משולש ומרובע חסומים במעגל ומעגל חסום במשולש

בשיעור נעסוק בשני קשרים בין מצולעים למעגלים: מצולע שקודקודיו נמצאים על מעגל, ומצולע שצלעותיו משיקות למעגל. נלמד מדוע כל משולש ניתן לחסום במעגל וגם מדוע בכל משולש אפשר לחסום מעגל, ונבחין בתנאים הדרושים כדי שמרובע יהיה חסום במעגל. הרעיון המרכזי הוא שמרכזי המעגלים נקבעים על פי ישרים מיוחדים במצולע: אנכים אמצעיים במעגל החוסם, וחוצי זוויות במעגל החסום.

הבחנה בין מעגל חוסם למעגל חסום

כאשר מדברים על מצולע ומעגל, יש שני מצבים שונים שחשוב לא לבלבל ביניהם.

• מעגל חוסם מצולע הוא מעגל העובר דרך כל קודקודי המצולע. במצב זה המצולע נמצא בתוך המעגל, וקודקודיו על המעגל.
• מעגל חסום במצולע הוא מעגל הנמצא בתוך המצולע ומשיק לכל צלעותיו. משיק למעגל הוא ישר הנוגע במעגל בנקודה אחת בלבד.

במשולש שני המצבים תמיד אפשריים: לכל משולש יש מעגל חוסם, ולכל משולש יש מעגל חסום. במרובעים המצב שונה: לא כל מרובע ניתן לחסום במעגל, ונלמד תנאי מדויק לכך.

מעגל חוסם משולש

מעגל חוסם משולש הוא מעגל העובר דרך שלושת קודקודי המשולש. אומרים שהמשולש חסום במעגל. כל משולש ניתן לחסום במעגל, כלומר תמיד קיים מעגל אחד ויחיד ששלושת קודקודי המשולש נמצאים עליו.

מרכז המעגל החוסם הוא נקודת החיתוך של שלושת האנכים האמצעיים של צלעות המשולש. אנך אמצעי לצלע הוא ישר העובר דרך אמצע הצלע ומאונך לה.

התכונה שממנה נובע המשפט היא: כל נקודה הנמצאת על האנך האמצעי של קטע, נמצאת במרחק שווה משני קצות הקטע. לכן אם נבחר שני אנכים אמצעיים במשולש, נקודת החיתוך שלהם נמצאת במרחק שווה משני קצות הצלע הראשונה, ובמרחק שווה משני קצות הצלע השנייה. מכאן היא נמצאת במרחק שווה משלושת קודקודי המשולש.

מכיוון שהיא רחוקה מרחק שווה משלושת הקודקודים, אפשר להעביר מעגל שמרכזו בנקודה זו ורדיוסו הוא המרחק ממנה לאחד הקודקודים. מעגל כזה יעבור בהכרח דרך כל שלושת הקודקודים. כמו כן, הנקודה חייבת להימצא גם על האנך האמצעי לצלע השלישית, ולכן שלושת האנכים האמצעיים נחתכים בנקודה אחת.

רדיוס המעגל החוסם הוא הקטע המחבר את מרכז המעגל עם אחד מקודקודי המשולש. שלושת הרדיוסים אל הקודקודים שווים זה לזה, ולכן הקודקודים נמצאים כולם על אותו מעגל.

מרובע חסום במעגל

מרובע חסום במעגל הוא מרובע שכל ארבעת קודקודיו נמצאים על המעגל. במצב כזה אומרים שהמעגל חוסם את המרובע. בניגוד למשולש, לא כל מרובע ניתן לחסום במעגל. יש מרובעים שאין מעגל העובר דרך ארבעת קודקודיהם.

התנאי המדויק הוא: מרובע ניתן לחסום במעגל אם ורק אם סכום זוג זוויות נגדיות שלו שווה ל־180°. זוויות נגדיות במרובע הן זוג זוויות שאינן סמוכות זו לזו. במרובע ABCD, למשל, הזוגות הנגדיים הם ∠A ו־∠C, ו־∠B ו־∠D.

אם המרובע חסום במעגל, אז שתי זוויות נגדיות נשענות על שתי קשתות המשלימות יחד מעגל שלם. קשת היא חלק מהמעגל שבין שתי נקודות עליו. לדוגמה, ∠A נשענת על הקשת BCD, ואילו ∠C נשענת על הקשת BAD. סכום שתי הקשתות הוא 360°, ולכן סכום הזוויות ההיקפיות הנשענות עליהן הוא 180°. זווית היקפית היא זווית שקודקודה על המעגל ושוקיה הן מיתרים של המעגל, כלומר קטעים המחברים שתי נקודות על המעגל. מכיוון שזווית היקפית שווה למחצית הקשת שעליה היא נשענת, מתקבל ∠A + ∠C = 180°, ובאותו אופן גם ∠B + ∠D = 180°.

הכיוון ההפוך נכון גם הוא: אם במרובע סכום זוג זוויות נגדיות הוא 180°, אז המרובע ניתן לחסימה במעגל. לכן כדי לבדוק אם מרובע חסום במעגל, מספיק לבדוק זוג נגדי אחד. אם סכום הזוויות באותו זוג הוא 180°, גם הזוג השני ישלים ל־180°, מפני שסכום כל הזוויות במרובע הוא 360°.

