תהליכים ותופעות המתנהגים באופן מעריכי – מושגי יסוד ומודל

בשיעור זה נבחן שינוי של כמות לאורך זמן, כאשר קצב השינוי אינו קבוע בערכו המוחלט אלא קבוע ביחסו לכמות הנוכחית. נלמד לזהות תהליכי גדילה ודעיכה מעריכיים, להבחין בינם לבין תהליכים לינאריים, ולהשתמש במודל Aₜ = A₀ × qᵗ בעזרת המושגים כמות התחלתית, כמות סופית, מקדם גדילה או דעיכה ויחידת זמן.

זיהוי תהליך מעריכי והבחנה בינו לבין תהליך לינארי

תהליך מעריכי הוא תהליך שבו כמות משתנה מדי יחידת זמן ביחס קבוע. כלומר, בכל יחידת זמן הכמות מוכפלת באותו מקדם: היא גדלה או קטנה באותו אחוז, או באותו יחס, לעומת הכמות שהייתה ביחידת הזמן הקודמת.

לעומת זאת, בתהליך לינארי הכמות משתנה בכל יחידת זמן באותו סכום קבוע. השינוי נמדד במספר קבוע של יחידות, לא באחוז קבוע.

דוגמאות לזיהוי:

• אוכלוסייה של עיר גדלה ב־2% מדי שנה: זהו תהליך מעריכי, כי השינוי הוא באחוז קבוע.
• מספר תאונות דרכים יורד ב־8% מדי שנה: זהו תהליך דעיכה מעריכי.
• מחיר מוצר עולה ב־20 שקלים מדי חודש: זהו תהליך לינארי, כי מתווסף סכום קבוע.
• כמות חיידקים בתרבית מוכפלת פי 2 כל שעתיים: זהו תהליך גדילה מעריכי, כי הכמות מוכפלת ביחס קבוע.

בתהליך מעריכי של גדילה, הגידול עצמו נעשה גדול יותר ככל שהכמות גדולה יותר. לכן גרף של גדילה מעריכית נעשה תלול יותר עם הזמן. בתהליך דעיכה מעריכית, הירידה קטנה בהדרגה ככל שהכמות קטנה יותר.

סימני זיהוי מילוליים לתהליך מעריכי: "באחוז קבוע", "פי מספר קבוע", "גדל ב־...%", "קטן ב־...%", "מוכפל כל...". סימני זיהוי לתהליך לינארי: "בסכום קבוע", "במספר קבוע של יחידות", "עולה בסכום קבוע מדי חודש".

גם בטבלה אפשר לזהות את סוג התהליך. אם ההפרש בין ערכים סמוכים הוא קבוע, למשל 100, 120, 140, 160, זהו תהליך לינארי. אם היחס בין ערכים סמוכים הוא קבוע, למשל 100, 120, 144, 172.8, זהו תהליך מעריכי, כי כל ערך מתקבל מהקודם בהכפלה במקדם קבוע.

כמות התחלתית, כמות סופית ויחידת זמן

כדי לתאר תהליך מעריכי במדויק, משתמשים בכמה מושגים:

• כמות התחלתית היא הכמות בתחילת המדידה או בנקודת הזמן שנבחרה כנקודת מוצא. נהוג לסמן אותה ב־A₀.
• כמות סופית היא הכמות לאחר שעברו t יחידות זמן. נהוג לסמן אותה ב־Aₜ. אין הכרח שזהו סוף מוחלט של התהליך; הכוונה היא לכמות בזמן שנבחר.
• יחידת זמן היא פרק הזמן שבו מתרחש שינוי קבוע ביחס. יחידת הזמן יכולה להיות שנה, חודש, יממה, שעה, שבוע או כל פרק זמן אחר, ויש לציין אותה במפורש.

כאשר t = 0, מתקבלת הכמות ההתחלתית, ולכן נקודת המוצא של המודל היא תמיד A₀.

