דמיון משולשים – יחסים, היקפים ושטחים

שני משולשים דומים מתארים את אותה צורה, גם אם גודלם שונה. הזוויות שלהם שוות, והצלעות המתאימות שלהם גדלות או קטנות באותו יחס. מתוך היחס הזה אפשר לעבור בין אורכים, היקפים ושטחים, ולפתור בעיות שבהן מופיעים דגמים, מפות, צללים או מבנים דומים.

יחס הדמיון בין צלעות מתאימות

כאשר שני משולשים דומים, אפשר לסדר את הקודקודים כך שכל זווית במשולש אחד תתאים לזווית שווה במשולש השני. הצלעות שמחברות קודקודים מתאימים נקראות צלעות מתאימות. יחס הדמיון הוא היחס הקבוע בין אורכי צלעות מתאימות.

אם משולש ABC דומה למשולש DEF, אז מתקיים:

AB/DE = BC/EF = AC/DF = k

המספר k מתאר את גורם ההגדלה או ההקטנה בין המשולשים. אם k גדול מ־1, המשולש השני גדול מהראשון לפי הסדר שבו כתבנו את היחס. אם k קטן מ־1, הוא קטן ממנו. בכתיב יחס נהוג לכתוב למשל 2:3, כלומר כל צלע במשולש הראשון היא 2 חלקים, והצלע המתאימה במשולש השני היא 3 חלקים.

כדי לחשב צלע חסרה, משווים יחס בין צלעות מתאימות. אם ידוע שצלע במשולש הקטן היא 6 ס״מ, הצלע המתאימה במשולש הגדול היא 9 ס״מ, ויחס הדמיון הוא 2:3, אז צלע אחרת בקטן שאורכה 10 ס״מ תתאים לצלע בגדול שאורכה 15 ס״מ. החישוב נובע מכך שהיחס נשמר עבור כל זוג צלעות מתאימות.

חשוב להקפיד על סדר ההתאמה. אם נאמר שמשולש ABC דומה למשולש DEF, הקודקוד A מתאים ל־D, B מתאים ל־E, ו־C מתאים ל־F. לכן הצלע AB מתאימה ל־DE, הצלע BC מתאימה ל־EF, והצלע AC מתאימה ל־DF. טעות נפוצה היא להשוות צלעות לפי מראה כללי בלבד, בלי לבדוק אילו זוויות שוות.

מציאת זוויות חסרות במשולשים דומים

במשולשים דומים כל זוג זוויות מתאימות שווה. לכן, אם ידועה זווית אחת במשולש אחד, הזווית המתאימה לה במשולש הדומה שווה לה. אם ידועות שתי זוויות במשולש, אפשר למצוא את השלישית בעזרת הכלל שסכום הזוויות במשולש הוא 180°.

לדוגמה, אם במשולש אחד שתי זוויות הן 50° ו־70°, הזווית השלישית היא 60°. גם במשולש הדומה יהיו זוויות 50°, 70° ו־60°, גם אם אורכי הצלעות שונים. במקרים שבהם המשולשים משורטטים בתוך שרטוט הכולל ישרים מקבילים, אפשר להיעזר בזוויות מתאימות או מתחלפות כדי לזהות שוויון זוויות. זוויות קודקודיות שוות גם הן, ולכן הן משמשות לעיתים לזיהוי דמיון בין משולשים.

כאשר משולש הוא שווה־שוקיים, שתי זוויות הבסיס שלו שוות. כאשר משולש הוא שווה־צלעות, כל שלוש זוויותיו הן 60°. תכונות אלה מקצרות חישוב: אם יודעים שמשולש דומה למשולש שווה־צלעות, גם הוא שווה־צלעות, וכל זוויותיו ידועות מיד.

הקשר בין יחס הדמיון ליחס ההיקפים

היקף משולש הוא סכום אורכי צלעותיו. אם כל צלע במשולש מוכפלת באותו גורם, גם סכום הצלעות מוכפל באותו גורם. לכן יחס ההיקפים של שני משולשים דומים שווה ליחס הדמיון שלהם.

אם יחס הדמיון בין שני משולשים הוא 3:5, גם יחס ההיקפים הוא 3:5. אם היקף המשולש הקטן הוא 24 ס״מ, אפשר לחשוב על כל חלק כ־8 ס״מ, ולכן היקף המשולש הגדול הוא 40 ס״מ. אפשר גם להשתמש בפרופורציה: 24 מייצג 3 חלקים, ולכן 5 חלקים הם 40.

