אינטגרל של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות

השיעור עוסק באינטגרציה של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות שהביטוי הפנימי שלהן הוא פונקציה לינארית. הרעיון המרכזי: אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה, ולכן יש להתחשב בנגזרת של הביטוי הפנימי. נלמד גם כיצד מוצאים פונקציה קדומה לפי נגזרת ונקודה על הגרף, וכיצד מחשבים אינטגרל מסוים בעזרת הצבה בגבולות.

הפונקציה הקדומה וקבוע האינטגרציה

פונקציה קדומה של פונקציה $f$ היא פונקציה $F$ שנגזרתה שווה ל־$f$:

$F'(x)=f(x)$

באינטגרציה מחפשים את כל הפונקציות שנגזרתן היא הפונקציה הנתונה. לכן האינטגרל הלא מסוים מסומן כך:

$\int f(x)\,dx=F(x)+C$

האות $C$ היא קבוע האינטגרציה. היא נחוצה משום שהוספת קבוע לפונקציה אינה משנה את הנגזרת שלה. לכן לפונקציה נתונה יש משפחה של פונקציות קדומות, וכל אחת מהן נבדלת מהאחרות בקבוע בלבד.

כאשר נתונה נקודה אחת על גרף הפונקציה הקדומה, אפשר להציב אותה ולמצוא את $C$. כך מתקבלת פונקציה אחת מסוימת, ולא רק משפחה כללית.

אינטגרל של פונקציה מעריכית מהצורה $e^{f(x)}$

הפונקציה המעריכית $e^x$ מתאפיינת בכך שהנגזרת שלה שווה לעצמה:

$(e^x)'=e^x$

לכן האינטגרל של $e^x$ הוא:

$\int e^x\,dx=e^x+C$

כאשר המעריך אינו $x$ אלא פונקציה לינארית, יש להתחשב בנגזרת של המעריך. פונקציה לינארית היא פונקציה מהצורה:

$f(x)=ax+b$

כאשר $a$ ו־$b$ קבועים. אם $a\neq 0$, מתקיים:

$\left(e^{ax+b}\right)'=a\cdot e^{ax+b}$

כלומר, הגזירה מכפילה את הפונקציה במקדם של $x$. כדי לחזור בפעולת האינטגרציה אל $e^{ax+b}$, יש לחלק במקדם הזה:

$\int e^{ax+b}\,dx=\frac{1}{a}e^{ax+b}+C$

למשל, עבור הביטוי $e^{3x-2}$, המקדם של $x$ הוא 3, ולכן:

$\int e^{3x-2}\,dx=\frac{1}{3}e^{3x-2}+C$

אם המקדם של $x$ שלילי, החלוקה היא במספר שלילי. למשל:

$\int e^{4-2x}\,dx=-\frac{1}{2}e^{4-2x}+C$

הנוסחה הזו מתאימה למקרה שבו המעריך הוא פונקציה לינארית בלבד. אם המעריך הוא ביטוי ריבועי, שורש או ביטוי מורכב אחר, אין פשוט לחלק בנגזרת הביטוי הפנימי ללא כלים נוספים.

אינטגרל של $\frac{1}{x}$ ושל $\frac{1}{f(x)}$ עבור פונקציה לינארית

הפונקציה הלוגריתמית הטבעית $\ln x$ מוגדרת עבור $x>0$, ונגזרתה היא:

$(\ln x)'=\frac{1}{x}$

כדי לאפשר אינטגרציה גם בתחומים שבהם $x$ שלילי, משתמשים בערך מוחלט וכותבים:

$\int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C$

זאת משום שהנגזרת של $\ln|x|$ היא $\frac{1}{x}$ לכל $x\neq 0$.

כאשר המכנה הוא פונקציה לינארית, כלומר $f(x)=ax+b$ עם $a\neq 0$, הנגזרת של $\ln|ax+b|$ היא:

$\left(\ln|ax+b|\right)'=\frac{a}{ax+b}$

לכן באינטגרציה יש לחלק במקדם $a$:

$\int \frac{1}{ax+b}\,dx=\frac{1}{a}\ln|ax+b|+C$

למשל:

$\int \frac{1}{3x-6}\,dx=\frac{1}{3}\ln|3x-6|+C$

הערך המוחלט מבטיח שהביטוי הלוגריתמי יהיה מוגדר גם כאשר $ax+b$ שלילי. יחד עם זאת, הפונקציה $\frac{1}{ax+b}$ אינה מוגדרת בנקודה שבה $ax+b=0$, כלומר בנקודה:

$x=-\frac{b}{a}$

נקודה זו היא נקודת אי־הגדרה של הפונקציה, ואין להשתמש בהצבה רגילה של אינטגרל מסוים על פני קטע המכיל אותה.

