תהליכים מעריכיים במודל פיננסי וכלכלי

השיעור עוסק בתהליכים שבהם כמות אינה משתנה בסכום קבוע, אלא באחוז קבוע או פי קבוע מדי יחידת זמן. תהליכים כאלה מופיעים בחיסכון, בריבית, בפחת ערך של רכוש ובהחזרי הלוואות. הרעיון המרכזי הוא שהכמות בכל שלב מתקבלת מהכמות הקודמת באמצעות הכפלה במקדם קבוע, ולכן שינוי קטן באחוז או במשך הזמן עשוי להשפיע מאוד על התוצאה.

זיהוי גדילה ודעיכה מעריכיות בהקשר פיננסי

תהליך מעריכי הוא תהליך שבו בכל יחידת זמן קבועה הכמות מוכפלת במספר קבוע. מספר זה נקרא מקדם גדילה או מקדם דעיכה. אם המקדם גדול מ-1, הכמות גדלה. אם המקדם בין 0 ל-1, הכמות קטנה.

בהקשר פיננסי, גדילה מעריכית מתארת למשל קרן חיסכון שמקבלת ריבית קבועה בכל שנה. הריבית מחושבת מהסכום הנוכחי, ולכן גם הריבית שנצברה מצטרפת לסכום ומשפיעה על הריבית בהמשך. דעיכה מעריכית מתארת למשל ירידת ערך של מכונית או של ציוד, כאשר המחיר יורד בכל שנה באחוז קבוע מערכו באותה שנה.

את סוג התהליך יש לזהות מתוך התיאור. ניסוחים כמו "הסכום גדל ב-4% בכל שנה", "המחיר יורד פי 0.9 מדי שנה" או "בכל חודש נוספת ריבית של 2% מהסכום הקיים" מצביעים על תהליך מעריכי. לעומת זאת, ניסוח כמו "נוספים 500 ש"ח בכל חודש" או "המחיר יורד ב-1,000 ש"ח בכל שנה" מתאר תהליך לינארי.

רכיבי המודל המעריכי והקשר לאחוז שינוי

המודל הבסיסי לתהליך מעריכי כולל חמישה רכיבים: כמות התחלתית, כמות סופית, מקדם גדילה או דעיכה, אחוז שינוי ויחידת זמן. כמות התחלתית, המסומנת לרוב Q_0, היא הכמות בזמן ההתחלה. כמות סופית, המסומנת לרוב Q_t, היא הכמות לאחר t יחידות זמן. יחידת זמן היא פרק הזמן שבו מתרחש שינוי קבוע באחוז, למשל שנה, חודש או יום.

הקשר בין הרכיבים מתואר בנוסחה:

Q_t = Q_0 · q^t

כאן q הוא מקדם הגדילה או הדעיכה. אם ידוע אחוז השינוי p בכל יחידת זמן, אפשר לעבור ממנו אל המקדם. בתהליך גדילה: q = 1 + p/100. בתהליך דעיכה: q = 1 - p/100. לדוגמה, גדילה של 3% בשנה נותנת q = 1.03, ודעיכה של 12% בשנה נותנת q = 0.88.

המעבר מהמקדם אל אחוז השינוי נעשה על ידי החסרת 1 והכפלה ב-100. אם q = 1.045, אחוז הגדילה הוא 4.5%. אם q = 0.94, אחוז הדעיכה הוא 6%, כי 1 - 0.94 = 0.06. בכל חישוב יש להקפיד שיחידת הזמן של האחוז ושל t יהיו זהות: אם האחוז הוא שנתי, גם הזמן נספר בשנים; אם האחוז הוא חודשי, הזמן נספר בחודשים.

הבחנה בין תהליך מעריכי לתהליך לינארי

ההבדל המרכזי בין שני התהליכים הוא סוג השינוי הקבוע. בתהליך לינארי הכמות משתנה בסכום קבוע בכל יחידת זמן. בתהליך מעריכי הכמות משתנה באחוז קבוע או ביחס קבוע בכל יחידת זמן.

לכן בתהליך לינארי ההפרש בין ערכים עוקבים בטבלה קבוע. בתהליך מעריכי היחס בין ערכים עוקבים קבוע. לדוגמה, אם מחיר מוצר יורד ב-200 ש"ח בכל חודש, מתקבלת סדרה לינארית: 1,000, 800, 600, 400. אם המחיר יורד ב-20% בכל חודש, מתקבלת סדרה מעריכית: 1,000, 800, 640, 512.

גם בגרף אפשר להבחין בין התהליכים. תהליך לינארי מיוצג על ידי קו ישר, כי קצב השינוי בכמות קבוע. תהליך מעריכי מיוצג על ידי עקום: בגדילה, העלייה נעשית תלולה יותר ככל שהזמן מתקדם; בדעיכה, הירידה מתונה יותר ככל שהכמות קטנה. כאשר נתונים שני גרפים, אפשר לבדוק אם היחס בין ערכים עוקבים קבוע כדי לזהות את הגרף המעריכי.

קריאת נתונים בטבלה ובגרף

כאשר תהליך מעריכי מוצג בטבלה, תחילה בודקים אם הזמנים סדורים ושווים. אם הערכים נתונים עבור יחידות זמן עוקבות, אפשר לחלק כל ערך בערך שלפניו. אם מתקבל מספר קבוע, זהו מקדם התהליך.

לדוגמה, אם סכום חיסכון הוא 10,000 ש"ח, 10,500 ש"ח ו-11,025 ש"ח בשלוש שנים עוקבות, היחס בין הערכים העוקבים הוא 1.05. לכן מדובר בגדילה של 5% בשנה. אם הטבלה אינה מתחילה בזמן 0, הכמות ההתחלתית אינה בהכרח הערך הראשון בטבלה. כדי למצוא אותה, אפשר לחלק שוב ושוב במקדם עד שמגיעים לזמן 0.