המשמעות מעשית היא שכל מדידה של אורך מסביב למשולש מתנהגת כמו צלע. מסגרת סביב צורה משולשת, גדר סביב חלקת אדמה משולשת, או אורך בד הנמתח לאורך שולי מפרש — כל אלה היקפים, ולכן הם משתנים לפי יחס הדמיון, לא לפי ריבועו.

הקשר בין יחס הדמיון ליחס השטחים

שטח של משולש תלוי בשני ממדים: בדרך כלל בבסיס ובגובה. בדמיון משולשים, אם הצלעות מוכפלות בגורם k, גם ממדים אורכיים אחרים כמו גבהים ותיכונים מוכפלים באותו גורם. לכן השטח משתנה לפי מכפלת שני הגורמים, כלומר לפי k².

אם יחס הדמיון בין שני משולשים הוא 2:3, יחס השטחים ביניהם הוא 4:9. אם שטח המשולש הקטן הוא 12 סמ״ר, שטח המשולש הגדול הוא 27 סמ״ר, כי 12 כפול 9/4 הוא 27. אם ידוע שטח גדול ורוצים למצוא שטח קטן, מחלקים ביחס השטחים המתאים.

יש להבחין בין שלושה יחסים:

• יחס הדמיון הוא יחס בין צלעות מתאימות.
• יחס ההיקפים שווה ליחס הדמיון.
• יחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון.

טעות נפוצה היא להשתמש ביחס הדמיון גם לשטחים. אם צלע גדולה פי 3, השטח אינו גדול פי 3 אלא פי 9. אם צלע קטנה פי 2, השטח קטן פי 4.

תכונות משולשים מיוחדים בדמיון

משולשים מיוחדים נותנים נתוני זוויות וצלעות שחוזרים בבעיות רבות. משולש שווה־צלעות הוא משולש שכל צלעותיו שוות וכל זוויותיו 60°. כל שני משולשים שווי־צלעות דומים זה לזה, משום שהזוויות שלהם שוות. אם אורך צלע של משולש שווה־צלעות אחד הוא 1 מ׳, ואורך צלע של משולש שווה־צלעות אחר הוא 3 מ׳, יחס הדמיון ביניהם הוא 1:3, יחס ההיקפים הוא 1:3, ויחס השטחים הוא 1:9.

משולש שווה־שוקיים הוא משולש שבו שתי צלעות שוות, ושתי זוויות הבסיס שוות. אם במשולש שווה־שוקיים ידועה זווית הראש, אפשר לחשב את זוויות הבסיס: מחסרים את זווית הראש מ־180° ומחלקים את התוצאה ב־2. כאשר משולש שווה־שוקיים דומה למשולש אחר, גם הזוויות המתאימות שוות, ולכן תכונת השוויון נשמרת.

משולש ישר־זווית הוא משולש שאחת מזוויותיו 90°. הצלע שמול הזווית הישרה נקראת יתר, ושתי הצלעות האחרות נקראות ניצבים. במשולש ישר־זווית משתמשים במשפט פיתגורס כדי למצוא צלע חסרה: ריבוע היתר שווה לסכום ריבועי הניצבים. אם הניצבים הם 3 ו־4, היתר הוא 5, משום ש־3²+4²=5². משולשים ישרי־זווית שיש להם זוויות חדות שוות הם דומים, ולכן אפשר לעבור ביניהם בעזרת יחס הדמיון.

משפט פיתגורס במשולשים ישרי־זווית דומים

בבעיות דמיון רבות מופיע משולש ישר־זווית שבו חסרה צלע. לפני שמחשבים יחס דמיון, יש לפעמים להשלים את הצלע החסרה בעזרת משפט פיתגורס. לדוגמה, אם במשולש ישר־זווית נתונים ניצבים באורכים 6 מ׳ ו־8 מ׳, היתר הוא 10 מ׳, משום ש־6²+8²=10². לאחר מכן אפשר להשוות את המשולש למשולש דומה קטן או גדול.

אם ידועים במשולש דומה קטן ניצבים של 3 מ׳ ו־4 מ׳, והיתר של המשולש הגדול הוא 15 מ׳, אפשר למצוא את יחס הדמיון לפי היתרים: 5 מ׳ מול 15 מ׳, כלומר 1:3. מכאן שניצבי המשולש הגדול הם 9 מ׳ ו־12 מ׳. אפשר גם להתחיל מניצבים: אם יחס הדמיון הוא 2:5 וניצב במשולש הקטן הוא 8 ס״מ, הניצב המתאים במשולש הגדול הוא 20 ס״מ.

