ישר מאונך למישור, מנסרה ישרה ופירמידה ישרה

בשיעור זה נבחן ניצבות בין ישר למישור ואת השימוש בה בשני גופים: מנסרה ישרה ופירמידה ישרה. ניצבות אינה תכונה של ישר בלבד, אלא קשר בין ישר לבין כל המישור; קשר זה קובע את צורת הפאות, את אורך המקצועות ואת מיקום הגוף. נלמד תחילה את ההגדרה ואת התנאי המספיק לניצבות, ואחר כך ניישם אותם בתכונות המנסרה והפירמידה.

ישר מאונך למישור

ישר ומישור יכולים להיחתך בנקודה אחת. כאשר הישר החותך את המישור יוצר זווית ישרה עם כל ישר במישור, אומרים שהישר מאונך למישור. נקודת החיתוך נקראת עקב הישר או עקב האנך.

הגדרה זו חזקה מניצבות רגילה בין שני ישרים. במישור מספיק לבדוק זווית בין שני ישרים נחתכים. במרחב, ישר מאונך למישור פירושו שהישר ניצב לכל הכיוונים האפשריים באותו מישור. אם מעמידים קיסם במאונך למשטח שולחן, כל ישר שנמתח על המשטח ויוצר עם הקיסם זווית של 90° מעיד על ניצבות כזו. גם אם ישר במישור אינו עובר בנקודת החיתוך עצמה, אפשר להעביר דרך אותה נקודה ישר מקביל לו, ולכן הזווית עם הישר המאונך נשמרת.

מכאן נובעת מסקנה חשובה: ניצבות של ישר לישר אחד במישור אינה מספיקה כדי לקבוע שהישר מאונך למישור. ישר משופע ביחס למישור יכול להיות מאונך לישר מסוים בו, אך אינו מאונך לכל הישרים בו. לכן יש צורך בתנאי רחב יותר.

בשרטוט מסמנים ניצבות כזו בעזרת זווית ישרה בין הישר לבין ישר במישור, אך המשמעות היא ניצבות לכל כיוון במישור.

התנאי המספיק לניצבות ישר למישור

בדיקת כל הישרים במישור אינה אפשרית בפתרון תרגיל. לכן משתמשים בתנאי מספיק קצר ושימושי: אם ישר חותך מישור בנקודה, והוא מאונך לשני ישרים נחתכים במישור העוברים דרך אותה נקודה, אז הוא מאונך לאותו מישור.

התנאי כולל שתי דרישות:

• הישר מאונך לשני ישרים במישור העוברים דרך נקודת החיתוך.
• שני הישרים הללו נחתכים זה עם זה, כלומר אינם אותו ישר ואינם מקבילים.

שני ישרים נחתכים במישור קובעים את הכיוונים השונים של המישור. אם ישר מאונך לשניהם, הוא מאונך לכל כיוון במישור, ולכן הוא מאונך למישור כולו. לעומת זאת, אם שני הישרים מקבילים, הם מייצגים כיוון אחד בלבד. במצב כזה ייתכן שהישר מאונך לאותו כיוון, אך עדיין אינו מאונך למישור כולו.

בתרגילים רבים בגאומטריה במרחב, התנאי המספיק הוא הדרך להוכיח שגובה, מקצוע או אלכסון מאונך למישור. למשל, אם רוצים להראות שקטע מסוים מאונך למישור הבסיס, מחפשים במישור הבסיס שני ישרים נחתכים ומוכיחים שהקטע מאונך לכל אחד מהם.

מנסרה ישרה: הגדרה ותכונות

מנסרה היא גוף במרחב שיש לו שני בסיסים שהם מצולעים חופפים ומקבילים זה לזה. הפאות הצדדיות מחברות בין צלעות הבסיסים, והמקצועות הצדדיים מחברים בין קודקודים מתאימים של שני הבסיסים.

מנסרה ישרה היא מנסרה שבה המקצועות הצדדיים מאונכים למישורי הבסיסים. זו התכונה שמבדילה מנסרה ישרה ממנסרה שאינה ישרה. במנסרה שאינה ישרה, המקצועות הצדדיים אינם מאונכים לבסיסים, ולכן הפאות הצדדיות אינן בהכרח מלבנים.

התכונות העיקריות של מנסרה ישרה:

• שני הבסיסים חופפים ונמצאים במישורים מקבילים.
• כל מקצוע צדדי מאונך לכל ישר במישור הבסיס, ולכן הוא מאונך גם לבסיס השני.
• כל המקצועות הצדדיים שווים באורכם.
• כל פאה צדדית היא מלבן, משום שהיא בנויה ממקצוע צדדי המאונך לצלעות הבסיס.
• אורך כל מקצוע צדדי הוא גובה המנסרה.

המקצוע הצדדי במנסרה ישרה הוא דוגמה ישירה לישר המאונך למישור. אם הבסיס הוא משולש, יש שלוש פאות צדדיות ושלושה מקצועות צדדיים. אם הבסיס הוא מרובע, יש ארבע פאות צדדיות וארבעה מקצועות צדדיים. באופן כללי, מספר המקצועות הצדדיים כמספר קודקודי הבסיס.

מקרים פרטיים מוכרים של מנסרה ישרה הם תיבה וקובייה. תיבה היא מנסרה ישרה שבסיסיה מלבנים, וכל פאותיה מלבנים. קובייה היא תיבה שכל פאותיה ריבועים. בשני המקרים, המקצועות הצדדיים מאונכים לבסיסים, ולכן הגובה שווה לאורך המקצוע הצדדי.

