מנסרה ופירמידה – הגדרות, תכונות ווקטורים בגופים

בשיעור זה נבחין בין שני מבנים מרחביים נפוצים: גוף בעל שני בסיסים מקבילים וגוף בעל בסיס אחד וקודקוד מחוץ לו. נגדיר את חלקי הגוף ואת המדידות הקשורות אליו, ונראה איך אפשר לתאר קטעים בגוף באמצעות מושגים בסיסיים של וקטורים. הרעיון המרכזי הוא שהמבנה הגאומטרי קובע אילו קטעים שווים, אילו הפוכים ואילו מקבילים.

הגדרת מנסרה ומונחיה

מנסרה היא גוף במרחב שיש לו שני בסיסים חופפים הנמצאים בשני מישורים מקבילים. כל קודקוד בבסיס אחד מחובר לקודקוד המתאים לו בבסיס השני במקצוע צדדי. הבסיסים הם שני המצולעים החופפים, והם קובעים את שם המנסרה: מנסרה משולשת, מרובעת, מחומשת וכדומה. שני הבסיסים אינם חייבים להיות מצולעים משוכללים; די בכך שהם חופפים ומקבילים.

אם לבסיס המנסרה יש n צלעות, למנסרה יש n מקצועות צדדיים, וכל פאה צדדית מתאימה לאחת מצלעות הבסיס. הקודקודים של המנסרה הם קודקודי שני הבסיסים.

פאה היא כל אחד מהמצולעים המרכיבים את הגוף. שתי הפאות החופפות והמקבילות נקראות בסיסים, ושאר הפאות נקראות פאות צדדיות. במנסרה, הפאות הצדדיות הן מקביליות.

מקצוע הוא קטע המחבר שני קודקודים באותה פאה. מקצועות הבסיס הם צלעות הבסיס, ומקצוע צדדי הוא מקצוע המחבר בין שני הבסיסים.

אלכסון הוא קטע המחבר שני קודקודים בגוף שאינם מחוברים במקצוע. אלכסון יכול להימצא בפאה אחת, למשל אלכסון של בסיס או של פאה צדדית, ויכול להיות אלכסון של הגוף המחבר קודקודים משני הבסיסים שאינם שייכים לאותה פאה. בבסיס מרובע, אלכסון הבסיס מחבר קודקודים נגדיים של הבסיס. בפאה צדדית, אלכסון הפאה מחבר קודקודים נגדיים של אותה מקבילית.

גובה של מנסרה הוא המרחק בין שני מישורי הבסיסים. כלומר, זהו אורכו של קטע המאונך לשני הבסיסים ומחבר בין המישורים שלהם. במנסרה שאינה ישרה, הגובה אינו בהכרח אחד המקצועות הצדדיים.

שטח מעטפת ושטח פנים של מנסרה

שטח מעטפת של מנסרה הוא סכום שטחי הפאות הצדדיות בלבד, ללא שטחי הבסיסים. שטח פנים הוא סכום שטחי כל הפאות, כלומר שטח המעטפת ועוד שטחי שני הבסיסים. אפשר לדמיין את שטח המעטפת כפריסה של הפאות הצדדיות על מישור: פותחים את הפאות הצדדיות ברצף, ומקבלים מקביליות או מלבנים.

כאשר הבסיסים חופפים, שטח שני הבסיסים הוא פעמיים שטח בסיס אחד. לכן שטח הפנים שווה לשטח המעטפת ועוד פעמיים שטח הבסיס. בחישוב שטח פנים יש להקפיד לא לספור פאה פעמיים ולא לשכוח את הבסיסים.

במנסרה ישרה הפאות הצדדיות הן מלבנים, ולכן שטח כל פאה צדדית הוא מכפלת אורך מקצוע הבסיס המתאים בגובה המנסרה. במנסרה שאינה ישרה הפאות הצדדיות הן מקביליות, ויש לחשב את שטח כל פאה לפי צלע הפאה והגובה של אותה פאה, ולא לפי גובה המנסרה בלבד.

במנסרה שאינה ישרה, אין להשתמש בגובה המנסרה כגובה הפאה הצדדית. הגובה של פאה צדדית הוא המרחק בין שני מקצועות צדדיים סמוכים באותה פאה, והוא נמדד בתוך הפאה עצמה.

