אופטימיזציה, משפטי ערך ותנועה

השיעור מציג ארבעה יישומים מרכזיים של הנגזרת: מציאת ערכים קיצוניים של פונקציות, ניסוח והוכחה של משפטי ערך, קירוב פתרונות של משוואות, ותיאור תנועה בקו ישר. הרעיון המשותף הוא שהנגזרת מודדת קצב שינוי, ולכן היא מאפשרת לעבור מתיאור מקומי של פונקציה למסקנות גלובליות על התנהגותה.

קיצון מוחלט ובעיות אופטימיזציה

פונקציה $f$ מקבלת קיצון מוחלט בקטע $[a,b]$ אם יש לה ערך גדול ביותר או קטן ביותר מבין כל הערכים $f(x)$ עבור $x\in[a,b]$. מקסימום מוחלט הוא הערך הגדול ביותר, ומינימום מוחלט הוא הערך הקטן ביותר. בניגוד לקיצון מקומי, קיצון מוחלט נבדק על כל התחום הנתון, ולכן הוא עשוי להתקבל גם בנקודת קצה.

אם $f$ רציפה בקטע סגור $[a,b]$, היא מקבלת בקטע זה מקסימום מוחלט ומינימום מוחלט. כדי לאתרם, מחשבים את ערכי הפונקציה בנקודות הקריטיות ובנקודות הקצה. נקודה קריטית היא נקודה בתחום שבה $f'(x)=0$ או שבה הנגזרת אינה קיימת. בדיקת הקצוות חשובה במיוחד כאשר התחום סגור או כאשר לבעיה יש משמעות פיזיקלית המגבילה את המשתנים.

דוגמה: נמצא את הקיצון המוחלט של $f(x)=x^2-4x+5$ בקטע $[0,3]$.

• הנגזרת היא $f'(x)=2x-4$, ולכן הנקודה הקריטית היא $x=2$.
• נחשב את הערכים: $f(0)=5$, $f(2)=1$, $f(3)=2$.
• לכן המקסימום המוחלט הוא $5$ בנקודה $x=0$, והמינימום המוחלט הוא $1$ בנקודה $x=2$.

בעיית אופטימיזציה היא בעיה שבה נדרש למצוא את הערך הטוב ביותר של גודל מסוים, כגון שטח, זמן, עלות או מרחק, תחת אילוצים נתונים. הפתרון מתחיל בבניית פונקציית מטרה, כלומר פונקציה שהערך שלה הוא הגודל שרוצים להגדיל או להקטין. לאחר מכן משתמשים באילוצים כדי לצמצם את התחום, מוצאים נקודות קריטיות, ובודקים גם קצוות אם התחום סגור.

דוגמה: מלבן בעל היקף 20 ס"מ. נסמן את אחת מצלעותיו ב-$x$. הצלע השנייה היא $10-x$, ולכן פונקציית השטח היא $A(x)=x(10-x)=10x-x^2$, בתחום $0\le x\le 10$. הנגזרת היא $A'(x)=10-2x$, והיא מתאפסת ב-$x=5$. הערכים בקצוות הם $A(0)=A(10)=0$, ובנקודה הפנימית $A(5)=25$. לכן השטח המקסימלי הוא 25 סמ"ר, והוא מתקבל עבור מלבן שצלעותיו 5 ו-5.

משפט רול ומשפט הערך הממוצע

משפט רול קובע: אם $f$ רציפה בקטע הסגור $[a,b]$, גזירה בקטע הפתוח $(a,b)$, ומתקיים $f(a)=f(b)$, אז קיימת נקודה $c\in(a,b)$ שבה $f'(c)=0$. המשמעות הגרפית היא שאם גרף הפונקציה מתחיל ומסתיים באותו גובה, חייבת להיות לפחות נקודה פנימית שבה המשיק אופקי.

דוגמה: עבור $f(x)=x^2-2x$ בקטע $[0,2]$ מתקיים $f(0)=0$ וגם $f(2)=0$. הנגזרת היא $f'(x)=2x-2$, ולכן $f'(1)=0$. הנקודה $c=1$ היא הנקודה שבה המשיק אופקי.

משפט הערך הממוצע הוא הרחבה של משפט רול. הוא קובע: אם $f$ רציפה בקטע הסגור $[a,b]$ וגזירה בקטע הפתוח $(a,b)$, אז קיימת נקודה $c\in(a,b)$ שבה

$$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

הביטוי באגף ימין הוא שיפוע המיתר המחבר את הנקודות $(a,f(a))$ ו-$(b,f(b))$. לכן המשפט אומר שקיימת נקודה בגרף שבה המשיק מקביל למיתר. משפט רול הוא המקרה הפרטי שבו $f(a)=f(b)$, ולכן שיפוע המיתר הוא 0.

דוגמה: נבדוק את $f(x)=x^2$ בקטע $[1,3]$. שיפוע המיתר הוא

$$\frac{f(3)-f(1)}{3-1}=\frac{9-1}{2}=4.$$

הנגזרת היא $f'(x)=2x$. נפתור $2x=4$ ונקבל $x=2$. לכן בקטע $(1,3)$ קיימת הנקודה $c=2$, שבה המשיק מקביל למיתר.

חשוב להבחין בין קיום לבין חישוב ישיר: המשפטים מבטיחים קיום של נקודה מתאימה בתנאי הרציפות והגזירות, אך אינם תמיד נותנים דרך פשוטה למצוא אותה בכל פונקציה. עם זאת, בפונקציות פשוטות ניתן לחשב את $c$ ישירות. תוצאה שימושית של משפט הערך הממוצע היא שאם $f'(x)=0$ לכל $x$ בקטע, אז הפונקציה קבועה באותו קטע.