כאשר המשולש הוא גם שווה־שוקיים וגם ישר־זווית, הזווית הישרה היא 90° ושתי הזוויות האחרות הן 45° כל אחת. במשולש כזה הניצבים שווים, ואפשר להשתמש בפיתגורס כדי לעבור מניצב ליתר. גם כאן, במשולש דומה, היחס בין הניצבים ובין היתרים נשמר.

בעיות אורייניות עם מפרשים, מפות ומסגרות

בהקשר אורייני הכוונה היא למצב מהחיים או מהסביבה: מפרש של סירה, עפיפון, צל של עמוד, מפה, תוכנית בנייה, מסגרת מתכת או חלקת שדה. בבעיות כאלה לעיתים לא נתונות כל הצלעות ישירות, וצריך קודם לחשב צלע אחת בעזרת תכונות המשולש או בעזרת משפט פיתגורס.

נניח שמפרש ראשי ומפרש משני הם משולשים ישרי־זווית דומים. אם במפרש הקטן הניצבים הם 3 מ׳ ו־4 מ׳, היתר הוא 5 מ׳. אם יחס הדמיון בין המפרש הקטן למפרש הגדול הוא 1:2, הניצבים במפרש הגדול הם 6 מ׳ ו־8 מ׳, והיתר הוא 10 מ׳. מכאן אפשר לחשב את היקף כל מפרש: היקף הקטן הוא 12 מ׳, והיקף הגדול הוא 24 מ׳. יחס ההיקפים הוא 1:2, כמו יחס הדמיון. לעומת זאת, שטח הקטן הוא 6 מ״ר, ושטח הגדול הוא 24 מ״ר, ולכן יחס השטחים הוא 1:4.

דוגמה אחרת היא מסגרת משולשת שבתוכה מוטות חיזוק המקבילים לאחת הצלעות. קטע המקביל לצלע במשולש יוצר לעיתים משולש קטן הדומה למשולש כולו, משום שהזוויות נשמרות. אם ידוע יחס בין קטע מקביל לצלע, אפשר להסיק את יחס הדמיון בין המשולש הקטן למשולש הגדול. לאחר מכן אפשר לחשב אורכי מוטות, היקף מסגרת או שטח יריעה. כאשר מבקשים שטח של חלק שנשאר, מחשבים תחילה את השטח הכולל ואת השטח הדומה הפנימי, ואז מחסרים.

במפות ובתמונות מוקטנות, קנה המידה הוא יחס הדמיון בין השרטוט לעצם האמיתי. אורך שנמדד במפה מייצג אורך במציאות לפי אותו יחס. אם קנה המידה הוא 1:100, כל סנטימטר בשרטוט מתאים ל־100 ס״מ במציאות. היקף של צורה בשרטוט יעבור למציאות לפי אותו יחס, אך שטח יעבור לפי ריבוע היחס. לכן, אם שטח בשרטוט הוא 2 סמ״ר וקנה המידה הוא 1:100, השטח במציאות הוא 20,000 סמ״ר, כלומר 2 מ״ר, משום ש־100²=10,000.

מעבר מיחס שטחים ליחס דמיון והמרת יחידות

כאשר נתון יחס השטחים וחסר יחס הדמיון, עוברים את הפעולה ההפוכה: מוצאים שורש ריבועי ליחס. אם יחס השטחים הוא 16:25, יחס הדמיון הוא 4:5. אם יחס השטחים הוא 1:49, יחס הדמיון הוא 1:7. אם יחס ההיקפים הוא 5:8, יחס הדמיון הוא גם 5:8, משום שהיקפים הם גדלים אורכיים.

בבעיות שכוללות יחידות שונות, יש להקפיד על המרה נכונה. יחס בין אורכים אינו משתנה אם שני האורכים באותה יחידה, אך לפני חישוב שטח יש לעבוד ביחידות מתאימות. לדוגמה, 1 מ׳ הוא 100 ס״מ, ולכן 1 מ״ר הוא 10,000 סמ״ר. אם מצאנו שטח בסמ״ר ונדרש להציגו במ״ר, מחלקים ב־10,000. אם מצאנו אורך בס״מ ונדרש להציגו במטרים, מחלקים ב־100.

כאשר נתון יחס הדמיון בין דגם לעצם אמיתי, בוחרים תחילה את הגודל המתאים: אורך, היקף או שטח. אם נדרש אורך או היקף, משתמשים ביחס הדמיון. אם נדרש שטח יריעה, שטח תצוגה או שטח חלקה, משתמשים ביחס השטחים. אם חסרה צלע במשולש ישר־זווית, משלימים אותה תחילה בעזרת משפט פיתגורס, ורק לאחר מכן עוברים ליחסים בין המשולשים הדומים.