מכפלה סקלרית של וקטורים – גישה גאומטרית

המכפלה הסקלרית היא פעולה בין שני וקטורים שתוצאתה מספר ממשי. היא מקשרת בין אורכי הווקטורים לזווית שביניהם, ולכן מאפשרת לעבור מתיאור גאומטרי לחישוב מספרי. בעזרתה מחשבים אורכים, זוויות ושטחים, ומוכיחים ניצבות בין וקטורים.

זווית בין שני וקטורים

כדי להגדיר זווית בין שני וקטורים, מציבים אותם כך ששניהם ייצאו מאותה נקודה. הזווית נמדדת בין הכיוונים שלהם, בתחום שבין 0 ל־180 מעלות: אם הווקטורים באותו כיוון, הזווית היא 0; אם הם בכיוונים מנוגדים, הזווית היא 180; אם הם מאונכים, הזווית היא 90.

בחלק מהשרטוטים נראית זווית חדה בלבד, אך ההגדרה כוללת גם זווית ישרה וזווית קהה. כאשר הזווית ישרה, הקוסינוס שלה הוא 0. כאשר הזווית קהה, כלומר גדולה מ־90 וקטנה מ־180, הקוסינוס שלה שלילי. אם מתקבלת זווית קהה α, אפשר להשתמש בקשר cos(180° − α) = −cosα כדי להבין את הסימן השלילי.

כאשר שני וקטורים מופיעים בשרטוט כחצים, יש להסתכל על כיווני החצים ולא רק על הקטע שביניהם. ייתכן שהזווית הנראית לעין חדה, אך אם כיוון אחד הווקטורים הפוך, הזווית בין הווקטורים קהה. לכן בהגדרת הזווית חשובה נקודת המוצא המשותפת וכיוון כל וקטור.

הסימן של הקוסינוס מלמד אם הזווית חדה, ישרה או קהה: קוסינוס חיובי מתאים לזווית חדה, קוסינוס אפס מתאים לזווית ישרה, וקוסינוס שלילי מתאים לזווית קהה.

הגדרת המכפלה הסקלרית

המכפלה הסקלרית של שני וקטורים u ו־v מוגדרת באמצעות האורכים שלהם והזווית שביניהם. אם θ היא הזווית בין הווקטורים:

u · v = |u| · |v| · cos θ

התוצאה אינה וקטור אלא מספר ממשי, ולכן היא נקראת מכפלה סקלרית. האורכים |u| ו־|v| תמיד אי־שליליים, ולכן הסימן של המכפלה נקבע לפי cos θ:

• אם הזווית חדה, המכפלה הסקלרית חיובית.
• אם הזווית ישרה, המכפלה הסקלרית היא 0.
• אם הזווית קהה, המכפלה הסקלרית שלילית.
• אם אחד הווקטורים הוא וקטור האפס, אורכו 0 ולכן המכפלה הסקלרית שלו בכל וקטור היא 0.

ההגדרה מקשרת בין שלושה גדלים: אורכי הווקטורים, הזווית שביניהם והמכפלה הסקלרית. אם ידועים שניים מהם, אפשר לחשב את השלישי, בתנאי שמקפידים על התחום המתאים של הזווית:

• אם ידועים האורכים והזווית, מחשבים ישירות את המכפלה הסקלרית.
• אם ידועים האורכים והמכפלה, מחשבים את קוסינוס הזווית.
• אם ידועה הזווית והמכפלה, אפשר להסיק מידע על היחס בין האורכים.

תכונות המכפלה הסקלרית

למכפלה הסקלרית תכונות קבועות שמקלות על חישוב ועל פיתוח אלגברי. התכונות נכונות עבור וקטורים במישור ובמרחב, ועבור כל מספר ממשי t.

• אורך וקטור: המכפלה הסקלרית של וקטור בעצמו שווה לריבוע אורכו: u · u = |u|². מכאן נובע ש־|u| = √(u · u).
• חוק החילוף: u · v = v · u. סדר הווקטורים אינו משנה את תוצאת המכפלה.
• הומוגניות: (t u) · v = t (u · v) = u · (t v). כפל של אחד הווקטורים במספר ממשי מכפיל את המכפלה הסקלרית באותו מספר.
• חוק הפילוג: u · (v + w) = u · v + u · w. תכונה זו מאפשרת לפתוח סוגריים בביטויים שבהם מופיעים סכומי וקטורים.

התכונה u · u = |u|² היא הבסיס לחישוב אורכים בעזרת מכפלה סקלרית. במקום לחשב ישירות מרחק גאומטרי, אפשר לבטא וקטור כסכום או כהפרש של וקטורים ידועים, ואז להשתמש במכפלה עצמית כדי למצוא את ריבוע האורך. מכיוון שריבוע אורך אינו שלילי, גם כל מכפלה עצמית u · u אי־שלילית.

חוק הפילוג וחוק החילוף מאפשרים לטפל בביטויים כמו (u + v) · (u − v) באופן דומה לפתיחת סוגריים באלגברה, אך יש לזכור שמדובר במכפלה סקלרית ולא בכפל רגיל של מספרים. כל איבר שמתקבל הוא מספר ממשי, ואפשר לחבר או להחסיר אותו כמו כל מספר.