שיטת ניוטון לקירוב פתרונות

שיטת ניוטון היא שיטה איטרטיבית לקירוב פתרונות של משוואות מהצורה $f(x)=0$. הרעיון הוא להתחיל בניחוש $x_0$ הקרוב יחסית לפתרון, להעביר משיק לגרף בנקודה $(x_0,f(x_0))$, ולקחת את נקודת החיתוך של המשיק עם ציר $x$ כקירוב הבא. אם הפונקציה גזירה בסביבה מתאימה והניחוש מספיק טוב, הקירובים מתכנסים לפתרון.

הנוסחה הכללית היא

$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.$$

הנוסחה מתקבלת ממשוואת המשיק בנקודה $x_n$: $y=f(x_n)+f'(x_n)(x-x_n)$. מציבים $y=0$ ומבודדים את $x$. בדרך כלל עוצרים את התהליך כאשר ההפרש בין שני קירובים עוקבים קטן מדרישת דיוק שנקבעה מראש.

דוגמה: נקרב את הפתרון החיובי של $x^2=2$, כלומר את $\sqrt{2}$, באמצעות $f(x)=x^2-2$ וניחוש התחלתי $x_0=1$.

• עבור $n=0$: $f(1)=-1$, $f'(1)=2$, ולכן $$x_1=1-\frac{-1}{2}=1.5.$$
• עבור $n=1$: $f(1.5)=2.25-2=0.25$, $f'(1.5)=3$, ולכן $$x_2=1.5-\frac{0.25}{3}\approx1.4167.$$

הקירוב $x_2$ כבר קרוב מאוד לערך $\sqrt{2}\approx1.4142$.

יש להשתמש בשיטה בזהירות. אם $f'(x_n)=0$, הצעד אינו מוגדר. אם הניחוש ההתחלתי רחוק מדי, או שהפונקציה מתנהגת באופן לא נוח בסביבה, ייתכן שהסדרה לא תתכנס לפתרון המבוקש. לכן נהוג לשלב את השיטה עם הבנה איכותית של הפונקציה, כגון סימני ערכים ונקודות שבהן הפונקציה מחליפה סימן.

תנועה בקו ישר: מקום, מהירות ותאוצה

בתנועה בקו ישר מתארים את מיקום הגוף כפונקציה של הזמן. נסמן את פונקציית המקום ב-$s(t)$, כאשר $t$ הוא הזמן ו-$s(t)$ היא הקואורדינטה של הגוף על ציר התנועה. אם הגוף נמצא בנקודה $s(t_1)$ בזמן $t_1$ ובנקודה $s(t_2)$ בזמן $t_2$, המהירות הממוצעת בקטע הזמנים היא

$$\frac{s(t_2)-s(t_1)}{t_2-t_1}.$$

המהירות הרגעית היא הגבול של יחס זה כאשר אורך קטע הזמנים שואף לאפס, כלומר הנגזרת של המקום:

$$v(t)=s'(t).$$

התאוצה הרגעית היא קצב השינוי של המהירות, ולכן היא הנגזרת של המהירות:

$$a(t)=v'(t)=s''(t).$$

סימן המהירות מציין את כיוון התנועה. אם $v(t)>0$, הגוף נע בכיוון החיובי של הציר; אם $v(t)<0$, הוא נע בכיוון השלילי; ואם $v(t)=0$, הגוף נמצא בעצירה רגעית. תאוצה חיובית אינה אומרת בהכרח שהגוף נע בכיוון החיובי; היא אומרת שהמהירות משתנה בכיוון החיובי. אם $v$ ו-$a$ מאותו סימן, גודל המהירות גדל; אם הן בסימנים מנוגדים, גודל המהירות קטן.

דוגמה: גוף נע לאורך ציר לפי $s(t)=t^2-4t+3$, כאשר $t$ בשניות ו-$s$ במטרים.

• המקום: $s(t)=t^2-4t+3$.
• המהירות: $v(t)=s'(t)=2t-4$.
• התאוצה: $a(t)=v'(t)=2$.

בזמן $t=1$ מתקבלת מהירות $v(1)=-2$, ולכן הגוף נע בכיוון השלילי. בזמן $t=2$ מתקבלת $v(2)=0$, ולכן זו עצירה רגעית. בזמן $t=3$ מתקבלת $v(3)=2$, ולכן הגוף נע בכיוון החיובי. מכיוון שהתאוצה קבועה וחיובית, לפני $t=2$ המהירות שלילית וגודלה קטן עד העצירה, ואחרי $t=2$ המהירות חיובית וגדלה.

יש להבחין בין העתק לבין מרחק. העתק הוא הפרש המקומות $s(t_2)-s(t_1)$, והוא יכול להיות חיובי, שלילי או אפס. מרחק הוא אורך המסלול שהגוף עבר בפועל, ולכן הוא אינו שלילי. בדוגמה שלעיל, $s(0)=3$, $s(2)=-1$, $s(3)=0$. בין $t=0$ ל-$t=2$ הגוף עבר מרחק של 4 מטרים, ובין $t=2$ ל-$t=3$ עבר מרחק של מטר אחד. לכן המרחק הכולל עד $t=3$ הוא 5 מטרים, אף שההעתק מ-$t=0$ עד $t=3$ הוא $s(3)-s(0)=-3$ מטרים. בבעיות תנועה יש תחילה לחשב את $v(t)$ ואת $a(t)$, ורק לאחר מכן לפרש את הסימנים שלהם ביחס לכיוון התנועה ולשינוי גודל המהירות.