מציאת פונקציה קדומה לפי הנגזרת ונקודה על הגרף

כאשר נתונה הנגזרת של פונקציה ונתונה גם נקודה שהגרף עובר בה, אפשר למצוא את הפונקציה עצמה בשלבים.

תחילה מבצעים אינטגרציה של הנגזרת ומקבלים את הצורה הכללית של הפונקציה, הכוללת את קבוע האינטגרציה $C$. לאחר מכן מציבים את שיעורי הנקודה הנתונה: ערך ה־$x$ וערך ה־$y$ המתאים לו. ההצבה יוצרת משוואה שבה הנעלם היחיד הוא $C$, ופתרון המשוואה נותן את הקבוע המתאים.

למשל, אם נתון כי:

$F'(x)=e^{2x}$

וכי גרף הפונקציה עובר בנקודה $(0,5)$, נבצע תחילה אינטגרציה:

$F(x)=\int e^{2x}\,dx=\frac{1}{2}e^{2x}+C$

כעת נציב את הנקודה. כאשר $x=0$, ערך הפונקציה הוא 5:

$5=\frac{1}{2}e^{0}+C$

מאחר ש־$e^0=1$, מתקבל:

$5=\frac{1}{2}+C$

ולכן:

$C=\frac{9}{2}$

הפונקציה המבוקשת היא:

$F(x)=\frac{1}{2}e^{2x}+\frac{9}{2}$

באופן דומה פועלים גם כאשר הנגזרת היא מהצורה $\frac{1}{ax+b}$: תחילה מוצאים את האינטגרל הכולל לוגריתם, אחר כך מציבים את הנקודה הנתונה, ולבסוף מחשבים את $C$.

חישוב אינטגרל מסוים

אינטגרל מסוים מתאר ערך מספרי המתקבל מהצבת גבולות בפונקציה קדומה. אם $F$ היא פונקציה קדומה של $f$, אז:

$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$

הביטוי $a$ נקרא הגבול התחתון של האינטגרל, והביטוי $b$ נקרא הגבול העליון. החישוב אינו כולל את קבוע האינטגרציה, משום שהוא מצטמצם בהפרש:

$(F(b)+C)-(F(a)+C)=F(b)-F(a)$

עבור פונקציה מעריכית מהצורה $e^{mx+n}$, כאשר $m\neq 0$, מתקבל:

$$\int_a^b e^{mx+n}\,dx= \left[\frac{1}{m}e^{mx+n}\right]_a^b = \frac{1}{m}\left(e^{mb+n}-e^{ma+n}\right)$$

למשל:

$$\int_0^2 e^{3x+1}\,dx= \left[\frac{1}{3}e^{3x+1}\right]_0^2 = \frac{1}{3}\left(e^{7}-e^{1}\right)$$

עבור פונקציה מהצורה $\frac{1}{mx+n}$, כאשר $m\neq 0$, מתקבל:

$$\int_a^b \frac{1}{mx+n}\,dx= \left[\frac{1}{m}\ln|mx+n|\right]_a^b$$

ובתנאי שהפונקציה מוגדרת ורציפה לאורך כל הקטע שבין $a$ ל־$b$. אם בתוך הקטע יש נקודה שבה המכנה מתאפס, אין להשתמש בהצבה רגילה בגבולות.

למשל:

$$\int_1^3 \frac{1}{2x+1}\,dx= \left[\frac{1}{2}\ln|2x+1|\right]_1^3 = \frac{1}{2}(\ln 7-\ln 3)$$

בעזרת חוקי לוגריתמים אפשר לכתוב את התוצאה גם כך:

$\frac{1}{2}\ln\frac{7}{3}$

האינטגרל המסוים יכול להיות חיובי, שלילי או אפס, בהתאם לערכי הפונקציה בתחום האינטגרציה. כאשר הפונקציה נמצאת מעל ציר $x$, התרומה שלה לאינטגרל חיובית. כאשר היא נמצאת מתחת לציר $x$, התרומה שלילית. אם הפונקציה מחליפה סימן בתוך התחום, יש להתייחס בנפרד לתתי־התחומים המתאימים.