בגרף קוראים נקודות ברורות על הצירים. ציר אופקי מייצג בדרך כלל זמן, וציר אנכי מייצג את הכמות. בחירת שתי נקודות עוקבות, או שתי נקודות עם הפרש זמן ידוע, מאפשרת לחשב את היחס בין הכמויות. אם הגרף מתאר תהליך מעריכי, היחס קבוע, וממנו אפשר לעבור לאחוז שינוי: יחס של 1.02 מתאים לגדילה של 2%, ויחס של 0.9 מתאים לדעיכה של 10%.

חישוב כמות סופית, כמות התחלתית ומקדם

השימוש בנוסחה Q_t = Q_0 · q^t מאפשר לחשב כל אחד מהרכיבים כאשר שאר הרכיבים ידועים. כדי לחשב כמות סופית, מציבים את הכמות ההתחלתית, את המקדם ואת מספר יחידות הזמן. לדוגמה, סכום של 8,000 ש"ח הגדל ב-3% בשנה במשך 4 שנים מגיע אל 8,000 · 1.03^4.

כדי לחשב כמות התחלתית, מבצעים פעולה הפוכה: מחלקים את הכמות הסופית במקדם בחזקת הזמן. כלומר, Q_0 = Q_t / q^t. לדוגמה, אם מחיר רכב אחרי 3 שנות דעיכה של 10% בשנה הוא 72,900 ש"ח, המקדם הוא 0.9, ולכן מחיר הקנייה הוא 72,900 / 0.9^3.

כדי לחשב את המקדם כאשר הכמות ההתחלתית והכמות הסופית ידועות, מחלקים תחילה את הכמות הסופית בכמות ההתחלתית. היחס שמתקבל הוא q^t. אם מספר יחידות הזמן הוא 1, היחס עצמו הוא המקדם. אם מספר יחידות הזמן גדול יותר, המקדם הוא השורש המתאים של היחס: שורש ריבועי אם t=2, שורש שלישי אם t=3, וכך הלאה.

כאשר מבקשים את אחוז השינוי, מחשבים תחילה את q ואחר כך עוברים לאחוז. אם הכמות גדלה מ-20,000 ש"ח ל-24,200 ש"ח בשנתיים, היחס הוא 1.21. מכיוון שעברו שנתיים, q^2 = 1.21, ולכן q = 1.1. כלומר, הגדילה היא 10% בשנה.

מציאת מספר יחידות הזמן ובדיקת התוצאה

לעיתים הכמות ההתחלתית, הכמות הסופית והמקדם ידועים, ונדרש למצוא כמה יחידות זמן עברו. במקרים פשוטים אפשר לזהות חזקה מוכרת. לדוגמה, אם q = 2 והכמות הוכפלה פי 8, אז 8 = 2^3 ולכן עברו 3 יחידות זמן.

אם החזקה אינה מוכרת מיד, אפשר לבנות סדרת ערכים: מתחילים מהכמות ההתחלתית ומכפילים במקדם שוב ושוב, עד שעוברים את הכמות הסופית או מתקרבים אליה. בדרך זו אפשר גם לקבוע בין אילו יחידות זמן נמצאת הכמות המבוקשת. אם אחרי 4 שנים הסכום קטן מהיעד ואחרי 5 שנים הוא גדול מהיעד, היעד התקבל במהלך השנה החמישית.

בדיקת התוצאה חשובה במיוחד בהקשר פיננסי. אם מדובר בגדילה, הכמות הסופית צריכה להיות גדולה מהכמות ההתחלתית. אם מדובר בדעיכה, היא צריכה להיות קטנה ממנה. אם מתקבלת תוצאה חריגה, יש לבדוק אם הוחלף מקדם גדילה במקדם דעיכה, אם האחוז הומר נכון למקדם, או אם יחידת הזמן אינה תואמת את הנתונים.

ניתוח תהליכים מעריכיים במילים ובנוסחה

תיאור מילולי של תהליך פיננסי כולל בדרך כלל את הכמות ההתחלתית, את שיעור השינוי ואת יחידת הזמן. כדי לעבור ממנו לנוסחה, יש לזהות תחילה אם מדובר בגדילה או בדעיכה. לאחר מכן ממירים את האחוז למקדם וקובעים את t לפי מספר יחידות הזמן שנזכרו בתיאור.

אם נאמר "הפקדה של 5,000 ש"ח גדלה ב-2% בכל חודש", אז Q_0 = 5,000, q = 1.02, ו-t נספר בחודשים. לעיתים התיאור אינו כולל את המילה "אחוז" אלא את הביטוי "פי". אם כמות קטנה פי 0.95 בכל שנה, המקדם הוא 0.95 והדעיכה היא 5% בשנה. אם כמות גדלה פי 1.08 בכל שנה, המקדם הוא 1.08 והגדילה היא 8% בשנה.

ניסוח כמו "הכמות גדלה פי 3 במשך 5 שנים" אומר שהכמות הסופית היא פי 3 מהכמות ההתחלתית, כלומר q^5 = 3. לכן יש לחלץ את המקדם מתוך היחס הכולל. בנוסחה עצמה יש להקפיד על סדר הפעולות: תחילה מחשבים את החזקה q^t, ורק לאחר מכן מכפילים בכמות ההתחלתית.

אם רוצים לדעת מה קרה לפני זמן נתון, למשל מה הייתה הכמות לפני מספר יחידות זמן, מחלקים במקדם בחזקה מתאימה במקום להכפיל. כך אפשר לעבור בין זמנים שונים באותו תהליך, ובלבד שכל הזמנים נמדדים באותה יחידת זמן.