גובה המנסרה הישרה

גובה של מנסרה הוא המרחק בין שני מישורי הבסיסים שלה. במנסרה ישרה, המרחק הזה שווה לאורך כל מקצוע צדדי, משום שהמקצוע הצדדי מאונך לבסיסים ומחבר בין נקודות מתאימות בהם. לכן במנסרה ישרה כל מקצוע צדדי משמש גובה, ואין צורך לחפש קטע נפרד.

זו הבחנה חשובה לעומת מנסרה שאינה ישרה. במנסרה שאינה ישרה, המקצוע הצדדי אינו מאונך לבסיסים, ולכן אורכו אינו המרחק בין הבסיסים. במקרה כזה הגובה הוא אנך בין המישורים המקבילים של הבסיסים, והוא אינו אחד המקצועות הצדדיים.

פירמידה ישרה: הגדרה

פירמידה היא גוף במרחב שיש לו בסיס מצולע וקודקוד ראש הנמצא מחוץ למישור הבסיס. הפאות הצדדיות הן משולשים, שכל אחד מהם מחבר את קודקוד הראש עם צלע של הבסיס. המקצועות הצדדיים הם הקטעים המחברים את קודקוד הראש אל קודקודי הבסיס.

פירמידה ישרה היא פירמידה שבה כל המקצועות הצדדיים שווים באורכם. כלומר, אם קודקוד הראש הוא S וקודקודי הבסיס הם A, B, C וכדומה, אז SA = SB = SC וכן הלאה. שם הפירמידה נקבע לפי צורת הבסיס: פירמידה משולשת, פירמידה מרובעת, פירמידה מחומשת וכדומה.

ההגדרה אינה מחייבת שהבסיס יהיה ריבוע או משולש שווה צלעות; היא עוסקת בשוויון אורכי המקצועות הצדדיים. עם זאת, כאשר הבסיס הוא ריבוע או משולש שווה צלעות, מתקבלת פירמידה סימטרית ומוכרת, שבה קל לזהות את מיקום הגובה.

תכונת הגובה בפירמידה ישרה

גובה של פירמידה הוא האנך המורד מקודקוד הראש אל מישור הבסיס. אורך הגובה הוא המרחק בין קודקוד הראש לבין מישור הבסיס, ונקודת החיתוך של הגובה עם הבסיס נקראת עקב הגובה.

בפירמידה ישרה יש לגובה תכונה מרכזית: הוא מאונך למישור הבסיס ועקב הגובה נמצא בנקודה שמרחקיה מקודקודי הבסיס שווים. נסביר מדוע.

נסמן את קודקוד הראש באות S, את עקב הגובה באות O, ואת אחד מקודקודי הבסיס באות A. מכיוון ש־SO הוא גובה, הוא מאונך למישור הבסיס. לכן הזווית בין SO לבין כל ישר במישור הבסיס העובר דרך O היא זווית ישרה, ובפרט המשולש SOA הוא משולש ישר זווית. בפירמידה ישרה כל המקצועות הצדדיים שווים, ולכן SA שווה לכל מקצוע צדדי אחר. הקטע SO משותף לכל המשולשים שנוצרים עם קודקודי הבסיס. לפי משפט פיתגורס, אם היתר SA קבוע והניצב SO קבוע, אז גם הניצב OA קבוע. מכאן ש־OA שווה למרחקים מ־O אל שאר קודקודי הבסיס.

לכן עקב הגובה בפירמידה ישרה הוא נקודה בבסיס שמרחקיה מקודקודי הבסיס שווים. נקודה זו אינה בהכרח אחד מקודקודי הבסיס, ואינה בהכרח נמצאת על צלע של הבסיס. מיקומה המדויק תלוי בצורת הבסיס, ולכן נוח להכיר כמה מקרים נפוצים.

תכונה זו שימושית בפתרון תרגילים. כאשר נתונה פירמידה ישרה, אפשר לדעת שהגובה אינו מקצוע צדדי, אלא קטע פנימי מקודקוד הראש אל הבסיס, והוא יוצר עם הבסיס זווית ישרה. כמו כן, אפשר להשתמש בגובה כדי לבנות משולשים ישרי זווית שבהם מחשבים אורכים בעזרת משפט פיתגורס.

עקב הגובה בבסיסים נפוצים

אף שהתכונה הכללית של פירמידה ישרה היא שעקב הגובה רחוק מרחקים שווים מקודקודי הבסיס, בשרטוטים ובחישובים נוח לזהות נקודה זו לפי סוג הבסיס.

• בבסיס ריבוע או מלבן: עקב הגובה הוא מפגש האלכסונים. במלבן האלכסונים שווים וחוצים זה את זה, ולכן נקודת המפגש רחוקה מרחק שווה מארבעת קודקודי הבסיס.
• בבסיס משולש: עקב הגובה הוא מרכז המעגל החוסם את המשולש. במשולש חד־זווית נקודה זו נמצאת בתוך המשולש, במשולש ישר־זווית היא נמצאת באמצע היתר, ובמשולש קהה־זווית היא נמצאת מחוץ למשולש.
• בבסיס שהוא מצולע משוכלל: עקב הגובה הוא מרכז המצולע. לדוגמה, במשולש שווה צלעות זהו מפגש התיכונים, הגבהים וחוצי הזוויות, ובריבוע זהו מפגש האלכסונים.

הזיהוי הזה חשוב כאשר מסמנים גובה בשרטוט. בפירמידה ישרה אין לסמן את הגובה לאורך מקצוע צדדי. יש לסמן אותו כקטע היורד מקודקוד הראש אל עקב הגובה בבסיס, ולהקפיד שהקטע יהיה מאונך למישור הבסיס.