מקרים פרטיים של מנסרה

מקבילון הוא מנסרה שבסיסיה מקביליות. במקבילון כל הפאות הן מקביליות, וכל המקצועות המקבילים זה לזה שווים באורכם. מקבילון שימושי במיוחד לזיהוי וקטורים שווים ונגדיים, משום שיש בו זוגות רבים של מקצועות מקבילים.

מנסרה ישרה היא מנסרה שבה המקצועות הצדדיים מאונכים למישורי הבסיסים. במנסרה ישרה הפאות הצדדיות הן מלבנים, ואורך כל מקצוע צדדי שווה לגובה המנסרה.

תיבה היא מנסרה שכל פאותיה מלבנים. בפרט, הבסיסים שלה מלבנים, והיא מנסרה ישרה. בתיבה יש אלכסוני פאות ואלכסוני גוף; אלכסון הגוף מחבר קודקודים נגדיים שאינם באותה פאה.

קובייה היא תיבה שכל פאותיה ריבועים. בקובייה כל המקצועות שווים באורכם, וכל הפאות חופפות. הקובייה היא גם מקבילון, גם מנסרה ישרה וגם תיבה; השיוך שלה לכמה קבוצות נובע מהגדרותיה.

הגדרת פירמידה ומונחיה

פירמידה היא גוף במרחב שבסיסו מצולע, ויש לו קודקוד אחד הנקרא קודקוד הראש, הנמצא מחוץ למישור הבסיס. קודקוד הראש מחובר לכל קודקודי הבסיס במקצועות צדדיים.

הבסיס הוא המצולע שעליו נשענת הפירמידה, והוא קובע את שם הפירמידה: פירמידה משולשת, מרובעת, מחומשת וכדומה. כל פאה צדדית היא משולש שקודקודיו הם קודקוד הראש ושני קודקודים סמוכים בבסיס.

מקצוע בפירמידה הוא קטע המחבר שני קודקודים באותה פאה. מקצועות הבסיס הם צלעות הבסיס, והמקצועות הצדדיים מחברים את קודקוד הראש לקודקודי הבסיס. אם לבסיס יש n צלעות, לפירמידה יש n פאות צדדיות, n מקצועות צדדיים ו־n+1 קודקודים.

גובה של פירמידה הוא קטע המאונך למישור הבסיס ויוצא מקודקוד הראש אל מישור הבסיס. אורכו של קטע זה הוא המרחק בין קודקוד הראש למישור הבסיס. נקודת החיתוך של הגובה עם מישור הבסיס נקראת רגל הגובה, והיא יכולה להימצא בתוך הבסיס, על אחת מצלעותיו או מחוצה לו.

בפירמידה שאינה ישרה, מקצוע צדדי יכול להיות משופע ביחס לבסיס, והגובה אינו אחד המקצועות הצדדיים. לכן אין להניח שהמרחק מקודקוד הראש לבסיס שווה לאורך אחד המקצועות הצדדיים.

שטח מעטפת של פירמידה הוא סכום שטחי הפאות הצדדיות. שטח פנים הוא סכום שטח המעטפת ועוד שטח הבסיס. בפירמידה יש בסיס אחד בלבד, ולכן בשטח הפנים מוסיפים את שטח הבסיס פעם אחת בלבד.

פירמידה ישרה ותכונת הגובה

פירמידה ישרה היא פירמידה שבה כל המקצועות הצדדיים שווים באורכם. הגדרה זו מדגישה את השוויון בין הקטעים המחברים את קודקוד הראש לקודקודי הבסיס. ההגדרה אינה דורשת שהבסיס יהיה מצולע משוכלל, אך בבסיסים שבהם קיימת נקודה שמרחקה שווה מכל הקודקודים, קל יותר לזהות את רגל הגובה.

תכונת הגובה של פירמידה ישרה קושרת בין שוויון המקצועות הצדדיים לבין מיקום הגובה בבסיס. אם הגובה יורד מקודקוד הראש אל מישור הבסיס, רגל הגובה היא נקודה שמרחקה שווה מכל קודקודי הבסיס. אם לבסיס יש מעגל חוסם, נקודה זו היא מרכז המעגל החוסם.