מכפלה סקלרית מקוצרת

בעזרת תכונות המכפלה הסקלרית אפשר לפתח נוסחאות מקוצרות לביטויים שמופיעים לעיתים קרובות בגאומטריה. הסימון (u + v)² פירושו מכפלה סקלרית של הווקטור u + v בעצמו:

(u + v)² = (u + v) · (u + v)

נפתח את הסוגריים בעזרת חוק הפילוג:

(u + v) · (u + v) = u · u + u · v + v · u + v · v

מכיוון ש־u · v = v · u, מתקבל:

(u + v)² = |u|² + 2 u · v + |v|²

נוסחה זו שימושית כאשר צריך לחשב את אורך הסכום של שני וקטורים. אם ידועים האורכים של u ושל v והמכפלה הסקלרית ביניהם, אפשר למצוא את |u + v| על ידי הוצאת שורש ריבועי. אם המכפלה הסקלרית שלילית, האיבר האמצעי מקטין את ריבוע האורך של הסכום.

באופן דומה מתקבלת נוסחה עבור מכפלה של סכום והפרש:

(u + v) · (u − v) = u · u − u · v + v · u − v · v

שוב משתמשים בחוק החילוף, והאיברים u · v ו־v · u מבטלים זה את זה:

(u + v) · (u − v) = |u|² − |v|²

נוסחה זו שימושית כאשר ידועים רק אורכי הווקטורים, או כאשר רוצים לבדוק תכונות של אלכסונים במקבילית. אם אלכסוני המקבילית מיוצגים על ידי u + v ו־u − v, המכפלה הסקלרית שלהם קשורה ישירות להפרש ריבועי האורכים של הצלעות. כך אפשר לבדוק, למשל, מתי אלכסונים מאונכים זה לזה.

חישובי אורכים, זוויות ושטחים בעזרת המכפלה הסקלרית

המכפלה הסקלרית מאפשרת לחשב אורכים גם כאשר הווקטור אינו נתון ישירות כקטע יחיד, אלא כצירוף של וקטורים אחרים. לדוגמה, כדי למצוא את |u + v|, מחשבים תחילה את (u + v)² לפי הנוסחה המקוצרת, ולאחר מכן מוציאים שורש ריבועי. הוצאת השורש נותנת את האורך, שהוא גודל אי־שלילי.

כדי לחשב זווית בין שני וקטורים, משתמשים בקשר הישיר בין המכפלה הסקלרית לקוסינוס:

cos θ = (u · v) / (|u| · |v|)

אם ידועים האורכים והמכפלה הסקלרית, אפשר למצוא את cos θ ולאחר מכן את הזווית θ. אם מתקבל cos θ = 0, הזווית היא 90. אם מתקבל ערך שלילי, הזווית קהה. אם מתקבל ערך חיובי, הזווית חדה.

גם שטחים אפשר לחשב בעזרת המכפלה הסקלרית. אם שני וקטורים u ו־v יוצאים מאותה נקודה, הם יכולים לשמש כשתי צלעות סמוכות במשולש או במקבילית. שטח המשולש הוא:

שטח המשולש = ½ |u| · |v| · sin θ

שטח המקבילית הוא:

שטח המקבילית = |u| · |v| · sin θ

המכפלה הסקלרית נותנת את cos θ, ואת sin θ אפשר למצוא בעזרת הזהות:

sin² θ + cos² θ = 1

מכיוון שבין 0 ל־180 הסינוס אינו שלילי:

sin θ = √(1 − cos² θ)

דרך מסודרת לחישוב שטח: תחילה מוצאים את cos θ מתוך המכפלה הסקלרית, אחר כך את sin θ, ולבסוף מציבים בנוסחת השטח. במשולש שבו שתי צלעות סמוכות מיוצגות על ידי u ו־v, שטח המשולש הוא מחצית משטח המקבילית שנבנית על אותם וקטורים. אם הזווית ישרה, sin θ = 1, ושטח המשולש הוא מחצית מכפלת האורכים.

ניצבות של וקטורים

שני וקטורים שאינם וקטור האפס מאונכים זה לזה אם ורק אם המכפלה הסקלרית שלהם שווה לאפס.

אם הזווית בין הווקטורים היא 90, אז cos 90° = 0, ולכן:

u · v = |u| · |v| · 0 = 0

לעומת זאת, אם ידוע ש־u · v = 0 ושני הווקטורים אינם וקטור האפס, האורכים חיוביים ולכן בהכרח cos θ = 0. בתחום הזוויות שבין 0 ל־180, הערך היחיד שבו הקוסינוס הוא 0 הוא 90, ולכן הזווית בין הווקטורים ישרה.

אם אחד הווקטורים הוא וקטור האפס, המכפלה הסקלרית שלו בכל וקטור היא 0, אך לווקטור האפס אין כיוון מוגדר. לכן בבדיקות גאומטריות של ניצבות נהוג להתייחס לווקטורים שאינם וקטור האפס, או לבדוק את המשמעות הגאומטרית של הווקטורים הנתונים.

תכונה זו מאפשרת להוכיח ניצבות בלי להסתמך על שרטוט. אם מצליחים לבטא שני קטעים או שני כיוונים בגוף כווקטורים, ומראים שמכפלתם הסקלרית היא 0, אפשר לקבוע שהם מאונכים. בדרך זו בודקים ניצבות בין צלעות, בין אלכסונים, בין גובה לבסיס, ובין וקטורים שונים בגופים במרחב.

כאשר בודקים ניצבות של וקטור למישור, משתמשים בעיקרון דומה: וקטור מאונך למישור אם הוא מאונך לכל וקטור שנמצא במישור. לצורך בדיקה מעשית מספיק להראות שהוא מאונך לשני וקטורים לא קולינאריים באותו מישור, כלומר לשני וקטורים שאינם על אותו ישר. גם בדיקה כזו נעשית בעזרת מכפלה סקלרית: מחשבים את המכפלה עם כל אחד משני הווקטורים, ואם שתיהן שוות לאפס, מתקבלת ניצבות.