לדוגמה, אם נאמר כי "מדי שנה האוכלוסייה גדלה ב־3%", יחידת הזמן היא שנה. אם נאמר כי "מדי חודש הכמות קטנה ב־5%", יחידת הזמן היא חודש. בחירת יחידת הזמן קובעת כיצד נספור את t וכיצד נפרש את מקדם הגדילה או הדעיכה.

מקדם גדילה או דעיכה

מקדם גדילה או דעיכה הוא המספר הקבוע שבו מוכפלת הכמות בכל יחידת זמן. נהוג לסמן אותו באות q. אם הכמות בתחילת יחידת זמן היא A, הכמות בסוף אותה יחידת זמן היא A × q.

אם ידועות שתי כמויות עוקבות בתהליך, אפשר לחשב את q על ידי חלוקת הכמות המאוחרת בכמות הקודמת לה. כך מתקבל היחס בין שני ערכים סמוכים בזמן.

המקדם מלמד על כיוון התהליך:

• אם q > 1, הכמות גדלה בכל יחידת זמן. זהו תהליך גדילה מעריכי.
• אם 0 < q < 1, הכמות קטנה בכל יחידת זמן. זהו תהליך דעיכה מעריכי.
• אם q = 1, אין שינוי בכמות.

לדוגמה, אם כמות גדלה פי 1.04 בכל שנה, אז q = 1.04. אם בכל שנה נותרים 90% מהכמות הקודמת, אז q = 0.90, כלומר הכמות דועכת.

המודל המעריכי Aₜ = A₀ × qᵗ

המודל המעריכי מקשר בין הכמות ההתחלתית, המקדם, מספר יחידות הזמן והכמות לאחר t יחידות זמן:

Aₜ = A₀ × qᵗ

במודל זה:

• A₀ היא הכמות ההתחלתית.
• q הוא מקדם הגדילה או הדעיכה ליחידת זמן אחת.
• t הוא מספר יחידות הזמן שעברו.
• Aₜ היא הכמות לאחר t יחידות זמן.

המשמעות של החזקה qᵗ היא שהכפל במקדם אינו מתרחש פעם אחת בלבד, אלא בכל יחידת זמן מחדש. לכן, אם q = 1.05 ו־t = 3, הכמות הוכפלה במקדם 1.05 שלוש פעמים: A₃ = A₀ × 1.05³.

אם q = 0.90 ו־t = 4, הכמות הוכפלה במקדם 0.90 ארבע פעמים: A₄ = A₀ × 0.90⁴. בכל שלב הכמות קטנה ביחס לכמות שהייתה בשלב הקודם.

אם t = 0, אז q⁰ = 1 ולכן Aₜ = A₀. כלומר, בתחילת התהליך מתקבלת הכמות ההתחלתית. המודל מתאים גם לחישוב לאחור: אם ידועה הכמות לאחר מספר יחידות זמן, אפשר להשתמש באותו קשר כדי למצוא את הכמות ההתחלתית או את המקדם.

קשר בין מקדם גדילה או דעיכה לאחוז השינוי

בשאלות רבות מתואר השינוי באחוזים, ולכן יש קשר קבוע בין האחוז לבין המקדם q.

אם הכמות גדלה ב־p% בכל יחידת זמן, אז: q = 1 + p/100

אם הכמות קטנה ב־p% בכל יחידת זמן, אז: q = 1 − p/100

לדוגמה:

• גדילה של 5% בכל שנה: q = 1.05.
• גדילה של 2.4% בכל שנה: q = 1.024.
• דעיכה של 8% בכל שנה: q = 0.92.
• דעיכה של 3% בכל שנה: q = 0.97.

גם בכיוון ההפוך, אם ידוע q, אפשר לתאר את אחוז השינוי:

• אם q > 1, אחוז הגדילה הוא (q − 1) × 100%.
• אם q < 1, אחוז הדעיכה הוא (1 − q) × 100%.

לדוגמה, q = 1.07 מתאר גדילה של 7% בכל יחידת זמן, ו־q = 0.85 מתאר דעיכה של 15% בכל יחידת זמן.