התנאי אינו דורש שכל הזוויות יהיו שוות או שהמרובע יהיה מיוחד כמו ריבוע או מלבן. גם מרובע שאינו מלבן יכול להיות חסום במעגל, ובלבד שסכום הזוויות הנגדיות בו הוא 180°.

טרפז החסום במעגל

טרפז הוא מרובע שבו שתי צלעות נגדיות מקבילות. שתי הצלעות המקבילות נקראות בסיסי הטרפז, ושתי הצלעות האחרות נקראות שוקיים. טרפז שווה־שוקיים הוא טרפז ששוקיו שוות זו לזו.

נלמד עכשיו תכונה חשובה: אם טרפז חסום במעגל, אז הוא טרפז שווה־שוקיים. כלומר, לא ייתכן טרפז כללי שחסום במעגל; החסימה במעגל מחייבת שוויון של השוקיים.

נבין זאת בעזרת התנאי למרובע חסום במעגל. נסמן טרפז ABCD שבו AB || CD. בגלל שהבסיסים מקבילים, הזוויות החד־צדדיות שליד כל שוק משלימות ל־180°. זוויות חד־צדדיות הן זוג זוויות הנמצאות באותו צד של שוק החותכת שני ישרים מקבילים. למשל, ∠A ו־∠D הן זוויות חד־צדדיות בין הבסיסים והשוק AD, ולכן ∠A + ∠D = 180°.

מאחר שהטרפז חסום במעגל, מתקיים גם התנאי של מרובע חסום: ∠A + ∠C = 180°. כעת יש שני שוויונות שבהם מופיעה ∠A:

• ∠A + ∠D = 180°
• ∠A + ∠C = 180°

משני השוויונות נובע ש־∠D = ∠C. כלומר שתי הזוויות שליד הבסיס CD שוות. באופן דומה אפשר להסיק גם ש־∠A = ∠B. שוויון זוויות הבסיס בטרפז מאפיין טרפז שווה־שוקיים, ולכן הטרפז החסום במעגל הוא בהכרח טרפז שווה־שוקיים.

מעגל חסום במשולש

מעגל חסום במשולש הוא מעגל הנמצא בתוך המשולש ומשיק לכל שלוש צלעותיו. אומרים שהמשולש חוסם את המעגל. בכל משולש אפשר לחסום מעגל, כלומר תמיד קיים מעגל אחד ויחיד המשיק לשלוש הצלעות.

מרכז המעגל החסום במשולש הוא נקודת החיתוך של שלושת חוצי הזוויות של המשולש. חוצה זווית הוא קרן היוצאת מקודקוד הזווית ומחלקת אותה לשתי זוויות שוות.

התכונה המרכזית של חוצה זווית היא: כל נקודה הנמצאת על חוצה הזווית נמצאת במרחק שווה משתי שוקי הזווית. במשולש, ניקח שני חוצי זוויות. נקודת החיתוך שלהם נמצאת במרחק שווה משתי צלעות סמוכות, ולכן היא נמצאת במרחק שווה גם מהצלע השלישית. מכאן שהיא נמצאת במרחק שווה משלוש צלעות המשולש.

מרחק שווה זה הוא רדיוס המעגל החסום. אם נוריד אנכים מהנקודה אל שלוש הצלעות, נקבל שלושה קטעים שווים. כל אחד מהם מגיע אל נקודת ההשקה של המעגל עם צלע, והוא מאונך לאותה צלע. לכן המעגל שמרכזו בנקודה זו ורדיוסו שווה למרחק הזה משיק לכל שלוש הצלעות.

בניגוד למעגל החוסם, שמרכזו נקבע לפי מרחקים שווים מהקודקודים, המעגל החסום נקבע לפי מרחקים שווים מהצלעות. לכן מרכזו הוא מפגש חוצי הזוויות ולא מפגש האנכים האמצעיים.

הקשר בין האנכים האמצעיים לחוצי הזוויות במשולש

בכל משולש קיימים שני מעגלים חשובים: מעגל חוסם ומעגל חסום. שניהם נבנים בעזרת ישרים מיוחדים במשולש, אך כל אחד מהם מתאים לסוג אחר של מרחק.

האנכים האמצעיים קשורים למרחק מהקודקודים. נקודה הנמצאת על אנך אמצעי של צלע רחוקה באופן שווה משני קצות הצלע, ולכן מפגש האנכים האמצעיים מתאים למרכז של מעגל העובר דרך הקודקודים.

חוצי הזוויות קשורים למרחק מהצלעות. נקודה הנמצאת על חוצה זווית רחוקה באופן שווה משתי שוקי הזווית, ולכן מפגש חוצי הזוויות מתאים למרכז של מעגל המשיק לצלעות.

לכן בכל משולש נזהה שתי נקודות מרכזיות שונות: מרכז המעגל החוסם, שהוא מפגש שלושת האנכים האמצעיים, ומרכז המעגל החסום, שהוא מפגש שלושת חוצי הזוויות. שני המעגלים קיימים תמיד, אך רק במקרים מיוחדים של משולשים מרכזיהם עשויים להתלכד.