תהליכים מעריכיים: חישוב וייצוגים

בשיעור זה נעסוק בתהליכים שבהם כמות משתנה מיחידת זמן אחת לבאה באותו יחס קבוע: גדילה או דעיכה באחוז קבוע, או הכפלה בגורם קבוע. נלמד לחשב כמויות קדימה ואחור, לחלץ נתונים חסרים מתיאורים שונים, ולפתור משוואות פשוטות שבהן הנעלם הוא מקדם התהליך. כמו כן נבחין בין התנהגות מעריכית להתנהגות לינארית ונעריך את התוצאות המתקבלות.

המודל המעריכי ומושגי היסוד

תהליך מעריכי הוא תהליך שבו בכל יחידת זמן הכמות מוכפלת באותו מספר קבוע. אם הכמות גדלה ב-20% בכל שנה, אז בכל שנה מכפילים אותה ב-1.20. אם הכמות קטנה ב-15% בכל שנה, אז בכל שנה מכפילים אותה ב-0.85. לכן השינוי אינו קבוע בערכו המספרי, אלא קבוע ביחסו לכמות הקיימת.

המושגים המרכזיים:

• כמות התחלתית היא הכמות בזמן שנבחר כנקודת מוצא, ומסומנת לרוב A_0.
• כמות סופית היא הכמות לאחר t יחידות זמן, ומסומנת לרוב A_t.
• מקדם גדילה או דעיכה הוא הגורם q שבו מכפילים את הכמות בכל יחידת זמן.
• יחידת זמן היא פרק הזמן שבו מתרחש שלב אחד של התהליך, למשל שעה, יום או שנה.

הקשר בין המושגים מתואר בנוסחה:

A_t = A_0 · q^t

אם q > 1, התהליך הוא גדילה מעריכית. אם 0 < q < 1, התהליך הוא דעיכה מעריכית. הקשר לאחוז השינוי הוא: בגדילה של p% בכל יחידת זמן, q = 1 + p/100; בדעיכה של p% בכל יחידת זמן, q = 1 − p/100.

חשוב לשמור על אחידות: אם האחוז נתון לשנה, גם t חייב להיות בשנים. אם הזמן נתון בחודשים, יש להתאים את יחידת הזמן או את המקדם לפני החישוב.

חישוב כמות לאחר מספר יחידות זמן

כאשר נתונות הכמות ההתחלתית, מקדם הגדילה או הדעיכה ומספר יחידות הזמן, החישוב מתבצע על ידי הצבה בנוסחה. לדוגמה, אם בעיירה יש 40,000 תושבים והאוכלוסייה גדלה ב-5% לשנה, אז A_0 = 40,000 ו-q = 1.05. לאחר 3 שנים תתקבל הכמות:

A_3 = 40,000 · 1.05^3 = 46,305

במקרים שבהם מספר יחידות הזמן קטן, אפשר לחשב גם בלי הנוסחה, באמצעות הכפלה חוזרת. בדוגמה שלעיל אפשר לחשב: 40,000 → 42,000 → 44,100 → 46,305. דרך זו מתאימה במיוחד כאשר t הוא מספר שלם קטן והמקדם פשוט.

בתהליך דעיכה, החישוב דומה אך המקדם קטן מ-1. לדוגמה, אם כמות של 800 פריטים קטנה ב-12% בכל יחידת זמן, אז q = 0.88. לאחר 4 יחידות זמן תתקבל הכמות 800 · 0.88^4. יש לשים לב שהכמות אינה יורדת ב-12 פריטים בכל שלב, אלא ב-12% מהכמות שהייתה בשלב הקודם.