חשוב להבחין בין ניסוח של שינוי באחוז לבין ניסוח של שינוי פי מספר. "הכמות גדלה ב־5%" פירושה שהכמות החדשה היא 105% מהכמות הקודמת, ולכן q = 1.05. "הכמות קטנה ב־5%" פירושה שהכמות החדשה היא 95% מהכמות הקודמת, ולכן q = 0.95.

אחידות יחידות זמן והמרת יחידות

במודל המעריכי חייבת להיות התאמה בין יחידת הזמן של q לבין היחידות של t. אם q מתאים לשנה, אז t חייב להימדד בשנים. אם q מתאים לחודש, אז t חייב להימדד בחודשים.

לדוגמה:

• אם מקדם הדעיכה הוא שנתי, והזמן הנתון הוא 3 שנים, מציבים t = 3.
• אם מקדם הדעיכה הוא חודשי, והזמן הנתון הוא 3 שנים, יש להמיר את הזמן לחודשים: t = 36.
• אם מקדם הגדילה הוא שנתי, והזמן הנתון הוא 24 חודשים, יש להמיר את הזמן לשנים: t = 2.

טעות נפוצה היא להציב מספר חודשים בנוסחה שבה המקדם שנתי, או להפך. לפני הצבה יש לכתוב ליד כל נתון את יחידת הזמן שלו, ולוודא שכל הזמנים באותה יחידה.

המרת יחידות נפוצות:

• שנה אחת = 12 חודשים.
• יממה אחת = 24 שעות.
• שבוע אחד = 7 ימים.

אם נאמר כי כמות מוכפלת כל שעתיים, אפשר לבחור יחידת זמן של שעתיים, ואז q = 2 ו־t נמדד במספר מחזורים של שעתיים. אם רוצים לעבוד עם יחידת זמן של שעה, יש להתאים את המקדם כך שיתאר שינוי לשעה אחת.

גם יחידות הכמות צריכות להיות עקביות. אם הכמות ההתחלתית נתונה באלפים והכמות המבוקשת נתונה במיליונים, יש להמיר את הנתונים לאותה יחידה לפני הצבה במודל או לפני השוואה.

תהליכי גדילה ודעיכה מעריכיים בהקשר מדעי וחברתי

המודל המעריכי משמש לתיאור תופעות רבות במדע ובחברה, שבהן השינוי תלוי בכמות הקיימת ולא רק בתוספת קבועה חיצונית.

בהקשר מדעי:

• גידול של תרבית חיידקים עשוי להיות מעריכי כאשר מספר החיידקים מוכפל ביחס קבוע לאורך פרקי זמן שווים.
• התפרקות רדיואקטיבית של חומר היא דוגמה לתהליך דעיכה מעריכי, שבו כמות החומר קטנה ביחס קבוע לאורך זמן.

בהקשר חברתי:

• גידול אוכלוסייה בעיר או במדינה עשוי להתנהג באופן מעריכי כאשר שיעור הגידול השנתי קבוע בקירוב.
• ירידה במספר תאונות דרכים בעקבות פעולות אכיפה יכולה להיות מתוארת כדעיכה מעריכית אם הירידה היא באחוז קבוע מדי שנה.

כדי לזהות את סוג התהליך מתיאור מילולי, יש לבדוק מה קבוע לאורך זמן:

• אם קבוע האחוז או היחס בין הכמויות, התהליך מעריכי.
• אם קבוע ההפרש המוחלט בין הכמויות, התהליך לינארי.

לפני הצבה במודל יש לנסח במפורש: מהי הכמות ההתחלתית, מהי יחידת הזמן, מהו q ומהו t.

כאשר נתונים שני תהליכים, אפשר להשוות ביניהם לפי המקדם q ולפי הכמות ההתחלתית. תהליך עם מקדם גדילה גדול יותר אינו בהכרח מוביל לכמות גדולה יותר בכל זמן, משום שלכמות ההתחלתית יש גם השפעה. עם זאת, ככל שעוברות יחידות זמן רבות יותר, ההבדל בין תהליך מעריכי מהיר לתהליך איטי או לינארי נעשה בולט יותר.