הסבר לתכונה זו: הגובה, הקטע מרגל הגובה לקודקוד בסיס, והמקצוע הצדדי יוצרים משולש ישר זווית. אם כל המקצועות הצדדיים שווים והגובה משותף, אז הקטעים מרגל הגובה לקודקודי הבסיס שווים. לכן רגל הגובה רחוקה באותו מרחק מכל קודקודי הבסיס.

במקרים נפוצים אפשר לזהות נקודה זו בקלות. בפירמידה ישרה שבסיסה ריבוע או מלבן, רגל הגובה היא מפגש האלכסונים של הבסיס. בפירמידה ישרה שבסיסה משולש שווה צלעות, רגל הגובה היא מרכז המשולש.

כאשר ידוע אורך מקצוע צדדי ואורך הקטע בבסיס המחבר את רגל הגובה לקודקוד הבסיס, אפשר לחשב את גובה הפירמידה בעזרת משפט פיתגורס, משום שהגובה מאונך למישור הבסיס ויוצר משולש ישר זווית עם המקצוע הצדדי.

יישום מושגי יסוד בווקטורים בעזרת גופים במרחב

וקטור הוא קטע מכוון, כלומר קטע שיש לו אורך וכיוון. בגופים במרחב, מקצועות, אלכסונים וגבהים יכולים לייצג וקטורים שונים. כדי לעבוד עם וקטורים בגוף, נהוג לסמן את קודקודי הגוף באותיות ולהשתמש בקטעים שביניהם.

שני וקטורים שווים אם יש להם אותו אורך ואותו כיוון. המיקום המדויק של הקטע במרחב אינו משנה לשוויון. במנסרה, שני מקצועות צדדיים מקבילים ושווי אורך המכוונים מאותו בסיס אל הבסיס השני מייצגים וקטורים שווים.

אם הבסיסים חופפים ומקבילים, מקצועות מתאימים בבסיסים מייצגים וקטורים שווים. במנסרה שבה הבסיס התחתון הוא ABC והבסיס העליון הוא A′B′C′, הווקטורים AB ו־A′B′ שווים כאשר שני הקטעים מקבילים, שווים באורכם ומכוונים מאותו צד. לעומתם, AB ו־B′A′ אינם שווים בדרך כלל.

וקטורים נגדיים הם וקטורים בעלי אותו אורך וכיוונים הפוכים. לדוגמה, הווקטור מקודקוד A לקודקוד B והווקטור מקודקוד B לקודקוד A הם נגדיים. במנסרה או במקבילון, אם מסמנים שני מקצועות מקבילים באותו אורך בכיוונים הפוכים, הם מייצגים וקטורים נגדיים.

בקובייה, כל המקצועות שווים באורכם, ולכן כל זוג מקצועות מקבילים המכוונים באותו כיוון מייצג וקטורים שווים. אם אחד מהם מסומן בכיוון הפוך, מתקבלים וקטורים נגדיים.

וקטורים קוליניאריים הם וקטורים המונחים על אותו ישר או על ישרים מקבילים. שני וקטורים קוליניאריים יכולים להיות שווים, נגדיים או בעלי אורכים שונים. בגוף, מקצועות מקבילים נותנים וקטורים קוליניאריים. גם קטע שהוא חלק ממקצוע, למשל קטע מקודקוד עד אמצע המקצוע, קוליניארי לאותו מקצוע.

לעומת זאת, אלכסונים של אותה פאה אינם בהכרח קוליניאריים, משום שהם אינם מקבילים זה לזה. לכן בעת זיהוי וקטורים בגוף יש לבדוק תחילה אם הקטעים מקבילים, אחר כך אם אורכיהם שווים, ולבסוף אם כיוונם זהה או הפוך.

בפירמידה, המקצועות הצדדיים אינם מקבילים זה לזה בדרך כלל, ולכן וקטורים שמייצגים מקצועות צדדיים שונים אינם קוליניאריים. אם נתון כי פירמידה ישרה, אפשר להשתמש בשוויון אורכי המקצועות הצדדיים, אך שוויון אורכים בלבד אינו הופך את הווקטורים לשווים, משום שכיווניהם שונים.