נגזרות ואינטגרלים של פונקציות הפוכות

שיעור זה עוסק בגזירה ובאינטגרציה של פונקציות הפוכות, תוך דגש על הפונקציות הטריגונומטריות ההפוכות והפונקציות ההיפרבוליות ההפוכות. הרעיון המרכזי הוא שהנגזרת של פונקציה הפוכה קשורה ישירות לנגזרת הפונקציה המקורית, ולכן נוסחאות הגזירה משמשות גם לחישוב אינטגרלים. בנוסף, נבחן את תחומי התוקף של הנוסחאות, הנובעים מתחומי ההגדרה ומהבחירה בענף חד־חד־ערכי.

נגזרת של פונקציה הפוכה

תהי $f$ פונקציה חד־חד־ערכית וגזירה בנקודה $x_0$. אם $f'(x_0)\ne 0$, אז הפונקציה ההפוכה $g=f^{-1}$ גזירה בנקודה $y_0=f(x_0)$, ומתקיים:

$g'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)}=\frac{1}{f'(g(y_0))}$.

בכתיב שבו המשתנה של הפונקציה ההפוכה מסומן ב־$x$, הנוסחה היא:

$(f^{-1})'(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$.

המשמעות היא ששיפוע המשיק לגרף הפונקציה ההפוכה בנקודה $(y_0,x_0)$ הוא הערך ההופכי של שיפוע המשיק לגרף $f$ בנקודה $(x_0,y_0)$.

תחום התוקף של הנוסחה מוגבל לשני תנאים. ראשית, הפונקציה ההפוכה חייבת להיות מוגדרת בערך הנתון, כלומר הערך חייב להימצא בטווח של $f$. שנית, הנגזרת $f'$ בנקודה המתאימה חייבת להיות שונה מאפס; אם $f'=0$, המכנה מתאפס והנגזרת של הפונקציה ההפוכה אינה ערך סופי.

התנאי $f'(x_0)\ne 0$ אינו רק טכני. כאשר שיפוע המשיק לגרף $f$ הוא אפס, המשיק אופקי, ולכן לגרף הפונקציה ההפוכה מתאים באותה נקודה משיק אנכי. במצב כזה לא מתקבלת נגזרת סופית של הפונקציה ההפוכה.

דוגמה: $f(x)=x^2$ על התחום $[0,\infty)$ היא חד־חד־ערכית, והפונקציה ההפוכה היא $g(y)=\sqrt{y}$. עבור $y>0$ מתקיים $f'(x)=2x$, ולכן:

$g'(y)=\frac{1}{2\sqrt{y}}$.

בנקודה $y=0$ הנגזרת אינה סופית, ולכן הנוסחה תקפה רק עבור $y>0$.

נגזרות של פונקציות טריגונומטריות הפוכות ותחומי התוקף שלהן

פונקציה טריגונומטרית הפוכה מתקבלת לאחר הגבלת הפונקציה הטריגונומטרית לתחום שבו היא חד־חד־ערכית. לדוגמה, $\arcsin x$ היא ההפוכה של $\sin x$ בתחום $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$, ולכן טווח הערכים שלה הוא תחום זה.

את הנגזרות נוח לקבל מגזירת הקשר ההפוך. אם $y=\arcsin x$, אז $\sin y=x$. גזירה לפי $x$ נותנת $\cos y\cdot y'=1$, ולכן $y'=1/\cos y$. בתחום של $\arcsin$ מתקיים $\cos y\ge 0$, ולכן $\cos y=\sqrt{1-\sin^2 y}=\sqrt{1-x^2}$. מכאן:

$(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.

הנגזרת מוגדרת רק עבור $-10$ מתקבלות הנוסחאות הבאות:

$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin\left(\frac{x}{a}\right)+C$, בתחום $|x|1$,

$(\operatorname{artanh} x)'=\frac{1}{1-x^2}$ עבור $|x|<1$.

הנגזרות מתאימות גם לאינטגרציה, כפי שנראה בסעיף הבא.

דוגמה: נחשב את הנגזרת של $h(x)=\operatorname{arsinh}(2x)$. לפי כלל השרשרת:

$h'(x)=\frac{2}{\sqrt{(2x)^2+1}}=\frac{2}{\sqrt{4x^2+1}}$.

הנגזרת מוגדרת לכל $x$, משום שהמכנה חיובי תמיד.

אינטגרלים היפרבוליים והצגה לוגריתמית

הנגזרות של הפונקציות ההיפרבוליות ההפוכות מובילות למשפחת אינטגרלים שבהם מופיעים שורשים של סכום ריבועים או הפרש ריבועים. עבור $a>0$:

$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}=\operatorname{arsinh}\left(\frac{x}{a}\right)+C$.

ניתן גם לכתוב את התוצאה באמצעות לוגריתם:

$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}=\ln|x+\sqrt{x^2+a^2}|+C$.

שני הביטויים שקולים עד כדי קבוע, משום ש־$\operatorname{arsinh}(x/a)=\ln(x/a+\sqrt{x^2/a^2+1})$.

בתחומים מתאימים מתקבלות גם הנוסחאות:

$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}=\operatorname{arcosh}\left(\frac{x}{a}\right)+C$ עבור $x>a$,

$\int \frac{dx}{a^2-x^2}=\frac{1}{a}\operatorname{artanh}\left(\frac{x}{a}\right)+C$ עבור $|x|<a$.

באינטגרלים אלה חשוב לציין את תחום התוקף, משום שהפונקציות ההפוכות אינן מוגדרות מחוץ לתחומים שבהם נבחר הענף. הצורה הלוגריתמית אינה תמיד נדרשת, אך היא מועילה כאשר רוצים להציג את התשובה ללא פונקציות היפרבוליות הפוכות.

דוגמה: $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+4}}$. כאן $a=2$, ולכן:

$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+4}}=\operatorname{arsinh}\left(\frac{x}{2}\right)+C$.

בצורה לוגריתמית אפשר לכתוב:

$\ln|x+\sqrt{x^2+4}|+C$.

דוגמה נוספת: $\int \frac{dx}{9-x^2}$ בתחום $|x|<3$. כאן $a=3$, ולכן:

$\int \frac{dx}{9-x^2}=\frac{1}{3}\operatorname{artanh}\left(\frac{x}{3}\right)+C$.

באמצעות הקשר הלוגריתמי של $\operatorname{artanh}$ מתקבלת גם הצורה:

$\frac{1}{6}\ln\left(\frac{3+x}{3-x}\right)+C$.