנות, וכל הצלעות משתנות באותו גורם.

את הדמיון כותבים בעזרת הסימן ~. למשל, הסימון ΔABC ~ ΔDEF אומר שהמשולש ABC דומה למשולש DEF. סדר הקודקודים חשוב: אם נכתב ΔABC ~ ΔDEF, הכוונה היא ש-∠A מתאימה ל-∠D, ∠B מתאימה ל-∠E, ו-∠C מתאימה ל-∠F.

בהתאם לכך, הצלע AB מתאימה לצלע DE, הצלע BC מתאימה לצלע EF, והצלע CA מתאימה לצלע FD.

צלעות מתאימות הן צלעות שנמצאות מול זוויות מתאימות שוות. לכן, כשמוצאים דמיון, תחילה מזהים אילו זוויות שוות, ורק לאחר מכן קובעים אילו צלעות מתאימות זו לזו.

אם אורכי הצלעות של משולש אחד הם 2, 3, 4, ואורכי הצלעות של משולש אחר הם 4, 6, 8, אפשר לראות שכל צלע במשולש השני גדולה פי 2 מן הצלע המתאימה לה. היחס הקבוע הזה מעיד על דמיון, בתנאי שההתאמה בין הצלעות נכונה.

יחס הדמיון

כאשר שני משולשים דומים, היחס בין כל צלע במשולש אחד לבין הצלע המתאימה לה במשולש השני הוא קבוע. יחס קבוע זה נקרא יחס הדמיון.

אם ΔABC ~ ΔDEF, אז מתקיים:

AB / DE = BC / EF = CA / FD = k

המספר k הוא יחס הדמיון בין המשולשים, לפי סדר הכתיבה. אם k = 3, כל צלע במשולש הראשון גדולה פי 3 מן הצלע המתאימה לה במשולש השני. אם k = 1/2, כל צלע במשולש הראשון קטנה פי 2 מן הצלע המתאימה לה במשולש השני. אם k = 1, המשולשים שווים בכל צלעותיהם, ולמעשה הם חופפים. חפיפה היא מקרה פרטי של דמיון.

יחס הדמיון מאפשר לחשב אורך צלע חסרה. אם ידוע יחס הדמיון וידועה צלע אחת, אפשר למצוא את הצלע המתאימה לה על ידי הכפלה ביחס הדמיון או חלוקה בו, בהתאם לכיוון ההשוואה. יש להקפיד תמיד להשוות צלעות מתאימות בלבד, ולא צלעות שנמצאות באותו מקום בתרשים רק במקרה.

משפט הדמיון זווית־זווית

כדי לקבוע ששני משולשים דומים, אין צורך לבדוק את כל הצלעות. מספיק להראות ששתי זוויות במשולש אחד שוות לשתי זוויות במשולש השני. כלל זה נקרא משפט הדמיון זווית־זווית.

הנימוק למשפט נובע מכך שסכום הזוויות בכל משולש הוא 180°. אם שתי זוויות במשולש אחד שוות לשתי זוויות במשולש שני, אז גם הזווית השלישית חייבת להיות שווה בשני המשולשים. לכן מתקיים שוויון של כל שלוש הזוויות, ולפי הגדרת הדמיון המשולשים דומים.

לדוגמה, אם במשולש אחד נתונות זוויות של 50° ו-60°, הזווית השלישית היא 70°. אם במשולש אחר נתונות זוויות של 50° ו-60°, גם בו הזווית השלישית היא 70°. מכיוון שכל שלוש הזוויות שוות, שני המשולשים דומים.

הדמיון אינו תלוי במיקום המשולשים או בכיוון שלהם. גם אם משולש אחד מסובב, הפוך או משורטט בגודל שונה, הוא יכול להיות דומה למשולש אחר, ובלבד שהזוויות המתאימות שוות.

מציאת זוויות שוות לצורך קביעת דמיון

בשאלות רבות הזוויות אינן נתונות במפורש. כדי להשתמש במשפט זווית־זווית, יש למצוא זוויות שוות בעזרת משפטי זוויות ידועים. שלושה כלים מרכזיים הם סכום הזוויות במשולש, זוויות קודקודיות וזוויות בין ישרים מקבילים.

סכום זוויות במשולש

סכום הזוויות בכל משולש הוא 180°. אם ידועות שתי זוויות במשולש, אפשר לחשב את הזווית השלישית על ידי החסרת סכומן מ-180°.

אם בשני משולשים יש זוג זוויות שוות, והזווית השלישית חושבה בשניהם, מתקבלת התאמה מלאה בין הזוויות. למשל, אם במשולש אחד ∠A = 40° ו-∠B = 75°, אז ∠C = 65°. אם במשולש אחר יש זוויות של 40° ו-75°, גם הזווית השלישית שלו היא 65°, ולכן המשולשים דומים.

זוויות קודקודיות

זוויות קודקודיות הן זוג זוויות הנוצרות כאשר שני ישרים נחתכים. הזוויות הקודקודיות נמצאות זו מול זו סביב נקודת החיתוך, והן תמיד שוות.

בתרשימים שבהם שני משולשים נפגשים בנקודה אחת, לעיתים יש זוג זוויות קודקודיות ששווה מיד. אם מוצאים גם זווית שווה נוספת, אפשר לקבוע שהמשולשים דומים לפי משפט זווית־זווית.