חישוב כמות לפני מספר יחידות זמן

לעיתים נתונה כמות בזמן מאוחר, ונדרש למצוא את הכמות שהייתה לפני מספר יחידות זמן. מכיוון שהתקדמות בתהליך פירושה הכפלה ב-q, חזרה לאחור פירושה חלוקה ב-q. לכן, אם ידועה הכמות לאחר t יחידות זמן, הכמות שהייתה לפני t יחידות זמן היא:

A_0 = A_t / q^t

לדוגמה, אם כיום יש 12,000 דגים בבריכה, והכמות גדלה פי 1.2 בכל שנה, אז לפני שנתיים הייתה הכמות:

12,000 / 1.2^2 = 8,333.33 בקירוב

אם התהליך הוא דעיכה, כלומר q קטן מ-1, החלוקה ב-q^t תיתן כמות גדולה יותר בעבר. לדוגמה, אם כמות של תרופה בגוף קטנה כך שבכל שעה נותרת מחצית ממנה, כלומר q = 0.5, ולאחר 3 שעות נותרו 25 מ"ג, אז הכמות ההתחלתית הייתה 25 / 0.5^3 = 200 מ"ג.

כאשר מספר יחידות הזמן קטן, אפשר לבצע את החישוב שלב אחר שלב בלי נוסחה מפורשת: מחלקים במקדם בכל צעד לאחור. אם q = 2 והכמות כעת 48, אז לפני יחידה אחת הייתה 24, ולפני שתי יחידות הייתה 12.

מציאת כמות התחלתית, כמות סופית, מקדם ואחוז שינוי מנתונים מילוליים, טבלאיים וגרפיים

בשאלות רבות לא תמיד נתונים כל המרכיבים. יש לזהות מה נתון ומה מבוקש, ולפעול לפי הקשרים בין המושגים.

• אם נתונים A_0, q ו-t, מחשבים את הכמות הסופית: A_t = A_0 · q^t.
• אם נתונים A_t, q ו-t, מחשבים את הכמות ההתחלתית: A_0 = A_t / q^t.
• אם נתונות שתי כמויות בזמנים שונים, אפשר למצוא את היחס ביניהן: q^t = A_t / A_0.
• אם t = 1, המקדם הוא פשוט q = A_1 / A_0.
• אם t > 1 והמעריך שלם, מתקבלת משוואה מהצורה q^t = מספר, ופתרונה יוסבר בסעיף המשוואות.

המעבר בין מקדם לאחוז שינוי הוא ישיר. אם q = 1.08, התהליך הוא גדילה של 8% בכל יחידת זמן. אם q = 0.94, התהליך הוא דעיכה של 6% בכל יחידת זמן. אם q = 2, הכמות גדלה פי 2, כלומר גדילה של 100%. אם q = 1/4, הכמות קטנה פי 4, כלומר נותרים 25% מהכמות הקודמת, וזו דעיכה של 75%.

בנתונים טבלאיים, כאשר הזמנים עוקבים ושווים, בודקים את היחס בין ערכים סמוכים. אם הכמויות הן 200, 260, 338, אז 260/200 = 1.3 וגם 338/260 = 1.3, ולכן q = 1.3. אם אחד הערכים חסר, אפשר להשלים אותו על ידי הכפלה ב-q קדימה או חלוקה ב-q אחורה.

בנתונים גרפיים, הגרף של תהליך מעריכי אינו קו ישר. כדי למצוא מקדם, קוראים מהגרף שתי נקודות שהפרש הזמנים ביניהן ידוע ומחשבים את היחס בין הכמויות. אם הפרש הזמנים הוא יחידה אחת, היחס הוא q. אם הפרש הזמנים הוא n יחידות, היחס הוא q^n. כדי למצוא כמות התחלתית, אפשר לקרוא את הערך בנקודה שבה t = 0, או לחשב אחורה מנקודה אחרת.

פתרון משוואות מעריכיות מהצורה a·x^n = b

כאשר הנעלם הוא מקדם הגדילה או הדעיכה, מתקבלת לעיתים משוואה מהצורה a·x^n = b, שבה a ו-b מספרים ידועים ו-n מעריך שלם. לדוגמה, אם כמות התחלתית של 80 גדלה פי x בכל יחידת זמן, ולאחר 3 יחידות זמן היא 270, מתקבלת המשוואה:

80 · x^3 = 270

תחילה מחלקים את שני האגפים ב-a:

x^n = b/a

בדוגמה: x^3 = 270/80 = 27/8 = 3.375. לאחר מכן מוצאים את השורש המתאים למעריך. כאן x = 1.5, כי 1.5^3 = 3.375. פירוש הדבר הוא שהכמות גדלה פי 1.5 בכל יחידת זמן, כלומר גדילה של 50%.

אם n = 1, המשוואה היא משוואה ממעלה ראשונה: x = b/a. אם n > 1, הפתרון הוא x = (b/a)^(1/n). בהקשר של גדילה ודעיכה, המקדם q חיובי, ולכן בוחרים את הפתרון החיובי. אם n זוגי והאגף b/a חיובי, יש שני פתרונות ממשיים, חיובי ושלילי, אך הפתרון השלילי אינו מתאים למקדם של תהליך מעריכי של כמות חיובית. אם n אי זוגי, יש שורש ממשי יחיד, ובבעיות אלה הוא יהיה חיובי כאשר b/a חיובי.

שינוי נושא נוסחה הוא חלק מהתהליך. מתוך הנוסחה A_t = A_0 · q^t אפשר לחלץ את A_0 על ידי חלוקה ב-q^t, ואפשר לחלץ את q^t על ידי חלוקה ב-A_0. כאשר t שלם וידוע, מציאת q היא פעולת שורש. לדוגמה, אם A_0 = 100 ו-A_2 = 144, אז q^2 = 144/100 = 1.44 ולכן q = 1.2, כלומר גדילה של 20% בכל יחידת זמן.

אומדן תוצאות והשוואה לתהליך לינארי

תהליך לינארי הוא תהליך שבו הכמות משתנה בכל יחידת זמן באותו מספר קבוע. לדוגמה, אם כמות גדלה ב-200 יחידות בכל שנה, הגידול הוא לינארי. לעומת זאת, בתהליך מעריכי הכמות משתנה באותו אחוז או באותו יחס, ולכן ככל שהכמות גדולה יותר, השינוי המספרי בכל שלב גדול יותר בתהליך גדילה.

כדי לאמוד תוצאה של תהליך מעריכי, אפשר לעגל את הנתונים ולחשב שלב אחר שלב. לדוגמה, אם כמות של 1,000 גדלה ב-20% לשנה, אפשר לאמוד: לאחר שנה אחת 1,200; לאחר שנתיים בערך 1,440; לאחר שלוש בערך 1,730. אם רוצים השוואה לתהליך לינארי שבו מוסיפים 200 יחידות בשנה, לאחר שלוש שנים הכמות הלינארית תהיה 1,600, ואילו הכמות המעריכית תהיה בערך 1,728. מכאן שבמקרה זה, לאחר שלוש שנים, התהליך המעריכי נותן כמות גדולה יותר.

בתהליכי דעיכה, ההשוואה תלויה בנתונים. אם כמות של 1,000 קטנה ב-10% לשנה, לאחר חמש שנים תתקבל כמות 1,000 · 0.9^5 ≈ 590. לעומת זאת, אם אותה כמות קטנה ב-100 יחידות לשנה בתהליך לינארי, לאחר חמש שנים תתקבל כמות 500. בדוגמה זו, הדעיכה המעריכית משאירה כמות גדולה יותר, משום שהירידה באחוז נעשית קטנה יותר ככל שהכמות קטנה.

בגרף, תהליך לינארי מיוצג על ידי קו ישר, ואילו תהליך מעריכי מיוצג על ידי עקום. כאשר שני התהליכים מתחילים מאותה נקודה, אפשר להשוות ביניהם על פי גובה הגרף בכל יחידת זמן. בגדילה מעריכית, העקום עולה לאט בהתחלה ויותר מהר בהמשך, ולכן הוא עשוי לעבור את הקו הישר לאחר מספר יחידות זמן. בדעיכה מעריכית, העקום יורד בתלילות בהתחלה ומתמתן בהמשך, והוא מתקרב לאפס אך אינו יורד מתחתיו אם הכמות חיובית.