לדוגמה, אם שני קטעים נחתכים בנקודה O, והזווית שנוצרת בין קטע אחד לשני במשולש הראשון קודקודית לזווית במשולש השני, שתי הזוויות הללו שוות. זו יכולה להיות הזווית הראשונה מתוך שתי הזוויות הדרושות לקביעת דמיון.

זוויות בין ישרים מקבילים

כאשר ישר חותך שני ישרים מקבילים, נוצרות זוויות שוות בזוגות. לצורך דמיון משולשים נפוצות במיוחד שתי קבוצות של זוויות:

• זוויות מתאימות: זוויות שנמצאות באותו צד של הישר החותך ובאותו מיקום יחסי ביחס לכל אחד מן הישרים המקבילים. זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות.
• זוויות מתחלפות: זוויות שנמצאות משני צדי הישר החותך ובין הישרים המקבילים. גם זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות.

אם בתרשים יש שני ישרים מקבילים וישר חותך, אפשר להשתמש בשוויון הזוויות הנוצר כדי למצוא שתי זוויות שוות בשני משולשים. יחד עם זוויות קודקודיות או עם סכום זוויות במשולש, די בכך כדי לקבוע דמיון.

סדר פעולה לקביעת דמיון

כדי לקבוע אם שני משולשים דומים, נוח לעבוד לפי הסדר הבא:

1. זהו את שני המשולשים וסמנו את הקודקודים שלהם.
2. מצאו שתי זוויות שוות: זווית אחת במשולש הראשון וזווית שווה לה במשולש השני, ולאחר מכן זווית שנייה כזו.
3. אם הזוויות אינן נתונות במפורש, השתמשו בסכום הזוויות במשולש, בזוויות קודקודיות או בזוויות בין ישרים מקבילים.
4. כתבו את הדמיון לפי סדר הקודקודים המתאים: הקודקוד של הזווית הראשונה מול הקודקוד של הזווית השווה לה, וכן הלאה.
5. אם נדרש לחשב צלע, מצאו תחילה את יחס הדמיון מזוג צלעות מתאימות ידועות, ולאחר מכן השתמשו בו לצלע המבוקשת.

הוכחת דמיון אינה מסתמכת על מדידה בעין. גם אם שני משולשים נראים דומים, יש לבסס את הקביעה על נתונים ועל משפטים גאומטריים.

התאמת קודקודים וכתיבה נכונה של דמיון

כתיבה נכונה של דמיון עוזרת להימנע מטעויות בחישוב. נניח שמצאנו כי ∠A = ∠D וכי ∠B = ∠E. מכאן נובע גם ש-∠C = ∠F, ולכן נכתוב:

ΔABC ~ ΔDEF

אם נכתוב ΔABC ~ ΔDFE, נשנה את ההתאמה בין הקודקודים, ולכן גם ההתאמה בין הצלעות תשתנה. כדי לבדוק אם הכתיבה נכונה, אפשר לשאול: איזו זווית במשולש השני שווה ל-∠A? איזו צלע במשולש השני מתאימה ל-AB? אם התשובות תואמות את סדר הקודקודים, הכתיבה נכונה.

במצבים שבהם המשולשים מסובבים או משורטטים בכיוונים שונים, מומלץ להתעלם מן המראה החיצוני ולהתמקד בזוויות. לעיתים משולש אחד נראה הפוך, מוגדל או מוקטן, אך אם הזוויות המתאימות שוות, הדמיון נשמר.

שימוש ביחס הדמיון לאחר קביעת דמיון

לאחר שהוכחנו ששני משולשים דומים, אפשר לעבור מן הזוויות אל הצלעות. אם ידועות שתי צלעות מתאימות, מחשבים את יחס הדמיון. אם ידועה צלע אחת ויחס הדמיון נתון, אפשר לחשב את הצלע המתאימה.

למשל, אם נקבע ש-ΔABC ~ ΔDEF, והצלע AB מתאימה לצלע DE. אם AB = 12 ו-DE = 4, יחס הדמיון מ-ABC ל-DEF הוא 3. כלומר, כל צלע במשולש ABC גדולה פי 3 מן הצלע המתאימה לה במשולש DEF.

בעבודה עם יחס הדמיון יש להקפיד על שלושה עקרונות:

• משווים רק צלעות מתאימות.
• שומרים על אותו כיוון יחס לאורך כל הפתרון.
• בודקים שהתוצאה הגיונית: אם משולש אחד גדול יותר, צלעותיו גדולות יותר באותו יחס.

הבדל בין דמיון לבין חפיפה

דמיון וחפיפה אינם אותו דבר. שני משולשים חופפים אם הם שווים בדיוק בכל הצלעות ובכל הזוויות. שני משולשים דומים אם הזוויות שוות והצלעות פרופורציוניות, אך לא בהכרח שוות.

לכן כל משולשים חופפים הם גם דומים, ביחס דמיון 1. לעומת זאת, משולשים דומים אינם בהכרח חופפים, משום שהם יכולים להיות בגדלים שונים.

לדוגמה, שני משולשים שווי צלעות תמיד דומים זה לזה, כי בכל משולש שווה צלעות כל הזוויות הן 60°. עם זאת, הם חופפים רק אם אורכי הצלעות שלהם שווים.